基于学生数学抽象素养培养的教学设计研究

凡丹

【摘要】本文以“函数的概念”一课教学为例，依据数学学科核心素养的四个维度设计教学目标，创设三种不同的问题情景和环环相扣的“问题串”展示教学过程，层层递进地引导学生发现和提出问题，并以学生自主探究、交流讨论为主的方式寻找解决问题的方法，经历概念获得的过程，让学生数学抽象素养的形成在教学中落地生根.

【关键词】抽象素养;数学教学;函数概念

1引言

抽象，基于抽象过程而言，是指从众多事物中舍弃其非本质特征，抽取出共同的本质特征的过程.数学抽象则是指得到数学中确立的各种基本概念、定义、公理、定理、模型、推理法则、证明方法等 “数学抽象物”的过程.

数学抽象是六大数学学科核心素养之一，学生经历数学抽象的活动过程可以帮助学生更好地理解数学、形成数学思维以及提升解决问题的能力.国外有研究者认为：21世纪对知识情境性的重视日益增强，素养的形成和发展与情境存在密不可分的关系.此外，有研究表明：学生在学习“抽象”数学知识时，通常需要降低抽象层次的思维过程，例如将新的概念与已有的知识建立关联，或者建立具体过程来重现抽象的结论.因此，为了更好地在教学中落实数学抽象素养的培养目标，课标对教师教学提出了新要求，即教师在教会学生知识技能的同时，应将数学抽象活动过程贯串于数学概念教学的全过程，注重新旧知识的内在逻辑联系，不断创新教学方式，创设符合教学内容的情境，引导学生多动脑思考，养成良好的学习习惯，激发学生学习数学的兴趣.

函数主题知识是高中数学课程的重要内容，其中对函数概念及其本质的深入理解是学生后续学好基本初等函数及其性质的关键，同时，也是提升学生数学抽象素养的重要一课.

2教学分析

“函数”是中学数学的核心内容.在初中阶段，学生已经学习过函数概念，进入高中，学生要继续学习更为抽象的函数概念，即“对应说”，其强调实数集与实数集间的对应关系，用集合和对应关系描述函数概念，明确函数的定义域、值域，并引入抽象符号f（x）.

初中所学函数概念主要研究变量间的相互关系，并未深入探究函数概念的本质，学生很难进一步学习函数的图像及性质.因此，进一步扩展学习函数概念“对应说”很有必要.

3目标与方法设计

3.1教学目标

问题与情境：创设合适的教学情境，让学生在函数概念的建构过程中体会由特殊到一般、从具体到抽象的思维过程.

知识与技能：能用集合与对应语言描述函数，理解函数概念的本质.

思维与表达：采用探究式课堂教学，让学生在活动中体会类比、归纳、抽象、概括等数学思想方法，提升数学抽象素养水平.

交流与反思：注重知识的科学应用、文化价值，培养学生严谨的学习态度，感受数学的抽象美、简洁美、数与形的和谐美.

3.2教学重点与难点

重点：理解函数概念及其构成要素.

难点：函数概念构建过程，理解函数概念本质及抽象符号的意义.

4教学过程

4.1创设情境，联系新旧知识

回忆：你还记得初中阶段所学的函数概念是什么吗？你已经学过哪些具体函数呢？

问题1请同学们应用初中所学函数概念思考并回答：

（1）y=1是否表示一个函数？

（2）y=（x）2与y=x表示同一个函数吗？

师：应用“旧”知识，难以对以上问题给出准确答案.让我们一起学习一些“新”知识后再来解决上述问题吧！

【设计意图】引导学生回忆初中所学的函数概念，复习“旧”知识.设计问题1中（1），此解析式中只有一个变量y，与初中概念中两个变量产生矛盾，学生误判y=1不是函数;设计问题1中（2），y=（x）2化简后与y=x在解析式形式上完全一样，但定义域不同，由于初中概念中未涉及定义域，学生误判这两个函数表示同一个函数.在问题引入中创设矛盾，启发学生深入思考，让学生体会初中所学函数概念的局限性，引发学生想要学习新概念的强烈愿望.

4.2探究新知，经历抽象过程

情境1某“和谐号”高速列车加速到300 km/h后保持匀速行驶半小时.该时间段内，列车行进的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系式可以表示为s=300t.

师：请问在该情境中，变量是什么？变量间存在函数关系吗？

生：s和t是变量，且s是t的函数.

师：为什么？

生：因為t的每一个确定的值都与s中的值一一对应.

师：根据s与t的关系式，当列车加速到300 km/h后，列车运行1 h就前进了300 km，这样的说法对吗？为什么？

生：不对.因为没有考虑运行时间的范围，根据题目要求0≤t≤0.5，所以0≤s≤150.

师（引导总结）：我们前面学习了集合，那对于t和s这两个变量的范围，我们是否可以用集合来表示？

t的变化范围可以用集合A={t|0≤t≤0.5}表示，s的变化范围可以用集合B={s|0≤s≤150}表示，对于集合A中的任一时刻t，按照对应关系s=300t，在数集B中都有唯一确定的路程s和它对应.

【设计意图】通过该情境，教师以“问题串”的形式引导学生从熟悉的情境中抽象出“变量”“变量关系”“变量的取值范围”.结合已学知识，将“变量的取值范围”用“集合”表示，强调变量间的“对应关系”，让学生经历函数概念从“变量说”到“对应说”的变化过程，用准确的数学语言描述变量间的关系，体会数学的严谨性.

情境2图1为云南省昆明市某天的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任意时刻t的空气质量指数值I？你认为这里I是t的函数吗？

情境3表1为某市居民恩格尔系数变化情况，你认为恩格尔系数r是年份y的函数吗？注：恩格尔系数r=食物支出金额/总支出金额.

交流讨论：请同学们以4个人为一个小组交流讨论，尝试用数学语言描述情境2、情境3中变量之间的关系.

思考1情境1～3中的函数有哪些共同特征？

生：（1）都包含两个非空数集;（2）都有一个对应关系;（3）尽管对应关系不同，但按照每个情境的对应关系，数集A中的数都与集合B中的数一一对应.

【设计意图】该环节根据初中所学函数表示方法，分别设计以解析式法、图像法、列表法为函数对应关系的三个不同情境，让学生根据情境1的分析过程，以小组形式自主探究情境2、情境3，观察图像和表格的数据，找到变量的变化范围及变量间的对应关系，归纳总结函数的共同特征.通过该环节，让学生亲自从具体事物中抽象概括出对应的函数，经历数学抽象活动过程，在合作学习中积极思考和表达自己的观点，锻炼交流表达的能力，感受学习数学的乐趣，提升学习数学的自信心.

4.3概念生成，形成数学抽象

思考2通过探究我们可知两个变量间的对应关系可以用解析式、图像、表格来表示，还有其他的方法可以表示对应关系吗？

生：有，比如文字语言描述等.

师：数学本质表现为对一般事物进行高度地抽象概括，对于变量间对应关系的多种表示法，可以统一为同一种形式描述吗？

生：可以，用抽象符号f表示变量间的对应关系.

师：通过探究，你能用你的语言给出函数概念吗？ 并与教材中的概念对比.

学生独立归纳函数概念后与教材对比.

思考3从函数的概念中，我们知道函数可以用抽象符号y=f（x），x∈A表示，那么可以用y=g（x）表示函数吗？你知道构成一个函数的必要条件有哪些吗？

生：可以，f或g只是表示对应关系而引入的抽象符号;函数的必要条件有定义域、对应关系和值域.

师：我们将定义域、对应关系、值域叫作函数的三要素.

【设计意图】以三种表示函数的方法入手，引导学生理解抽象符号f表示的是对x施加的某种法则或运算，且并不是只能用f表示，还可以根据需要使用其他字母符号表示对应关系，同时根据函数概念进一步明确构成函数的三要素.通过该环节，让学生学会用数学符号语言表达概念、规则，体会由特殊到一般的数学思想.

4.4概念理解，深入理解本质

思考4学习了新的函数概念后，请同学们再次思考课堂开始时的两个问题，你做对了吗？为什么？

生：没有，因为忽视了函数解析式中的隐藏变量及函数的定义域.

师：接下来，请同学们观察思考例1，并对比四个题之间的异同点.

例1下列函数中，哪个函数与y=x相等？

（1）y=（x）2;（2）y=x2; （3）u=3v3; （4）m=n2n

师：通过观察例1中4个函数的图像，你能判断哪两个函数相等吗？（几何画板展示）

生：（3）与y=x相等.

师：我们观察图像得出这两个函数相等，那这两个函数有什么共同点呢？

生：两函数的三要素均相同.

师：如果只有定义域和对应关系相同，两函数相等吗？若只有定义域和值域相同时呢？若只有对应关系和值域相同时呢？

生：①相等，当定义域和对应关系相同时，值域也就相同;②不相等，比如：y=x与y=x+1;③不相等，比如：y=x2，定义域取（-∞，0）和（0，+∞）.

师：请同学们思考两个函数相等需要满足什么条件.

生：对应关系和定义域相同，与解析式中的字母或抽象符号无关.

【设计意图】该环节借助几何畫板展示函数图像，带领学生分析相等函数的条件，该过程主要考查学生结合其他基础知识化简函数解析式及求解定义域的能力.将其他基础知识与函数知识相结合，注重知识之间的内在联系，帮助学生构建完整的知识体系.

思考5在具体函数中，定义域与函数概念中的集合A是什么关系？值域与函数概念中集合B呢？

生： 定义域就是函数概念中的集合A，而值域只是集合B的子集.

【设计意图】帮助学生进一步理解函数概念中定义域和值域与其对应集合的关系.

5交流讨论，学会应用数学

交流讨论：对于函数y=x（10-x），你认为该函数关系可以用来解决实际生活中的问题吗？如果可以，你能构建一个符合该函数的问题情境吗？

【设计意图】该环节让学生在交流过程中，学会结合实际情境解释相关的抽象概念.函数y=x（10-x）是高度抽象的符号表示.在实际生活中，该函数可用于计算已知周长为20的长方形的面积，也可以用来描述某物体的上抛运动等.数学教学的目的不仅是要求学生掌握知识技能、应对考试，更应该加强引导学生了解数学的学科价值和应用价值.