科学备考新指向:张琳

张琳

《不等式选讲》为高考选考内容之一，主要考查绝对值不等式的求解、不等式证明的基本方法（比较法、综合法、分析法等），以及根据给定条件求参数的取值范围、用基本不等式研究代数式的最值等问题，交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、基本不等式等内容。

题型一：绝对值不等式的求解

解绝对值不等式的常用方法有：

（1）基本性质法：对aER，|x|《a台a《x《a;lxl》ax《-a，或x》a。

（2）平方法：兩边平方去掉绝对值符号。（3）零点分段法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解。

（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解。

（5）数形结合法：在平面直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解。

例1已知函数f（x）=|2x+2|-|x-l|，xER。

（1）求f（x）《1的解集;

（2）若f（c）=x+a有两个不同的解，求a的取值范围。

解析：（1）由绝对值的意义可得f（x）=

（2）若f（x）=x+a有两个不同的解，即

y=f（x）的图像与直线y=c十a有两个交点。

如图1，当直线y=x+a过点（一1，一2）时，a=-1;

当直线y结合图像可得-1《a《3。

评注：本题考查绝对值的意义、数形结合的数学思想方法，难度虽然不大，但是对作图的能力要求较高。（1）由绝对值的意义可得（x+3，x>1，

f（x）=《3x+1，-1《x《1，再分段求解即可;（2）采用数形结合的数学思想方法解题，分别作出y=f（x）的图像与直线y=x+a的图像，观察交点个数情况，从而得出a的取值范围。

题型二：含绝对值不等式的恒成立问题含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律：

（1）根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值，转化为分段函数，然后利用数形结合解决。

（2）巧用“|al-|b|《|ab|《|a|+|6|”求最值。

①求|a|-|6|的范围：若a土b为常数M，可利用||al-|b||《|atb|台-|M|《|a|-|6|《|M|确定范围;

②求|a|+|6|的最小值：若a士b为常数M，可利用|a|+|6|》|atb|=|M|，从而确定其最小值。

（3）f（x）《a恒成立台f（x）《a;f（x）》a恒成立台f（x）mn》a。

例2已知函数f（x）=|2x-2al+|x-4a+3|。

（1）当a=1时，求不等式f（x）《9的解集;

（2）当a≠1时，若f（x）》4对任意实数x都成立，求a的取值范围。

解析：（1）当a=1时，f（c）=3|x-1|。由f（x）《9得|x-1|《3，即-3《x-13，解得一2《x《4。

所以当a=1时，不等式f（x）《9的解集为{x|-2《x《4}。

所以f（x）在（-oo，a）上是减函数，在【a，+）上是增函数。

所以f（x）min=f（a）=3a-3。

由题设得3a-3》4，解得a》3。

②当a《1时，a》4a-3，f（x）=

所以f（r）在（-，a）上是减函数，在【a，+）上是增函数。

所以f（x）mn=f（a）=-3a+3。

评注：本题考查绝对值函数，其本质就是分段函数，将绝对值去掉是解答本类题的关键，属于中档题。解题关键是找到f（x）mn，即可求出实数a的取值范围。

例了设函数f（x）=|x+1|+|.x-a|。

（1）当a=2时，解不等式f（x）》5x;（2）若存在xER，使得f（c）-2《0，试求实数a的取值范围。

解析：（1）由|x+1|+|x-2|》5x，可得

故实数a的取值范围为{a|-3《a《1}。评注：（1）由题意将不等式转化为分段函数的形式，然后分别求解相应的不等式组即可确定所求不等式的解集;（2）首先利用绝对值三角不等式求得|x+11+1x-a|的最小值，据此得到关于a的不等式，然后即可确定实数a的取值范围。

题型三：不等式的证明

不等式的证明常用的方法有：比较法、基本不等式法、柯西不等式法等。比较法通常是差值比较法，其基本步骤是：作差一变形一判断差的符号一下结论。其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号。应用基本不等式或绝对值不等式的性质求最值时，应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用基本不等式或绝对值不等式的性质求最值的一个易错点。个别题目要用柯西不等式证明。

例4设正数a，b，c满足abc=a+6+c，求证：ab+4bc+9ac》36，并给出等号成立时的条件。

证明：因为abc=a+b+c，所以ac=

评注：利用基本不等式完成证明或者计算最值时一定要说明取等号的条件。对于本题，将ab，bc，ac分别利用abc=a+b+c得到等价变形，然后利用基本不等式证明，并给出取等号的条件。

例5已知函数f（x）=|x-1|。（1）解不等式f（x）+f（x+4）》8;

（2）若|a|《1，|6|《1，a?0，求证：f（ab）>la1f（）。

所以|ab-1|》|a-b|。

故所证不等式成立。

评注：（2）中要证的不等式等价于证明|ab-1|》|a-b|成立，即证明|ab-1|"|a-6|'》0成立。

例6已知函数f（x）=|x-4a1+|c|，aER。

（1）若不等式f（x）》a'对任意xER恒成立，求实数a的取值范围;

（2）设实数m为（1）中a的最大值，若实数x，y，z满足4x+2y+z=m，求（x+y）？+y+z的最小值。

解析：（1）因为f（x）=|x-4al+|x|》|x-4a-x|=4|a|，所以a'《4|a|，解得-4

故实数a的取值范围为【-4，4】。

（2）由（1）知m=4，即4x+2y+z=4。根据柯西不等式可知（x+y）'+y2+z21

所以（x+y）+y十z的最小值为;21。评注：本题的第（2）问属于柯西不等式的常见题型。

高考全国卷几乎每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，可以归纳为写成分段函数求解、利用函数图像求解、利用绝对值不等式的性质求解等方法，所以同学们应加强这一方面的专项训练，熟练掌握绝对值不等式求解的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，从而准确快捷地解答该类问题。另外，同学们还应加强对不等式“恒成立”“能成立”“恰成立”几种模型的识别及求解能力，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想、数形结合思想，利用函数图像、函数最值等来解决问题。

（责任编辑王福华）