探究坐标系与参数方程试题的破解方法

王新宏

《坐标系与参数方程》选考题是大多数考生选做的试题，在高三的复习中，练习了大量的加减消参、代人消参、三角消参（利用sin？0+cos0=1）、平方相减消参等，也练习了很多的化为直角坐标系后解决相关问题的试题，但像转换后消参，必须利用极坐标思想解决的试题几乎没有，当遇到这种非常态的新题，考生的心理防线容易崩溃，容易陷人山重水复疑无路的窘境。因此，这类新题对考生的能力要求较高，仅凭刷题已无法达到中档题不丢分的目的，所以我们必须引以为戒，在平时的复习中，很有必要精选一些这样的新题，让同学们学会独立思考，勤于推理，勇于转化，加强自我钻研的信心与精神，形成多思多悟的自觉意识，提高思维的灵活性和批判性，促使數学学科素养在高中课堂落地生根，开花结果。

例1在平面直角坐标系xOy中，曲线

坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2.ocos0+/3osin0+11=0。

（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程;（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值。

解析：（1）思路1：将参数方程化为直角坐标系下的普通方程常用的方法有：代人消参法、平方相减消参法、三角消参法（利用sin'0+cos'0=1）等，但本题较新颖，直接利用这些方法都行不通，故需要冷静思考，把问题等价转化到我们能消参的轨道上去。当看到参数方程中的分母均为2次，分子一个为2次一个为1次时，可利用分离常数法，把2次转化为1次，之后的消参就水到渠成、顺理成

章了。

由x=pcos0，y=osin0，得直线l的直角坐标方程为2x+/3y+11=0。

思路2：将参数方程化为普通方程主要就是想尽一切办法消去参数t，大家最容易想到的就是代人法，故可以从代人法的思路人手，

由x=pcos0，y=osin0，得直线l的直角坐标方程为2x+/3y+11=0。

方法3：联想到三角函数中的万能公式：

现x的取值范围为x≠-1，缺乏完备性。

点评：对绝大多数考生来说，该题有两个难点：一是参数方程化普通方程;二是?为啥不等于一1。因此，这是一道有很高区分度的题，让搞题海战术的考生，无所适从，束手无策;但对数学基本功特别扎实，数学素养特别灵敏的考生，就是手到擒来，轻松化解。

（2）方法1：由（1）可设曲线C的参数方程

直线l的距离的最小值为/7。

方法2：如图1所示，作直线2x+/3y+

点评：利用椭圆的参数方程求最值是这类题的常规方法，但方法2利用数形结合思想求最值显得直观、简捷。

例2在极坐标系中，O为极点，点M（po，0）（po》0）在曲线C：p=4sin0上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P。

（1）当0。=时，求。及直线l的极坐标方程;

（2）当点M在曲线C上运动且点P在线段OM上时，求点P的轨迹的极坐标方程。

分析：本题主要考查极坐标的几何意义，动点的轨迹方程的求法等知识，考查数形结合思想的应用，考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算。

解：（1）方法1：因为点M（po，0。）在曲线

（2）方法1（极坐标法）：设P（p，0），如图3

方法2（交轨法）：如图3所示，直线OM的斜率一定存在，不妨设直线OM的方程为

相乘消参即得普通方程为（x-2）'+y=4，转化为极坐标方程为p=4cos0。因为点P在线段OM上，故0的取值范围是

方法3（直接法）：如图3所示，设P（x，y），因为OPLAP，所以kop.kap=-1，即y.y

xx～-1，化简得（x-2）*+y*=4，转化为极坐标方程为p=4cos0。因为点P在

方法4（几何意义法）：如图3所示，因为OPLAP，所以【OPA=90°。又因为|OA|=4，所以动点P的轨迹是以线段OA为直径的圆，故点P的轨迹的普通方程为（x-2）2+y'=4，转化为极坐标方程为p=4cos0。因为点P在线段OM上，故日的取值范围是

点评：①该题的两问直接用极坐标来做要比化为直角坐标简单、快速得多，所以极坐标试题应打破定式思维，尽量优先直接用极坐标思想解题，而不是都化为直角坐标来做，这不仅是一种解题方法，更是一种优化策略、解题捷径，也是命题专家们的思想所在。②数形结合不可少，不仅直观形象，更是事半功倍效率高。0∈「兀π7是一大难点，大部分考生都丢分了，搞不清楚原因。如图3所示，当0=兀-时，点P与点M重合，是一临界状态;当0《4时，点P不在线段OM上，不满足题意;当0=-时，点P与点O重合，也是一临界状态;当0》时，点P不在线段OM上，不满足题意。故0EL4'2」。

解题后进行反思、总结，有助于同学们优化解题思路、突破疑难点，明晰高考方向与趋势。建立错题本可使同学们找到解题错误的原因，使同样的错误不会再犯，有助于知识网络的修建，有助于解题方法的完善与提高，有助于加强对数学思想方法与数学素养的领悟、理解，更可以把同学们的思维引向一个较深的层次，切实提高同学们的考试应变能力，培养同学们的创新思维能力，培养同学们用数学观点思考问题，用数学思想方法、数学素养解决问题的能力，从而轻松应对高考，考出好成绩。

（责任编辑王福华）