关于丢番图方程x3-1=1333y2

周 科

(南宁师范大学 数学与统计学院,广西 南宁 530100)

0 引言

设整数D>2,且无平方因子.丢番图方程

x3±1=Dy2

(1)

是一类重要的丢番图方程,对这类方程整数解的研究有着大量的文献.柯召、孙琦在文[1，2]中证明了当D不含6k+1型素因数时,方程(1)无非平凡解.但当D含6k+1型素因数时,方程的解的情况比较复杂，求解过程亦较为困难.2003年，罗明证明了x3+1=7y2仅有整数解(x,y)=(-1,0)，(3,±2)[4].2009年，瞿云云等人证明了x3+1=119y2仅有整数解(x,y)=(-1,0)[5].本文利用Pell方程的解所给出的递归数列的性质与同余式证明了丢番图方程x3-1=1333y2仅有整数解(x,y)=(1,0).

1 引理

引理1[6]若D是一个非平方的正整数,则Pell方程

x2-Dy2=1,x,y∈N+，

(2)

引理2[7]方程4x4-3y2=1仅有整数解(x,y)=(±1,±1).

引理3[7]丢番图方程x2-3y4=1仅有整数解(x,y)=(±2,±1),(±7,±2),(±1,0).

引理4[7]丢番图方程x4-3y2=1仅有整数解(x,y)=(±1,0).

2 主要结果

定理1丢番图方程

x3-1=1333y2

(3)

仅有正整数解(x,y)=(1,0).

证明设(x,y)是(3)的解.因为gcd(x-1,x2+x+1)=1或3,故分以下8种情况进行讨论：

(I)x-1=a2，x2+x+1=1333b2,y=ab;

(II)x-1=31a2，x2+x+1=43b2,y=ab;

(III)x-1=43a2，x2+x+1=31b2,y=ab;

(IV)x-1=1333a2，x2+x+1=b2,y=ab;

(V)x-1=3a2，x2+x+1=3999b2,y=3ab;

(VI)x-1=93a2，x2+x+1=129b2,y=3ab;

(VII)x-1=129a2，x2+x+1=93b2,y=3ab;

(VIII)x-1=3999a2，x2+x+1=3b2,y=3ab,

这里，a≥0,b>0,gcd(a,b)=1.

情形(I)由于x2+x+1=x(x+1)+1为奇数，故x2+x+1=1333b2中b为奇数，因而b2≡1(mod 8).方程x2+x+1=1333b2两边模8，得x2+x+1=1333b2≡5b2≡5(mod 8),解之得x≡3,4(mod 8).代入第一个方程有：2,3≡x-1=a2(mod 8).这与模8的平方剩余为0，1，4矛盾.

故在该情形时方程(3)无整数解.

(4)

(5)

不妨假设U>0,V≥0.以上四式只需考虑(4)和(5)取“+”的情形.

由式(4)得到递归序列

un+2=6964un+1-un,u0=13,u1=90932.

(6)

对递归序列(6)取模62，得到以下周期为32的剩余系列：13，40，43，14，51，14，43，40，13，34，47，38，31，24，15，28，49，22，19，48，11，48，19，22，49，28，15，24，31，38，47，34.

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由此可见，同余式un≡3(mod 62)不成立，因而方程un=62a2+3不成立.

故在该情形时方程(3)无整数解.

情形(III)方程x-1=43a2两边模43，得x≡1(mod 43),代入方程x2+x+1=31b2，得3≡x2-x+1=31b2(mod 43)， 而模43的Legendre符号：

故在该情形时方程(3)无整数解.

情形(IV)由第二个方程得x=0，1，均不满足第一个方程.

情形(V)由x-1=3a2及x2+x+1=3999b2,有(6a2-3)2+3=3999(2b)2.

由于Pell方程X2-3999Y2=1的基本解为(x0,y0)=(26876,425)，所以可假设(u0,v0)是方程U2-3999V2=-3的某k结合类，则由引理5，有

容易验证，v=1,2,3时，方程U2-3999V2=-3都无整数解，因而此方程无解. 故在该情形时方程(3)无整数解.

情形(VI)方程x-1=93a2两边模31，得x≡1(mod 31)，代入第二个方程有3≡x2+x+1=129b2(mod 31),由此有12b2≡1(mod 31),而模31的Legendre符号

故在该情形时方程(3)无整数解.

情形(VII)方程x2-x+1=93b2两边模8，得x2-x+1=93b2≡5(mod 8),解之得x≡4,5(mod 8)，代入第一个方程有，5,6≡x+1=129a2≡a2(mod 8)，由此有a2≡5,2(mod 8),这与模8的平方剩余为0，1，4矛盾.故在该情形时方程(3)无整数解.

情形(VIII)将第一式代入第二式,得(2b)2-3(2666a2+1)2=1.全部整数解可表示为

2666a2=yn-1,n∈Z.

(7)

容易验证以下的等式成立：

xn±1=2xn±3yn,yn±1=±xn+2yn；

(8)

(9)

xn+2=4xn+1-xn,x0=1,x1=2；

(10)

yn+2=4yn+1-yn,y0=0,y1=1.

(11)

对递归序列(9)取模1333,得周期为1332的剩余类序列，从而可得仅当n≡1,112(mod 1332)时,yn≡1(mod 1333).

2666a2=yn-1=y4m+1-1=y4m+1-1=x4m+2y4m-1=

即

1333a2=x2m+1y2m.

(12)

又gcd(x2m+1,y2m)=2,故(12)可分解成

x2m+1=2c2,y2m=2666d2,a=2cd；

(13)

x2m+1=2666c2,y2m=2d2,a=2cd;

(14)

x2m+1=62c2,y2m=86d2,a=2cd;

(15)

x2m+1=86c2,y2m=62d2,a=2cd，

(16)

这里，c>0,d≥0,gcd(c,d)=1.

由(14)的第二式及y2m=2xmym,得xmym=d2.故有

xm=u2,ym=v2,d=uv，

(17)

这里，u>0,v≥0,gcd(u,v)=1.

将(15)的第二式及y2m=2xmym,得xmym=43d2.故有

xm=u2,ym=43v2,d=uv;

(18)

xm=43u2,ym=v2,d=uv，

(19)

这里，u>0,v≥0,gcd(u,v)=1.

类似于(17)，(18)无满足条件的整数解.

类似于(15)，(16)无满足条件的整数解.

综上所述, 丢番图方程x3-1=1333y2仅有整数解(x,y)=(1,0).