不等式“易错题归类剖析”

张云

本文对《不等式选讲》中的易错题进行了分类整理，并对发生和发展的思维误区进行了剖析和警示，希望对同学们的学习和复习能有所帮助。

一、利用基本不等式求最值时忽略等号成立的条件

例1（2021年四川绵阳高三模拟）已知a，b，c均为正实数。

（1）求证：（a+b）（ab+c）》4abc;

（2）若a+b+c=3，求/a+/61+/fI的最大值。

解析：（1）采用分析法证明，要证（a+b）。（ab+c）》4abc，可证ab+ac+ab2+bc24abc》0，需证b（a+c-2ac）+a（c+b2bc）》0，即证b（a-c）'+a（c-b）'》0，当且仅当a=b=c时，等号成立，由已知条件知b（a-c）*+a（c-b）》0显然成立，故不等式（a+b）（ab+c）》4abc成立。

（2）错解：因为a，b，c均为正实数，由均

警示：在求最值时，可以运用基本不等式a+b

a6<"2“对要证明的不等式进行化简来求解，关键是要灵活运用基本不等式满足的条件“一正，二定，三相等”进行证明。

二、多次运用基本不等式求最值时忽略同时取等号的条件

例2已知正数a，b满足a+b=1，则

论中从左至右依次称为平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数，分别包含了两个正数的平方之和a+6、两者之和a+b，两者之积ab、两者的倒数之和，只要已知这四个代数式中的一个为定值，就可以求解另外三个代数式的最值。

三、柯西不等式的应用中忽略题设条件和取等号的条件

例了（2021年江苏高三模拟）设x，y，zER，若x-2y+z=4。

（1）求x+2y+z的最小值;

（2）求x+（2y-3）*+3z的最小值。错解：（1）由柯西不等式知【1+（/2）+1][x+（-/2y）*+z]>[1Xx+（/2）x（-Ey）+1Xz】*，当且仅当_/2yZ时，等号成立。

故4【x+2y'+z'】》（x-2y+z）=16，故x+2y3+z》4，当且仅当x=z=1，y=-1时，等号成立。

所以x十2y'十z”的最小值为4。

剖析：柯西不等式的实质为两向量的数量积的平方与两向量模的平方的关系，应用的关键是依据目标和题设条件合理配凑定值且注意共线条件（取等号的条件）。（1）凑巧

工;（2）如何由+（2y-3）*+3°配凑平方和的积，构造出定值x-2y+z=4，导致思维中断。

正解：（1）配凑定值，由柯西不等式知

故x+（2y-3）+3z的最小值为21。警示：对于若干个单项式的平方和，因为其符合柯西不等式（a*+6++c）（m'+n'+..+p）》（am+bn+..+cp）*，所以只要补足另一个平方和多项式，合理配凑定值且注意同时取等号的条件便可利用柯西不等式来求最值。

四、排序不等式的应用中忽略其结构特征例4已知a，b，c均为正实数，求证：

警示：设a《a2《《a，，b《b;《..

（责任编辑王福华）

高考做题要先后有序

在试卷发下来之后，应该通览全卷，对各个试题的难易情况有个大致了解。做题时应做到：

先易后难。做题顺序应先易后难，这样先做出几个容易题就可以起到调整情绪、增强信心的作用。同时，先做容易题，也不会造成会做的题到最后没有时间做而失分的情况。

先熟后生。熟题一般情况下对同学们来说相对较易，先做可使你思维流畅、思路清晰。生题一般放到后边做，可确保熟题的完解，不会出现会做的题而没做出的现象。

先小后大。一般应先做选择题和填空题，再做解答题。小题一般解题步骤少，运算量小，易于完成。应迅速准确地完成选择、填空题，为做大题争取思考时间。

先同后异。先做同类型试题，思维比较集中，有利于知识的沟通和联系，过多地转移思维点对应试没有好处。

当然，书写规范、分段得分也很重要，书写规范与卷面整洁是考试的基本要求，因此，解题过程要做到详略得当。高考不可能每题都拿满分，对于数学解答题应恳可能分段得分，对已知条件做个等价转化就有回能得分，有时1分也很关键。