小学数学教材解读的问题意识与方法统筹

摘要：教材是教师最主要的教学素材，只有准确解读教材，才能用好教材。解读教材时要有明确的问题意识，即教材“是什么”“为什么”“想什么”“有什么”。要解决这样的四个问题需要一定的方法统筹，其中，整体的观念、比较的意识、结构的视角、儿童的立场是最基本的策略。

关键词：小学数学;教材解读;问题意识;方法统筹

教材是教师最主要的教学素材，只有准确解读教材，才能用好教材。笔者认为，小学数学教材解读中尤其需要问题意识与方法统筹。

一、树立问题意识：清楚回答四个“什么”

解读小学数学教材要透过文字、图形和符号等，知道其内容和内涵，明确教材要给学生传递什么知识、提升什么能力、学习什么数学思想方法等。教师一定要明确教材解读的目标，清楚回答四个“什么”。

（一）读清“是什么”：理解知识的内涵本质

菲利克斯·克莱因指出：基础数学的教师应该站在更高的视角来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单;一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程，以及数学教育的演化经过。也就是说，小学数学教师应该了解初等数学的体系和结构，了解初等数学史。

苏教版小学数学四年级下册的《确定位置》，教学内容是用数对确定位置。例1的情境比较现实，教室是学校生活的主要场所，确定教室里的座位是现实问题，学生联系已有经验容易接受有关数对的知识，也容易体验数对表示位置的思想方法。在此基础上，把平面图上表示的建筑、场所看作方格纸上的点，用数对确定它们的位置就水到渠成了。例1着重教学用数对确定位置的有关知识与基本方法。而例2的情境则有些抽象，应用数对确定位置，提高了数学化程度，有利于培养学生确定位置的能力。放眼中学知识的学习，例2其实就是直角坐标系中的第一象限。用数对确定位置，本质上就是在平面直角坐标系中，用一对有序的实数确定一个点的位置;反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示，这样的有序实数对叫作点的坐标。这样来理解用数对确定位置，这里的数对其实就是点的坐标。基于这样的理解，就不会把教学停留在生活应用上，局限于用数对表示生活中物体的位置。这一部分内容的学习是为今后建立直角坐标系打基础的，意在培育数形结合的思想。综观数学史，笛卡尔坐标系绝不是仅仅用数对表示物体的位置，而是用数对的方法计算几何问题。这样实现了图形中的点与有序实数对的对应，有助于更深入地理解数学、研究数学。

再将四年级下册的《确定位置》与六年级下册的《确定位置》做比较，四年级下册是用一对有序的数表示平面上某个点的位置，而六年级下册是用方向和距离表示平面中某个点的位置，再到中学中用一对有序实数表示平面上某个点的位置，本质上都用两个量确定平面上某一点的位置。由于学生知识基础的不同，用数对确定位置只能表示直角坐标系中的第一象限，而六年级的用方向和距离则可以表示四个象限内的点。中学学习了负数之后，也可以用一对有序的实数表示四个象限内的点，就是点的坐标。由此可見，一维空间只需要一个数则能确定点的位置，而要确定三维空间中某个点的位置则需要三个有序的数。

（二）读懂“为什么”：沟通学生的经验世界

教材中，例题之间、例题与“试一试”之间都有一定的顺序。教师理解了为什么这么编排，就能很好地沟通知识与学生的经验世界。以苏教版小学数学六年级上册《分数除法》一课为例，教材安排了一个例题与一个“试一试”。例1：“量杯里有45升果汁，平均分给2个小朋友喝，每人喝多少升？”试一试：“如果把45升果汁平均分给3个小朋友喝，每人喝多少升？”先平均分给2个小朋友，再分给3个小朋友，这当中既有编者的智慧，更是考虑学生的经验。把45升平均分给2个小朋友，学生根据已有经验能够解决。学生会有多种方法，可以是借助画图，直观地看出把45升平均分成2份，每份就是25升;可能会想，45中有4个15，把4个15平均分成2份，每份是2个15，就是25;也有学生会从图形中发现，把45升平均分成2份与求45升的12同样多。需要引导学生发现一个分数除以整数与这个分数乘整数的倒数的结果相等。从学生已经有的经验出发，发现其中的规律：一个分数除以整数等于这个分数乘整数的倒数。接下来，让学生完成把45升果汁平均分给3个小朋友喝，每人喝多少升？交流时，提醒学生思考：你是如何计算的？这时会发现，不再有学生用画图的方法了，也没有用4个15除以3了，几乎都是用45×13。这样的教学既尊重学生的经验，也将多种方法进行了优化。学生明白了分数除以整数改成分数乘整数的倒数具有一般意义，而前面的两种方法有一定局限性。

（三）读透“想什么”：凸显学习的思维方式

在理解教材编排结构的基础上，还要进一步读透教材，理解教材知识的呈现方式，把握内含的数学思想方法。教材中相关数学知识的认识背景、学生认知方式、内化途径等决定其呈现的方式。

如苏教版小学数学五年级上册《平行四边形的面积计算》，其公式的推导教材安排了三个例题，三个例题之间有着怎样的逻辑关系呢？怎样引领学生的思维，使其能够通过对平行四边形面积公式的推导学习，掌握一般平面图形的面积计算公式的推导方法呢？这是我们解读任何教学内容都需要思考的问题。研读教材，会发现其中蕴含这样的思考探究过程——

例1通过转化前后的面积是否相等，告诉学生图形的转化要以面积相等为基础;同时，也正是由于面积相等，所以才能通过转化来推导图形的面积计算公式，这是面积公式推导的基石。

例2直接提出问题：“你能把右边的平行四边形转化成长方形吗？”这让很多教师疑惑：这样不是会减少学生图形转化的灵活性吗？其实不然。有向转化，正是面积计算公式推导的思维基础。要求推导平行四边形的面积计算公式，那就必须转化为学过的长方形。因此，就要以长方形的特征为思维基础，进行有向转化——只有概括长方形的特征，才能得出“沿高剪”的正确结论，也为以后面积计算公式推导提供思维路径。

例3则通过教材第115页提供各种形式各异的平行四边形，让学生从中任选，并提供表格让学生交流比较，意在让学生明确这样的关系比较的普遍;最后，通过与长方形对比中的简单演绎推理过程，得出平行四边形面积计算公式。这样从等积变形（转化后与转化前面积相等）到有向转化（沿高剪开转化成已学过面积公式图形），再到更多举例（经历数学归纳过程）、公式表达（由图形各要素关系导出计算公式）。

就是这样的三个例题蕴含的思考过程，把平面图形面积计算公式推导的思维路径展开得科学、合理。教学时，要把这样的展开逻辑让学生充分经历体悟，形成思维结构，便于学生在今后的平面图形面积计算公式乃至立体图形体积计算公式等推导的学习过程中，自觉运用形成正向迁移，实现从“学会”到“会学”的升级。

（四）读出“有什么”，形成整体的结构意识

教材解读时，不能只盯着一课时的内容，需要有整体结构的意识，全面地看教材，还要能看出一些教材中没有直接或显性表达出来的内容。

例如，苏教版小学数学五年级上册的《多边形的面积》，仅看例题中三角形及梯形的面积公式的推导，都是运用两个完全相同的三角形（梯形）拼成一个平行四边形，比较拼成的平行四边形与三角形（梯形）的关系，推导出三角形（梯形）的面积计算公式。而在本单元的《你知道吗》中，又介绍了《九章算术》中的“半广以乘正从”。刘徽用“以盈补虚”对这种方法加以说明。一个单元结束后，在《整理与练习》中有这样一道思考题：“在方格纸上画一个三角形和一个梯形，通过剪、拼分别把它们转化成平行四边形。你能根据转化的平行四边形与原来图形的关系，推导出三角形和梯形的面积公式吗？”由此可以看出，编者希望运用多种方法推导出图形的面积计算公式，希望在研究多边形的面积时，适当介绍古代数学的研究成果，培养学生的数学情感与民族自豪感，这也是一种学科育人。

再如，苏教版小学数学五年级上册的《小数乘法和除法》，之前一版教材是分两个单元教学的，《小数乘除法（一）》和《小数乘除法（二）》。这样分散教学不利于学生掌握，然而，小数乘除法计算的能力又需要进行一定量的练习，集中学习之后练习的时间会减少。教材为了解决这一问题，在学完小数乘除法新知之后，每个练习中都安排了小数乘除法计算的练习。这就提醒我们，小数乘除法的学习，需要集中教学、长期练习。唯有如此，才能助力学生形成一定的运算能力。

二、讲究方法统筹：重点关注四个维度

教材解读是一个复杂的问题。教师根据自己的实际情况或者遇到的实际问题，需要采用不同的方法，其中，整体的观念、比较的意识、结构的视角、儿童的立场是不可或缺的。

（一）整体的观念：在森林中看树木

小学数学教材是以数学自身的体系结构以及小学生的认知规律为基础，把数学基本概念、规律、思想方法等构建成一个有机的整体。这个整体不是知识的简单堆砌，而是一个上下纵横交错、各部分紧密联系，循序渐进、螺旋上升的知识网络。因此，我们应树立整体意识，厘清各个部分知识的逻辑关系，把握教材体系。以苏教版小学数学五年级下册《简易方程》为例，我們在解读这一单元教材内容时，不能单看这一单元的内容，要有整体的观念，至少可以从两个维度去看。

其一，以本册教材为一个整体，整体认识整本教材之后，再看这一单元的内容。本册教材一共安排了8个单元。中间还有2个综合与实践活动——《蒜叶的生长》和《球的反弹高度》，和一个探索规律的专题活动——《和与积的奇偶性》。可以看出，第一，代数初步知识多了，以前更多的是算术知识，从五年级上册学习用字母表示数开始引入代数知识。第二，数的认识从之前的整数、小数，到这学期开始系统地学习分数知识了。第三，平面图形的认识在直线平面图形的基础上开始教学曲线平面图形。在数学知识教学的同时，数学思想方法更多了。有关方程的知识和思想，将极大地突破算术知识与方法，从此，“已知”与“未知”不再是矛盾、对立的两种数量，而是有机联系、内在统一的两个方面。研究与表达数量之间的关系，也不再局限于“整数倍”范围内，可以用分数表示数量之间的倍比关系，也可以把较小的数量与较大的数量相比较。解决问题的策略教学不只是解答那些传统“应用题”式的实际问题，还能解答“非常规”的比较新颖的实际问题;至于《圆的认识》中，“曲”与“直”的相互转化，渗透了初步的辩证法。《简易方程》的学习是学生从算术思维向代数思维的发展，这一单元的学习要让学生体会：方程是为了求未知数，方程是表示已知数与未知数之间的等量关系，方程运用等式的性质进行适当的变形，可以求出未知数的值。

其二，从知识体系来看《简易方程》，它属于“数与代数”领域中“式与方程”的内容。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（简称“新课标”）中关于“式与方程”在第二学段提出了4条要求：

1.在具体情境中能用字母表示数。

2.结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。

3.能用方程表示简单的情境中的等量关系（如3x+2=5，2x-x=3），了解方程的作用。

4.了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

苏教版小学数学教材依据新课标在“式与方程”这一内容分三次安排教学内容（见表1）。

内容册次用字母表示数，数量关系，公式五年级上册用方程表示等量关系，等式的性质，解简易方程，列方程解决实际问题五年级下册列方程解决有关分数、百分数的实际问题六年级上册五年级下册就《简易方程》又安排了10个例题和一个《整理与练习》（见表2）。

例题教学内容练习例1等式的含义例2方程的意义例3等式的性质（一）例4用等式的性质（一）解一步计算的方程例5等式的性质（二）例6用等式的性质（二）解一步计算的方程练习一例7列方程解答一步计算的实际问题例8至

例10列方程解答两、三步计算的实际问题练习二

练习三整理与练习例1、例2是在认识等式的基础上认识方程的含义。例3到例6，边学习等式的性质，边运用等式的性质解方程。例7则是学习运用列方程解决实际问题的一个完整过程。例8到例10是列方程解答两、三步计算的实际问题。这里不仅要指导学生如何找等量关系，还要指导他们选择合适的等量关系列方程。方程求解的过程会简单一些，这一过程中还要教学如何解稍复杂的方程等。

（二）比较的意识：在对比中找异同

对比分析不同版本教材，有助于教师选择适当的内容及其处理方式，实现数学教材的再加工和再创造。在数学教学中，教师要“瞻前顾后”“左顾右盼”，要“承前启后”“继往开来”。不仅要纵向融通，还要横向融通。纵向融通，有助于教师将知识置于发展性的知识脉络之中，从而让新旧知识得到更好的链接。横向融通，则有助于教师在知识差异的基础上比较、反思，从而获得深刻的启迪、合理的优化，建构知识结构和体系。

例如，五年级下册的《圆的周长》，和实验版教材相比，教材编排就发生了变化。

教材中的例4到例6，教学圆的周长，依循“观察比较—形成猜想—实验验证—归纳应用”的路径。与实验版教材相比，例5前多了这样一个部分：“在正方形内画一个最大的圆。你知道正方形的周长是圆直径的几倍吗？在圆内再画一个正六边形，六边形的顶点都在圆上，六边形的周长是圆径的几倍？想一想：圆的周长大约是直径的几倍？”

为什么要增加这一内容呢？我们整体来看这一部分内容——

例4着重教学圆周长的含义，引导学生形成圆的周长与它的直径有关的猜想。联系实际以及生活经验，提示圆周长的意义，有助于原有的周长概念迁移到新的平面图形上来。比较3个车轮的直径与周长，形成圆的周长与它的直径有关的猜想。

例5分两部分。第一部分，正方形内画一个最大的圆，在圆内再画一个内接正六边形。从教材的图中可以看出，圆的周长比正方形周长短一些，比六边形的周长长一些，即圆的周长在直径的3倍到4倍之间。教材这样安排至少有两点意图。第一，我们的祖先曾经像这样探索圆周长的计算方法，并取得了辉煌的成就，让学生简单经历这样的过程，能获得良好的情感体验。第二，初步得出圆周长是它直径的3倍多一些，能给后面探索圆周长的计算公式一些引导，也可以验证后面的计算是否合理。

第二部分是测量圆的周长，体会圆的周长与直径之间的确定关系，认识圆周率，最终形成圆周长的计算公式。这一部分让学生测量一些圆的周长与直径，验证前面的猜想，圆的周长的确是直径的3倍多一些，至于学生算出的结果是3倍多多少，并不是很重要。事实上，圆周率不是算出来的，圆周率是一个无理数，测量出的圆周长和圆直径是两个有理数，两个有理数的商不可能是无理数。这里的计算只是帮助学生去感知。上述活动的价值，有助于学生建立一种圆周长与圆直径关系的猜想，让学生更好地体会圆周率的丰富内涵，感受圆的无限魅力。

实验操作之后，要引导学生去阅读，客观地介绍圆周率的历史，再介绍圆周率的含义，以及中外数学家在圆周率研究方面的杰出思想和贡献。

教材这样编排，是还原的圆周率的研究史，让学生按照数学发展的历史经历圆周率的研究过程。事实上，我们还需要进一步介绍当今对圆周率的研究，也是书中第95页《你知道吗》中所介绍的内容。按照数学发展史来进行学习，也就是所谓的再创造。

（三）结构的视角：在结构间找逻辑

美国教育家布鲁纳说：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解学科的基本结构。”教师要想让学生真正理解与建立学科结构体系，必须高屋建瓴地认识、理解与掌握教材中的学科基本结构。教材中的数学常将学科数学的结构进行拆解重编，让学生一点一点地学习数学，不断循环，螺旋上升。教师要还原数学的本来结构，看到或触摸到数学知识核心及完整的样子，感悟隐藏于知识背后的数学思想。只有科学、准确、深入理解教材，才能用好教材，才能创造适合每一位儿童的数学教育。

平移、旋转和轴对称是“图形与几何”领域里关于“图形的运动”的知识，苏教版小学数学教材中分两次编排了《平移、旋转和轴对称》，分别在三年级上册和四年级下册。同样的课题，教学内容与教学目标存在很大的差别。

三年级上册是结合实例，要求学生感受平移、旋转、轴对称现象;能辨认简单图形平移后的图形;通过观察、操作，初步认识轴对称图形。这些要求相对比较低，只要从身边的实际事例中感知，初步形成表象，能辨认简单的图形平移后的图形，帮助学生积累一些有关物体或图形运动变化的初步体验。

而到了四年级下册，要求在方格纸上把简单图形水平平移或竖直平移，在方格纸上把简单图形按顺时针方向或逆时针方向旋转90度;通过把图形对折，找到轴对称图形的对称轴，在方格纸上画出轴对称图形的对称轴，或者在方格纸上补全轴对称图形。所有画图与操作活动，都是让学生进一步体会平称、旋转和轴对称的含义，锻炼学生的空间思维。与三年级上册比较，有了一定的提升，但对难度还是有所控制的，都是强调在方格纸上去完成。到了中学，还会进一步学习旋转、轴对称，探索轴对称图的性质。

苏教版小学数学教材的编排注重知识之间的联系与递进，从三年级上册结合实例认识到四年级下册方格纸上简单图形的探究，再到中学对图形性质的研究。通过“纵向深入”，不断推动学生深入对相关数学知识、思想方法、活动经验的体验。

（四）儿童的立场：从学生处想困难

美国心理学家奥苏贝尔认为，“影响学习最主要的因素是学生已知的内容，弄清了这一点之后，进行相应的教学”。只有学生真正地把将要学习的新内容与自己头脑中的原有认知结构相联系，才会产生有意义的学习，进一步形成新的认知结构。教材解读也应树立学情意识，贴近学生现实，从学生的认知结构与思维特点出发，分析学生对教材内容会有怎样的理解障碍，学生的学习困难会发生在何处。教师要沟通教材内容与学生的经验世界，使二者相融相通，促进学生思维水平的发展和提升。

在学习五年级下册的《圆》时，学生对圆的本质“圆，一中同长也”的理解有一定的困难。教材从三个方面帮助学生理解。一是在呈现常见圆形物体的基础上，要求学生联系生活经验进一步列举生活中所见过的圓形物体、自然现象、运动现象。二是结合用圆规画圆的过程去理解，“两脚叉开”就是定长，“固定针尖”就是定点，“旋转成圆”就是使无数个点集合成圆。三是通过利用所学知识解释相关生活现象来理解。自行车的车轮为什么做成圆的，车轴应该装在什么位置等。在这一系列的活动中，帮助学生理解圆的本质特征。

准确解读教材，对教师而言是有挑战的。尤其是新入职的教师，要根据自己的认知基础，明确解读目标，探索解读方法。在解读之后，更需根据教材的内容与学生的实际情况活用教材。如此，才能设计出一节节既符合知识本质、符合学生学习规律，又能提升学生数学素养的好课。

参考文献：

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[3] 李志军.分析知识结构优化认知结构[J].小学数学教育，2020（7/8）.