基于数学史的数学试题题根教学探索

张婷

【摘要】数学史是数学科学发展的历程，学习数学史，能够帮助学生形成系统、科学的的思维和方法。高考题、竞赛题本质上就是数学史中的精典问题。所以我们在教学中重视题组式教学，深层研究它们的共性，不能把它们当成一些孤立的问题，而应该追根溯源。本文以两个案例为例，从数学史的角度对数学问题的题根进行探索，将问题串联起来，由点及面，找到它们的本质联系。

【关键词】数学史;题根;题组式教学;高考

2017版《普通高中数学课程标准》提出“数学文化应融入数学教学活动。在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值。”近些年高考强调数学文化内容，而其中大多数内容是以数学史为载体。数学史是数学科学发展的历程，它诠释了数学科学从简单到复杂，从低级到高级不断发展进步的过程，蕴含极大的文化价值。将数学史融入高中数学课堂教学是新课程标准的一个重要突破，能够帮助学生形成系统、科学的的思维和方法。

数学史，不应该只是教学中的背景板。一线教师应该熟悉数学史，挖掘数学文化在教学中的新的生长点。在高考题中，并不是仅仅有以数学文化为背景的试题，更多的高考题、竞赛题本质上就是数学史中的精典问题。研讨、熟悉数学史可以高屋建瓴地深究某些数学问题的题根。倘若我们对数学史茫然不知，在数学探究中就很可能起点低、做无用功。我们通过数学史来研究题根题源就是登高而望远，站在巨人的肩膀上。所以我们在教学中重视题组式教学，深层研究它们的共性，不能把它们当成一些孤立的问题，应该追根溯源，对数学问题的题根进行探索，将问题串联起来，由点及面，找到它们的本质联系。

本文以两个案例为例进行探讨研究.

案例1：阿波罗尼斯圆：

例1 （2018年高考数学江苏卷第13题）在△ABC中，AB=2， CA=  2  CB，求△ABC面积的最大值.

常规解法：本题的常规解法是运用解三角形的方法解题。

设BC=a，则AC= 2 a，利用余弦定理可求得cosB=      ，则cos2B=   +   -    ，则sin2B=1-cos2B=    -    -    ，再利用三角形面积公式S△ABC=a sinB，继而可求S△ABC2=-   （a2-12）2+8，当a2=12，即a2=2   3  时，S△ABC有最大值2  2 .

这种解法转化思想是关键，其中由余弦到正弦的运算，由于形式复杂，难以预知下一步演算的结构，学生不敢进入运算，属于难题。

然而，这虽然是解三角形问题，但也属于平面几何问题，从解析几何范畴去探讨C点的轨迹，会发现C点的轨迹是一个圆，即是阿波罗尼斯圆。

阿波罗尼奥斯（约前262年至前190年），古希腊几何学家。著有《圆锥曲线论》八卷等。俗称的阿波罗尼斯圆是以下定理：平面上到两个定点的距离之比等于定值（且该定值不为1）的动点轨迹是一个圆。

由CA=  2 CB，得到C点的轨迹是一个圆，因此运用坐标法可以求得C的轨迹方程，则?△ABC是以AB为底，以C点到AB的距离为高的三角形，所以当C点到AB的距离为圆的半径时，S△ABC有最大值。

同样我们很容易破解以下问题：

变式：在平面直角坐标系xOY中，O为坐标原点，动点M到点P（1，0）与到点Q（4，0）的距离之比为    ，已知A（ 2 ，0） ，则∠OMA的最大值为            .

案例2：极点与极线：例2（2010年高考文科数学湖北卷第15题）已知椭圆：   +y2=1的两个焦点F1，F2，点P（x0，y0）满足0<     +y02< 1，则|PF1|+|PF2|的取值范围为          ，直线      +y0y=1與椭圆C的公共点个数是             .

关注焦点在第二个空，依题意可知，点P在椭圆内部且不是坐标原点，常规解法有两种，方法1是特值法，取P（0，   ），根据x0的范围，数形结合可以得到直线与椭圆相离;方法2是将直线与椭圆联立，根据判别式△判断，对小题而言这个方法运算量大。然而，根据       +y0y=1直线的形式，让我们联想到了极点与极线。

法国数学家笛沙格在《圆锥曲线图论稿》（1639年）中提出了极点极线的概念。极点与极线是高等几何中的重要概念，虽然不是高中数学课程标准中规定的内容，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，也常作为高考试题的题源。

极点与极线：已知圆锥曲线Γ：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则称点P（x0，y0）和直线l：Ax0x+Cy0y+D（x+x0）+E（y+y0）+F=0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线。事实上，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以         替换x（另一变量y也是如此）即可得到点P（x0，y0）极线方程。

极点与极线作法：

（1）当点P在圆锥曲线Γ上，则过P点的切线即为极线。

（2）当点P在圆锥曲线Γ外，从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）即为极线。