不确定刚度和边界约束条件下的轴力识别

李东升， 陈琪舟， 魏 达， 郭 鑫， 姜 涛

(1.汕头大学 土木与环境工程系, 广东 汕头 515063;2.汕头大学 广东省结构安全与监测工程技术研究中心, 广东 汕头 515063;3.大连理工大学 海岸及近海工程国家重点实验室, 辽宁 大连 116024)

桥梁和大跨空间结构中，拉索或者吊杆作为重要的受力构件，其安全性能将决定整个结构的安全。例如，2011年4月12日5时30分，服役12年的新疆库尔勒市孔雀河大桥由于主跨第二根吊杆断裂，致使桥面垮塌；2019年10月1日9时许，中国台湾宜兰县南方澳跨港大桥在一辆油罐车行驶过跨中后不久，多根吊杆断裂，发生垮塌事故，油罐车随桥掉落水中，事故共造成12人受伤、6人死亡。因此，索力或吊杆轴力的准确测量或者识别对于结构的安全至关重要[1]。目前以弦理论[2]和Bernoulli-Euler梁理论[3-5]为基础的频率法对长吊杆或者拉索的轴力识别精度尚可，但对于较短的吊索或者吊杆的识别精度则较差，误差可达30%以上，严重影响真实受力状态评估的准确性，对服役中的结构带来较大安全隐患。

造成短吊杆或者短粗索轴力识别精度差的原因在于结构动力学中传统的长细杆假定不再合理。相对较大的横截面，在动力作用下有明显的转动惯量效应，同时由于制造误差和锈蚀等因素的影响，通常认为的两端铰接也不再成立，而是处于固定和铰支的中间状态，在端部承受一定的弯矩，致使传统假定的单纯受拉或者受压二力杆假定失效。

很多学者注意到这个问题，刘文峰[6]在索力测试中分析对比了考虑和不考虑索刚度影响、假设索为简支边界和固支、简支耦合的情况，发现不考虑拉索弯曲刚度影响时，短粗索索力误差明显增大，当索长为8.21 m时，索力测试误差达到5.6%。 秦杰等[7]总结大量索力研究成果，认为对于长径比大于100，或直径小于44 mm的拉索，轴力识别结果均不精确。事实上，建筑结构中有超过80%的索属于短粗索[8]。对此，李素贞等[9]利用经典Euler梁理论[10]，提出了同时利用频率和振型的轴力识别方法，该方法可以同时对边界约束条件的待定参数和杆件轴力进行识别。袁永强等[11-12]通过对不同截面杆件的数值模拟及试验研究，证实了该方法的适用性并进行了相应的改进。Chen等[13]对索的模态振型进行了参数化研究，系统地研究了双曲分量在边界附近的干涉效应，开发了对边界约束更复杂轴力识别方法。

除了动力学方法外，目前也有利用静力、电磁感应以及图像处理等原理的轴力识别方法。张戌社等[14]通过杆件表面光纤光栅的受力变形，由应变的大小推算出杆件所受轴力的大小。该方法有安装简单，成本低的优点。波动法[15]通过波速及杆件曲线对距离和时间的导数得到杆件轴力和波速的关系。张海东等[16]通过小型电磁传感器测试磁通量变化，根据索力、温度与磁通量变化的关系推算索力。Yan等[17]应用数字图像相关技术计算拉索的模态和频率，进而计算索力。

由于静力法或者磁通量法需要对待测目标进行提前标定或者需要在结构建成前进行仪器安装，同时需要考虑环境因素变化对识别结果的复杂影响，因此其局限较大，且对既有结构并不适用[18]。而基于图像处理的方法需要在天气状况以及光线条件较为适宜的情况下才能较为有效。因此实际工程中仍以简单的频率法为主要的索力测量方法。然而在应用频率法识别吊杆轴力时需要事先给定其抗弯刚度值，而吊杆越短其抗弯刚度越难以准确计算。事实上，若吊杆内钢丝间完全分离，其抗弯刚度最小，为各钢丝抗弯刚度之和EImin；若钢丝间完全黏结形成整体，其抗弯刚度最大，为按照实心杆件整体截面换算的抗弯刚度EImax。实际杆件的抗弯刚度值通常介于EImin与EImax之间。对此学者们做了大量研究，Geier等[19]认为实际抗弯刚度值是EImax的2/3；Mehrabi等[20]经过研究指出拉索抗弯刚度值应为EImax的60%～80%。Chen等[21-22]对不同规格钢绞线(GalfanΦ38，Φ48)、半平行钢丝束(19、37、109、163Φ5；37、55、61Φ7)和钢绞线束(27、31、37Φ15.24)进行试验，采用拉索两端简支方案，将拉索作为圆柱钢梁试件在跨中施加集中荷载，通过位移计算抗弯刚度，发现Papailiou[23]的拉索弯曲理论可以有效地拟合Φ7半平行钢丝束的有效刚度计算公式。苏成等[24]通过分析崖门大桥斜拉索索力实测数据，研究了斜拉索抗弯刚度、支座条件、斜度等对索力识别的影响，结果表明桥索实际抗弯刚度应为钢丝束完全黏结时抗弯刚度的0.37倍，但该结果只为经验值，并不适用于所有桥索。谢晓峰[25]通过最小化索的自振频率实测值与计算值之间的误差来识别抗弯刚度，以郑州黄河公铁桥和广东崖门大桥拉索为例进行抗弯刚度识别，所得拉索的抗弯刚度值为(0.3～0.4)EImax。Zhang等[26]经过理论推导得到了索的等效抗弯刚度表达式，表明等效抗弯刚度介于最小与最大抗弯刚度之间；除此之外还得出索的频率受抗弯刚度的影响，且索长越短，影响越大的结论。孟少平等[27]通过两阶低阶频率的线性组合给出吊杆轴力的表达式，间接地回避了抗弯刚度和边界条件的不确定性影响，通过马鞍山采东桥76根吊杆的实测数据验证了所提出的方法，但同时也指出短吊杆的轴力测量在实践中仍然是个难题。由此可见，杆件抗弯刚度的不确定性对于杆件轴力识别精度影响较大。

本文在袁永强等和李东升等的研究基础之上，通过对经典Tiomoshenko梁动力学方程进行进一步理论推导，发现在已知模态信息情况下，杆件轴力与抗弯刚度间存在近似的线性关系。提出了利用此线性关系同时识别杆件轴力和抗弯刚度的方法。对一简支梁进行了数值模拟并开展了三种不同截面杆件在复杂边界约束条件下的轴力试验。模拟和试验结果都反映出本文方法具有较高的轴力识别精度，验证了此方法的有效性。

这种改进方法的优点在于可以不必事先给定原Tiomoshenko梁理论轴力识别方法中的理论杆件抗弯刚度值，而通过实际测量数据获得真实的轴力和抗弯刚度。这样，由于识别的抗弯刚度比理论设计值更接近于真实情况，使识别的轴力也更准确；另一方面，实际结构中很多拉索会在端部安装减震阻尼器，或者端部连接部分存在锈蚀，使真实刚度值很难准确给定。因此，上述方法具有非常重要的实用价值。

1 理论推导

1.1 利用经典Timoshenko梁理论的轴力识别方法

为了下文推导方便，首先简要介绍基于经典Timoshenko梁理论的轴力识别方法，然后在此基础上推导杆件轴力和抗弯刚度的关系。

经典Timoshenko梁理论在考虑剪切变形、转动惯量，轴力共同作用下的动力方程为

(1)

式中：w为t时刻杆件坐标为x时的横向位移；T为杆件轴力，受拉时为正，受压时为负；ρ为材料的密度；E，G分别为材料的弹性模量和剪切模量；A为截面面积；I为几何惯性矩；Ky为截面剪切形状系数，矩形截面时为2/3；圆形截面时为3/4；空心圆杆时为1/2；空心方管时为总截面积与腹板面积之比。

采用分离变量法求解式(1)，假定横向位移方程为

w(x,t)=φ(x)sin(wt)

(2)

将式(2)代入式(1)可得

(3)

其中，

φ(x)=C1sin(px)+C2cos(px)+
C3sinh(qx)+C4cosh(qx)

(4)

其中，

式(4)即为Timoshenko梁在一定轴力下的振型表达式。在该式中有4个待定参数C1，C2，C3，C4尚需要4个独立的等式方能确定。事实上，对于某一振型，可以通过沿梁5点(例如：x1,x2,x3,x4,x5)处的位移得到4个独立的位移比值λij(i=2，…，5,j=1)如下

(5)

对式(5)变换后可得到关于4个待定参数C1，C2，C3，C4的联立方程

(6)

式中，[S]的具体表达式如下

式(6)中，C1，C2，C3，C4作为边界约束条件必有非零解，故方程组系数矩阵的行列式为0，即|S|=0，从而可以确定轴力T的数值。

1.2 杆件轴力和抗弯刚度的关系

1.1节中，轴力识别时需要构件的抗弯刚度EI为已知参数，而事实上如引言中所论述的，吊杆或者拉索由于受力或者制造工艺等原因其内部钢丝的分离和粘接程度多有不同，致使其实际抗弯刚度与理论值有很大的出入，实际抗弯刚度一般为理论抗弯刚度EImax的 30%～70%。

因此，在轴力识别过程中如果给定的理论抗弯刚度值与实际抗弯刚度值偏差较大，则会造成识别轴力值偏离真实值。事实上，如第2章数值模拟轴力识别结果所示，如果给定抗弯刚度在理论抗弯刚度EImax的30%～70%变动，则轴力识别结果误差将高达20%。因此希望通过式(3)将轴力T和抗弯刚度EI同时作为未知量进行识别，提高轴力识别的精度。

为此，对式(3)进行变换后可以得到

(7)

式中：将轴力T和抗弯刚度EI作为未知量，材料的密度ρ、截面面积A、截面剪切形状系数Ky、截面几何惯性矩I、材料泊松比μ以及模态信息(φ,ω)作为已知量，可以看出轴力T和抗弯刚度EI存在一定的线性关系。

关于式(7)的讨论：

(2)分母中截面惯性矩I使式(7)中轴力与抗弯刚度EI在表现形式上不是单纯的线性关系。然而，后续的研究发现，当截面惯性矩I取不同数值时，对最终轴力和抗弯刚度识别结果的影响有限。因此，该式并不会因为在实际工程中最初给定值是Imax，Imin或是I的最初设计值的不同而大幅增加轴力T和抗弯刚度EI。

(3)实际工程应用中，可以将式(7)看成轴力T和抗弯刚度EI是关于其振型等信息的近似一次函数。

因此根据式(7)，通过测量前几阶振型，可以构造多个抗弯刚度-轴力的线性关系。多个线性关系必然交于一点，该点即为该杆件在当前工作状态下的实际轴力T和抗弯刚度EI。

通过这种方式，可以不必事先给定原Tiomoshenko梁理论轴力识别方法中的理论杆件抗弯刚度值，而是通过实际测量数据获得真实的抗弯刚度和轴力。这样，由于识别的抗弯刚度比理论设计值更接近于真实情况，使识别的轴力也更准确。

2 数值模拟

本章通过一个简支梁的数值模拟实例验证1.2节推导的理论式(7)。利用ANSYS软件建立一个实心圆杆简支梁模型，具体参数如下：简支梁长600 mm，直径14 mm，密度7 930 kg/m3，截面惯性矩1.886×10-9m4，弹性模量为1.93×1011N/m2，泊松比为0.3。实心圆杆的理论抗弯刚度为363.95 N·m2。

2.1 杆件轴力和抗弯刚度的关系

杆件动力测试模拟图如图1所示。图1中：C1～C4为边界约束条件未知参数；S1～S5为提取振型值的位置。模拟该圆形杆件在轴向拉力为20 kN时的横向振动，通过模态分析提取该杆件的前三阶振型和自振频率，并提取梁上S1～S5共5个点的振型值。结果见表1。依据式(5)将其中一个振型值作为基准值，可以得到4个与基准振型值相比的比值。

表1 各阶模态下不同位置位移值

依据文中1.2节所述方法在抗弯刚度300～440 N·m2区间中选取多个不同的抗弯刚度值，根据表1的数据和式(6)可以得到前三阶模态下各阶模态在预设不同抗弯刚度值时所对应的轴力。由表2可以看出，随着抗弯刚度等量增加，轴力近似等量减少，且模态阶数越高轴力减少的幅度越大。

表2 前三阶模态轴力-抗弯刚度值

应用MATLAB对每阶模态下的8组抗弯刚度-轴力值进行拟合，拟合方法为polynomial，可以得到各阶模态下轴力与抗弯刚度的线性关系。通过图像和拟合结果可以看出线性关系符合得很好。验证了1.2节中的式(7)。

将3个线性关系图像绘制在一起(见图2)。图2中：实线为一阶模态下拟合结果；虚线为二阶模态下拟合结果；点线为三阶模态下拟合结果。3个线性关系图像几乎交于一点Q，任取其中两阶模态下的线性关系可以求解Q的坐标值，即可同时识别该杆件的轴力和抗弯刚度。

2.2 利用不同模态信息对杆件轴力和抗弯刚度的同时识别

下面取不同的模态组合进行轴力和抗弯刚度的同时识别。首先取一阶、二阶模态时的函数进行计算，所识别得到的轴力和抗弯刚度分别为20 103 N和363.50 N·m2，识别误差分别0.52%和0.43%。若取一阶、三阶模态，则所识别得到的轴力和抗弯刚度分别为20 118 N和364.98 N· m2，识别误差分别0.59%和0.28%。若取二阶、三阶模态，则所识别得到的轴力和抗弯刚度分别为20 195 N和364.66 N· m2，识别误差分别0.97%和0.20%。可以看出，不论取哪两阶模态信息，所识别的轴力和抗弯刚度误差都较小，均在1%以下，说明式(7)识别精度很高。

2.3 不同参数下的轴力和抗弯刚度识别结果比较

本节通过数值模拟，研究不同长度、不同轴力和不同截面惯性矩对轴力和抗弯刚度识别结果的影响。研究内容分为三种工况：①圆杆轴力和惯性矩为固定值，分别为20 kN和1.886×10-9m4，长度分别为1.2 m，2.4 m，3.6 m；②圆杆长度和惯性矩为固定值，分别为0.6 m和1.886×10-9m4，轴力分别为10 kN，15 kN，30 kN；③圆杆长度和轴力为固定值，分别为0.6 m，20 kN，惯性矩分别为1.600×10-9m4，1.800×10-9m4，2.000×10-9m4。

三种工况下，选取一阶、二阶模态识别轴力与抗弯刚度。通过模拟识别结果(见表3)可以看出：杆件长度越长，轴力和抗弯刚度识别精度越高。杆件承受轴力不同，初始惯性矩若不为理论惯性矩，会改变最终轴力识别结果，但变化很小。三种工况下，本文方法对轴力和抗弯刚度都有很好的识别精度，识别误差均小于1%。

表3 不同工况下轴力和抗弯刚度识别

3 试验验证

3.1 试验设计

选取三种不同截面杆件进行模态试验，沿杆件均匀布置5个压电加速度传感器(灵敏度100 mV/g，质量为1.5 g)，见图3。试验时预设拉应力从0～30 kN逐级控制加载。动态激励采用单点锤击的方式，测试采样频率为2 500 Hz。数采和模态分析软件采用的是LMS Test.Lab，模态分析方法为Polymax法。三种截面杆件参数如下：①实心圆杆，长为600 mm，直径14 mm，密度 7 939 kg/m3，弹性模量1.500×1011N/m2；②空心圆杆，长度600 mm，直径19 mm，壁厚4 mm，密度8 037 kg/m3；弹性模量1.795×1011N/m2；③空心方杆，长为600 mm，截面为40 mm×15 mm，壁厚1.5 mm，密度8 071 kg/m3；弹性模量1.455×1011N/m2；泊松比取0.3。

3.2 轴力及抗弯刚度的识别

3.2.1 抗弯刚度与轴力初值选择

利用式(7)进行轴力识别时，需要预先设置抗弯刚度的选取范围。同时，利用式(6) 计算每一个抗弯刚度对应的轴力是一个试算的过程，需要设置试算的轴力范围，范围越小识别效率越高。而实际边界约束条件往往介于固支和铰支之间，可以将铰支、固支条件下的轴力和抗弯刚度作为预设的识别范围，以提高计算效率和识别精度。

3.2.2 抗弯刚度与轴力初值选择

以三种不同截面杆件在15 kN的轴向拉力下识别轴力和抗弯刚度为例。首先通过3.2.1节公式选取每个杆件的抗弯刚度和轴力的范围值。其次在抗弯刚度范围值中任取多个抗弯刚度，通过式(6)得到一阶、二阶模态下每个抗弯刚度对应的轴力(见表4)。通过表中选取范围值可以看出，杆件试验时边界约束条件介于固铰之间且十分接近于两端固支。通过式(7)的关系分别得到前二阶模态下两个仅含有轴力和抗弯刚度的线性关系。最后通过求解两个线性关系的交点识别三种不同截面杆件的真实轴力和抗弯刚度，识别结果见图4。图4中：实线为一阶模态下轴力与抗弯刚度线性关系；虚线为二阶模态下轴力与抗弯刚度线性关系；两个线性关系交于一点，该点即为识别的轴力和抗弯刚度。

表4 前二阶模态下不同截面杆件轴力-抗弯刚度值

3.2.3 不同轴力下不同截面杆件识别

本节对三种截面杆件分别在轴力10 kN，20 kN，30 kN的作用下进行轴力和抗弯刚度识别，识别结果见表5。可以看出实心圆杆整体轴力识别误差小于4%，抗弯刚度识别误差小于3%。空心圆杆整体轴力识别误差小于2%，抗弯刚度识别误差小于1%。空心方杆整体轴力识别误差小于4%，抗弯刚度识别误差小于2%。综合分析，本文方法对三种截面杆件都有很好的识别精度。空心杆件整体识别精度略高于实心杆件，且空心圆杆在三种截面杆件中识别精度最高。该试验结果验证了本文提出的轴力和抗弯刚度识别方法在未知边界约束条件下具有良好的适用性。

表5 不同轴力下不同截面杆件轴力和抗弯刚度识别

4 方法对比

第3章对杆件进行轴力识别时，三种杆件试验时的边界条件介于两端铰支和两端固支之间，并且十分接近于两端固支。为了研究本文方法的计算效果，对三种不同截面杆件在轴向拉力为15 kN时，分别用本文方法以及其余三种常用方法进行轴力识别，并对识别结果进行对比。具体方法为：

方法一频率法。需要已知两端固支边界约束条件，杆件一阶频率，抗弯刚度。具体识别公式为

(8)

式中：f为杆件的一阶频率；m为杆件质量；l为杆件长度；T为杆件杆件轴力；EI为杆件抗弯刚度。

方法二能量法。需要已知两端固支边界约束条件，杆件一阶、二阶自振频率。具体识别公式为

(9)

方法三改进动力法。需要已知杆件一阶频率，一阶振型5个位置位移值，抗弯刚度。具体见式(6)。

方法四本文所述方法。需要已知杆件一阶、二阶频率；一阶、二阶振型下每阶振型5个位置位移值。具体为式(7)。

通过对比结果(见表6)可以看出，边界约束条件的不确定使频率法和能量法的轴力识别精度较低，而频率法对于空心圆杆和空心方杆轴力识别不再适用。与频率法与能量法相比，本文所述方法对三种不同截面杆件轴力识别都有很高的精度。与改进动力法相比，本文方法可以在未知抗弯刚度条件下进行轴力识别且精度不会降低。

表6 不同方法轴力识别对比结果

5 结 论

(1)本文利用经典Timoshenko梁理论的动力方程，通过理论推导发现杆件的轴力与刚度关于其模态信息存在线性关系。利用此线性关系提出了一种利用多阶模态信息的杆件刚度和轴力识别方法。

(2)通过简支梁的数值模拟和三种不同截面杆件在不同工况下的轴力试验表明，本文提出的方法都有较高的识别精度，验证了本文方法的有效性。

传统的Euler梁未能考虑复杂边界中的剪切效应和转动惯量的动力影响，本文方法采用Timoshenko梁理论计及这些影响，能够提高短吊杆或短索在未知抗弯刚度条件下的轴力识别精度，对于短吊杆/拉索等剪切效应影响较大的构件，具有较高的工程应用价值。