【摘 要】数学概念教学的价值在于将外在、显性、普遍的知识转化为人内在、隐性、个体的解决问题的立场、方法与观点。在概念教学中,采用先“倒过来”再“转回去”的“两次倒转”教学机制,明确内容与方向,展现过程与方法,圆融知识与智慧。
【关键词】两次倒转;教学机制;初中数学
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009(2021)45-0034-04
【作者简介】王华,江苏省镇江市丹徒区石马中学(江苏镇江,212113)副校长,高级教师,江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象,江苏省首批“苏教名家”培养对象。
在知识本位的数学课堂中,数学的概念、原理和法则都是作为静态的知识呈现的,不少学生掌握知识,却不会思考知识、追问知识,教学过程功利化、形式化,缺乏“悟”的时间。然而回顾历史,每个数学概念的创生都凝聚了前人无数的心血和智慧,虽然简单重复前人的探究历程不现实也不经济,但以“再创造”的方式简化、重现、模拟前人探究的典型过程却非常必要。北京师范大学郭华教授提出的“两次倒转”教学机制,旨在通过“倒过来”明确教学的内容与方向,通过“转回去”再现概念探究的典型过程,从而将外在、显性、普遍的知识转化为人内在、隐性、个体的解决问题的立场、方法与观点。那么,在概念教学中如何运用“两次倒转”展现过程与方法,从而达成深度教学呢?本文以苏科版数学七上“无理数”概念的教学为例,谈谈具体的教学路径。
一、“倒过来”,明确内容与方向
数学概念的教学既不能简化成概念的简单堆砌、直接传递,也不能只是重复人类初获概念时的实践、试误。教学过程应当将人类认识的终点当成学生认识的起点,这样的认识过程是一种“倒过来”的过程。这种过程能让教师明晰教学的内容和方向,明了教材逻辑与学生心理的巨大落差,有着独特的教学优越性。
1.解构多重教学内容。
数学概念的教学不能仅限于事实性知识的“记中学”,还应包括方法性知识的“做中学”和价值性知识的“悟中学”。如有教师认为,“无理数”这一概念十分简单,即无理数是无限不循环小数,学生记住就行,没什么可教。显然这样的观点将无理数教学内容简化成“僵化的知识”,忽略了无理数创生历程之艰难及隐藏在无理数背后的人类理性精神。因此,无理数的教学内容应当是多重的、有层次的,不仅仅包括无理数的概念,还应包括无理数概念创生背后的数学学科思维、方法和价值。
2.明了巨大认知落差。
数学概念的呈现主要有两条线索,其一是学科逻辑,其二是学生心理逻辑。如无理数内容是安排在苏科版数学教材七上第二章“有理数”之中。它便于引出实数,明晰“实数与数轴上的点一一对应”,从学科逻辑上讲这样的安排是很有必要的,体现了数学知识的严谨与客观。但是,从学生的心理来看存在两个认知困境:其一,[2]为什么不是有理数?直接用反证法去逻辑推理显然无懈可击,但对从来没有接触过反证法的学生来说将是一个挑战。其二,无理数是无限不循环的,无限意味着无法穷举,不循环意味着没有规律,这看不见摸不着的东西怎么让人信服与接纳?因而人类的认识成果与学生心理认知之间产生了巨大的认知落差。
3.设置高阶教学目标。
基于数学概念的多重教学内容,以及学科逻辑和心理逻辑间的落差,教学需设置高阶目标化解学生产生的认知冲突,多维度完成教学任务,让学生在关注事实性知识的同时,感悟概念所蕴含的学科思维、方法和价值。具体而言,教师的教学目标是利用多种方式和途径建立“人类对无理数的认识”与“学生的认知困境”之间的联系。学生的学习目标为:(1)无理数是实实在在存在的;(2)“[2]是无理数”是有道理的;(3)感受无理数创生过程中的理性光辉。
二、“转回去”,展现过程与方法
“转回去”是在明晰人类认识和学生认识的关系之后,从情境中提出问题,简约地、模拟地去经历人类认识的典型过程,引导学生将新知识转化为前行的基础和力量[1]17,获得研究问题的方法,并进一步转化为“承载着情感与偏见、蕴含着历史文化和生活时空的主体性、意义性存在”的“个人知识”[2]。
1.确定起点,设计情境。
通过解构人类认识的过程获得概念教学的多重任务,通过分析人类认识与学生认识的差异设定概念教学的目标。在教学实施中,应当依据内容和目标,以学生生活经验或数学经验为认知起点,设计合适的情境,引导学生提出问题、主动探究,进而自主“发现”并建构人类已有的认识成果。
从无理数产生的历史看,在早期,人们认为宇宙万物都可以用两整数之比(即有理數)来解释。也就是说,给定任意两条线段,必存在第三条线段(或许很短),它可以整数次度量完给定的两条线段,即任意两条线段可公度。在这样的认识基础之上,有理数显得非常“完美”,那为什么会引入无理数呢?关键是人们发现了不可公度量的存在。因此,让学生典型而简约地重演无理数的发现过程,感受不可公度量的存在,他们才能切身体会到无理数学习的必要性。
根据学生现有的水平、经验以及发展需要,可以确定学生学习的起点为判别两条线段可公度,能通过拼图求正方形的对角线长。进而设置下列问题情境:(1)将两个边长为1的小正方形沿对角线剪开,可以拼成一个大正方形,求大正方形的边长;(2)能否找到第三条线段,使其能以整数次量完大正方形的边长[2]和小正方形的边长1。[3]教师通过这一环节的设置,促使学生能够走进历史,感受认知冲突,进而提出无理数概念。
2.聚焦问题,展示求解。
知识僵化变成教条,其实不是知识本身的错误,而是人们遗忘了知识创生背后的问题。问题具有指向性和邀请性的特点,问题的指向性可以聚焦学习者的思维,使目标物凸显在学习者的眼前,否则学习者的思维就会因缺乏对象而无从下手、一无所获;而问题的邀请性则代表问题期盼学习者的回答,否则“化知为识”“转识成智”就丧失了内在的动力和支撑。如果说聚焦问题是数学概念教学的支点,那么展示问题求解则是获得数学概念的重要路径。
古希腊之后的两千多年来,人们围绕“无理数是不是数”这个问题,一直进行着各种争论,直到19世纪才由戴德金、柯西、魏尔斯特拉斯等数学家构造严密的实数理论,消除了人们对无理数的神秘感。中学阶段不便涉及实数理论,只要将其作为已经建设好的平台,放心去使用就行了。[4]在中学里,无理数有两种不同方式的定义,一是不能表示成两个整数之比的数,一是无限不循环小数。两种定义是人类认识不同阶段的产物,其对学生的教育意义不同,前者符合无理数的缘起,比后者更适合作为认知的固着点,而后者形象且具体,学生更容易感知。教学时,可以通过聚焦问题,简约地模拟出人类认知无理数概念的过程。
基于学生的心理认知,将“无理数是不是数”这个问题进一步教学化,聚焦以下三个问题:(1)[2]究竟有多大?(2)是否真的存在既无限不能穷举,又无规则不循环的小数?(即无理数的存在性问题)(3)为什么[2]是无理数?教学时,采用“十分法”逼近和计算机结果演示两种手段,让学生感受[2]的结果可以表示成小数,它是没完没了,又不循环的。但毕竟探索和机器演示的结果是有限的,那这样无限不循环的小数真实存在吗?此时,“你能否构造一个无限不循环小数?”的问题顺时而出,学生通过构造0.10100100010000…(相邻两个1之间依次多一个0)便证明了无限不循环小数的存在,进而引出无理数的定义。而[2]是无理数的结论不是靠猜想,而是靠严格的逻辑证明得到,进而展示古人的求解方法,即用反证法证明[2]是无理数。
3.参悟知识,跃迁教学。
尽管一些教师也是基于问题,并在求解中演绎数学的概念,却很难真正做到“转识成智”,其原因就在于缺乏对知识的参悟,局限于事实性知识的“记中学”,未能触及概念所蕴含的逻辑形式和意义层面,从而参悟不到方法性和价值性的知识。在“转回去”的过程中应当增加学生“做”和“悟”的机会,提升概念教学的层级,实现教学的跃迁,从而彰显出知识形成中人的思考、思维、方法、情感与意志的作用,呈现概念教学新的景象。
教学时,学生不仅要了解无理数的概念(课程标准的要求),而且要简要地经历无理数的“发现”过程,更重要的是感受到西帕苏斯发现无理数是人类理性思维的胜利。另外,不可公度量的发现本身就是一个传奇,这是极好的教学素材。显然,要想真正“转识成智”,教师必须走出狭隘的教学观,而把教学设定于“师生生命活动”的视域中,循着人类的理性精神,学生可以人为地“造出”无理数。而进一步论证[2]是无理数的反证法也可以变得易于学生理解,因为许多场合都用到反证法,如苏轼的《琴诗》便是极好的例证,“若言琴上有琴声,放在匣中何不鸣?若言声在指头上,何不于君指上听?”由此可见,人文的论辩和数学的证明,都需要遵循逻辑规则。在意境上,古诗和数学可以相通,其背后的思维价值极高。
三、“两次倒转”,圆融知识与智慧
在“两次倒转”(先“倒过来”,再“转回去”)的概念教学中,教师、学生和知识得以高度的统一,教师的教引发着学生高质量、有意义的学,学生与知识相互交融,构成全新的学习主体与知识对象的关系,即“对象对主体的意义不在于它或他是可以认识的物,而在于在对象上凝聚了主体的客观化了的生活和精神”[5]。可以说“两次倒转”融合了主体与对象,圆融(圆者周遍之义,融者融通融和之义)了知识与智慧,从而积淀为“个人知识”,化知识为德性。
1.“两次倒转”相互依存。
首先,“倒过来”的新知识是学习的目标和学习的重点。其次,“转回去”重演数学概念的创生过程,揭示出凝聚在历史长河中的数学家们创生知识背后的数学学科思维、方法和价值,唤起学生进一步达成高阶目标的心智,让学生走进知识。最后,“倒过来”为“转过去”提供了新的探讨点。如尝试解决“用第三条线段整数次度量完长为[2]的线段和长为1的线段”这一问题后,让学生阅读材料“正五边形、不可公度及无理数”,相当于再次经历人类理性思维的胜利,进一步生发智慧。
2.“两次倒转”积淀知识。
在“两次倒转”的概念教学中,人类的认识成果“倒过来”成为学生的认识起点,而后用“转回去”的方式,让概念基于学生现实经验,成于“历史相似性”的学生艰苦探究。学生获得事实性知识的同时,参悟概念蕴涵的逻辑形式与意义,在持续的反思中建构“个人知识”。无理数概念的教学必须让学生经历无理数的发生发展过程,感受一个概念生成的艰难曲折,明晰一丝不苟的纯粹理性指引着无理数的“从无到有”,从而学生会被这种精神所折服,自然地徜徉在数学的历史长河之中,“再创造”地学习数学,积淀“个人知识”,进而“转识成智”。
3.“两次倒转”涵养德性。
在“两次倒转”的教学活动中,学生在教师的帮助下将静态的知识(人类认识成果)转化为自身的本质力量,也在自己的心里种下能够承担未来社会历史实践重任的责任心、价值观,发展出能够承担未来社会历史实践重担的能力、情怀与品格。[1]20黑格尔认为,一个人做了这样或那样一件合乎伦理的事,还不能说他是有道德,只有当这种行为成为他性格中固定要素时,才可以说他是有德的。教学就是要完成这个使命,使它的知识化为学生的智慧,使这种智慧内化为他们的德性。
【参考文献】
[1]郭华.带领学生进入历史:“两次倒转”教学机制的理论意义[J] .北京大学教育评论,2016,14(2):8-26.
[2]苏鸿.意义世界视野下的课程知识观[J].课程·教材·教法,2007(5):9.
[3]王华.教应有理 学需思辨——基于超经验数学研究的“无理数”教学设计[J].中国数学教育,2016(11):37.
[4]张奠宙,王华,司擎天.无理数教學三人谈——超经验数学研究之一[J].数学教学,2015(8):1.
[5]波兰尼.个人知识——迈向后批判哲学[M].许泽民,译.贵阳:贵州人民出版社,2000:93.