杆系结构优化设计模型的快速评估方法

鲁煜天，邱国志

(上海交通大学土木工程系，上海 200240)

空间杆系结构具有构型简单、结构整体受力性能好、自重轻等优点[1]，在大跨度结构中应用广泛。杆系结构的优化设计是在满足设计规范或某些特殊要求的条件下，以尽量少的用钢量或低的造价达到最佳性能[2]，通常从拓扑关系和截面尺寸两方面进行[3]。拓扑关系优化是通过控制结构参数[4-5]或采用连续体拓扑优化[6]生成一系列几何构造相异的模型并择优进行下一步设计，截面尺寸优化则是根据一定优化算法为构件寻找最佳截面尺寸[7]，最终杆系结构模型的优劣是根据截面尺寸优化后的结构整体用钢量评估的[8]。

面对拓扑关系优化产生的庞大模型数量，截面尺寸优化的迭代计算将耗费大量时间[9]，影响结构优化设计效率。基于此问题，本文针对空间杆系结构提出了一种用钢量快速估算方法，该方法基于单一截面尺寸模型，只进行一次有限元计算，根据杆件轴力大小和长细比控制条件估算结构用钢量，再择优提取若干模型进行杆件截面尺寸优化，最终得出结构的最优设计方案。

本文以平板网架结构为例对用钢量快速估算方法进行了测试，结果表明该方法可以在保证优化效果的同时有效减少优化过程中的计算量，扩大优化搜索空间，显著提高优化设计的效率。

1 空间杆系结构优化设计过程

空间杆系结构设计可以分为以下几个步骤[10]：

1) 选择结构类型并确定结构尺寸，构建形状轮廓。

2) 明确结构设计参数，不同的结构类型选取的结构参数不同，比如平板网架有网格尺寸、网架厚度，柱面网壳有矢跨比，桁架结构有桁架厚度、上下弦宽等。

3) 在合理范围内调整结构设计参数的取值，从而改变拓扑结构，生成大量模型样本。

4) 赋予杆件截面并进行有限元计算，评估结构力学性能并择优保留设计方案。

上述第4个步骤即结构模型的择优需要对每个模型进行分析评价，一项重要评价指标即为结构用钢量。计算结构用钢量需要进行杆件截面迭代优化，主要流程为：

1) 赋予模型所有杆件相同的截面尺寸并施加荷载，进行有限元分析得出杆件内力，得到第1次有限元计算结果。

2) 根据有限元计算得出的杆件内力进行校核，自动调整杆件截面。

3) 由于杆件截面调整，结构整体刚度将发生变化，再次进行有限元计算得出杆件内力。

4) 重复以上内力校核并调整杆件截面的过程，直到结构所有杆件满足应力比要求。

杆件截面优化过程中，反复进行有限元计算所带来的计算量是影响结构优化效率的主要原因，可以推断当模型结构复杂且杆件数量庞大时，截面优化的迭代过程将会消耗大量计算时间。

2 模型快速评估方法

针对杆件截面优化的迭代过程会严重影响结构优化的效率的问题，本文提出了杆系结构模型快速评估方法，赋予所有杆件相同截面，只进行一次有限元计算，根据杆件内力估算结构总用钢量。提取用钢量较低的模型，通过杆件截面优化迭代得到精确用钢量，可以显著提高计算效率，并且保证结构优化的效果。

由于杆件的截面大小通常由轴力或长细比决定，因此对于轴力较大的杆件只需要得出杆件截面积和轴力之间的关系，便可计算得到杆件质量。虽然优化过程中杆件截面的变化会引起内力重分布，但是在荷载一定时杆件轴力和其在结构中的空间位置以及约束条件有关，赋予所有杆件相同截面得出的计算结果依然具有参考价值。而轴力较小的杆件，则需要控制其长细比在一定合理范围内。

假设杆件截面利用率达到理想状态，可用构件强度设计值把杆件的轴力和截面积联系起来。由于压杆存在稳定性问题，拉杆和压杆分别考虑，计算公式推导如下。

所有杆件截面取同一规格，截面积A为定值，第1次有限元计算结果的杆件轴力记为N，长度记为L。单根杆件质量用字母w表示。

对于拉杆：

(1)

式中：f为抗拉强度设计值，本文中模型材料为Q235钢，f取值为205 MPa；ρ为钢材密度，取7 850 kg·m-3。

因此拉杆单根杆件质量与长度L和轴力N的乘积成正比。

(2)

(3)

上式表明，以长细比作为控制条件时，单根杆件的质量约与其长度的三次方成正比。

因此单根杆件质量最终的估算公式如下：对于拉杆，取式(1)和式(3)的较大值，对于压杆，取式(2)和式(3)的较大值。

3 模型快速评估方法测试

3.1 分析模型

对上述模型评估方法进行测试，采用的分析模型为双层四角锥平板网架结构，模型长60 m，宽60 m，沿长宽各等分15个网格，共1 800根杆件。为使测试结果更具可靠性，本次分析的模型分为两组，每组100个，两组模型剖面图如图1所示。

(a) 第1组模型剖面示意图

(b) 第2组模型剖面示意图图1 平板网架模型剖面图Fig.1 Profile of flat grid models

第1组模型特点是各处厚度随机，模型为上弦节点处于同一平面，下弦所有节点到上弦平面垂直距离介于1.5～4.5 m之间随机分布；由于周边简支平板网架中心区域弯矩较大，第2组模型采用中间厚边缘薄的抛物面设计，模型构建方法为上弦节点处于同一平面不变，下弦节点中心到上弦垂直距离在1.5～4.5 m之间随机产生并记为h，边缘节点到上弦垂直距离介于1.5 m至h之间随机产生，其他下弦节点位于由中心下弦节点和四周边缘下弦节点组合构成的抛物面上。

网架结构采用上弦节点周边支承，结构设计荷载为[12]：恒载0.3 kN·m-2，活载0.5 kN·m-2，不考虑风雪等荷载影响。对结构进行线性内力分析，赋予所有杆件相同截面进行第1次有限元计算并记录结果(每根杆件的编号、长度、截面积、轴力)，再对所有模型进行杆件截面优化，记录优化后的计算结果(每根杆件的编号、长度、截面积、轴力)。最终每个模型对应一个数据文件，记录其第1次有限元计算结果和截面优化后的结果。

3.2 迭代计算和快速估算结果对比

迭代计算结果是杆件截面优化后的结构用钢量，截面优化主要根据杆件应力比的大小采用离散变量优化设计的方法从标准型钢库内选择合适的尺寸[13]，最终得到结构整体用钢量。快速估算结果由前文所述模型快速评估方法计算得到。用钢量估算流程如图2所示。

图2 用钢量估算流程图Fig.2 Flow chart of steel consumption estimation

两组平板网架模型，共200个数据文件，与200个模型一一对应，记录了模型在等截面下第1次有限元计算得到的所有杆件的编号、长度、截面积、轴力以及经过杆件截面迭代优化后的所有杆件的编号、长度、截面积、轴力。

对于第1次有限元计算得到的结果，借助如图2所示的程序流程图，使用上述快速评估方法估算结构用钢量。而对于杆件截面迭代优化后的结果，通过杆件截面和长度直接计算所有构件的质量，即可得出结构用钢量的精确值。

根据上述流程计算得到所有模型估算用钢量，与模型精确用钢量进行对比分析。将第1组100个模型按精确用钢量排序得到最节省用钢量的前10个模型，再对该100个模型按估算用钢量排序，从该排序列表中找出上述按精确用钢量排序得到的最优前十模型所在位置，结果如表1所示。

表1 第1组模型用钢量排序结果Tab.1 Steel consumption ranking of the first group models

对第2组模型的用钢量计算结果进行相同的排序操作得到的结果如表2所示。

表2 第2组模型用钢量排序结果Tab.2 Steel consumption ranking of the second group models

以上结果显示两组模型进行杆件截面迭代优化，按精确用钢量排序得到的最节省用钢量的前10个模型，都分布在按估算用钢量结果排序的前20以内，可见估算用钢量结果具有很大的参考价值。

为使估算用钢量和精确用钢量对比更加直观，将结构精确用钢量和估算用钢量分别归一化(采用相对用钢量，令用钢量最大值为1，相对用钢量为当前模型用钢量与最大用钢量的比值)，两者对比如图3所示。

模型编号(a) 第1组模型用钢量

由图3可以看出精确用钢量和估算用钢量相对值变化规律吻合较好，即各个模型之间估算的结果基本符合精确用钢量的相对值，估算用钢量的结果可能在数值上与精确用钢量有一定的偏差，但是不妨碍可以通过估算用钢量衡量结构性能的差异，估算用钢量节省的模型精确用钢量也相对节省。

3.3 快速估算优化效率提高

假设一个模型要得到精确用钢量需要进行10次截面迭代优化，那么从100个模型中选择1个最优结果就需要1 000次有限元计算。而采用本文提出的估算方法，同样是100个模型，只需要利用第1次有限元计算结果进行模型优劣评估并择优，比如只选用前20%，再对该20个模型进行杆件截面迭代优化得到精确用钢量，共需要100+20×10=300次有限元计算，而最终得到的结果与前述1 000次计算结果是相同的。从图3可以直观看出，优化后用钢量相对值和估算用钢量相对值具有一定重合度，验证了本文所提的估算方法能较为准确地评估结构模型的优劣程度，因此在空间杆系结构优化设计中，我们只需要进行少量的有限元计算，便能通过对比选出性能更优的模型，减少了有限元计算的次数，提高了结构优化的效率。

4 结论

空间杆系结构的优化设计可以通过调整几个关键结构参数并组合产生几百上千个模型对象，而优化设计要解决的关键问题是确定合理的参数取值范围以及高效地从大量样本中快速筛选出表现更优的模型。

1)本文提出了一种快速估算用钢量并用以评估结构性能的方法：赋予构件统一截面进行一次有限元计算得到轴力的大小，根据轴力和长细比估算结构用钢量。结果表明该方法估算得到的用钢量与迭代计算得到的精确用钢量吻合较好。

2)对于杆系结构而言，快速估算用钢量的方法可以大幅减少计算量，因此在耗费相同计算量的前提下，使用快速估算用钢量的方法可以扩大约3倍的优化搜索空间。

3)通过杆件轴力和长细比估算结构用钢量只适用于空间杆系结构，存在一定局限性，对于包含梁、索、膜单元的空间结构，可以本文的方法作为参考，分析其他影响因素，选用适合的材料用量估算方法。