分数度量意义发展的认知根基及轨迹：分数图式进阶理论

丁 锐，卫冰倩，Ron Tzur，田 然，孙文娟

分数度量意义发展的认知根基及轨迹：分数图式进阶理论

丁 锐1，卫冰倩2，Ron Tzur2，田 然3，孙文娟1

（1．东北师范大学 教育学部，吉林 长春 130024；2．科罗拉多大学丹佛分校教育与人力发展学院，美国 丹佛 80031；3．红山郡小学，内蒙古 赤峰 024000）

斯特芬（Steffe）、撒冷（Tzur）等人通过长期的质的建构主义教学实验研究，对西方儿童的分数学习轨迹进行了探索，提出的分数图式进阶理论为学生对分数度量意义理解的发展提供了认知依据．撒冷的“活动—效果关系”反省理论可以解释图式的构建和转化机制，迭代和均分是分数图式构建的两种重要认知操作，而分数图式进阶模型共包括8个进阶水平，前4个图式主要基于迭代操作，后4个图式主要基于均分操作．总之，分数概念的本质不是“部分—整体”，而是度量意义；学生的分数图式是对整数计数图式的顺应；迭代和均分操作能够促进学生对分数度量意义的理解．

分数；分数图式；迭代操作；均分操作；度量意义

由于其在数系扩展方面的价值，分数一直都是小学数学的核心知识；又因其内涵的丰富性，使得学生在分数的学习中存在诸多的困难[1]，因而成为研究的热点．一般认为分数具有多重意义，部分与整体的意义、度量意义、除法的结果、比的意义等．现行大部分的国内外的小学数学教材都是从“部分—整体”的意义引入分数的[2]，但是越来越多的研究发现通过“部分—整体”引入分数存在诸多弊端，主要原因就是学生的整数知识干扰了其分数学习，主要表现的就是“整数偏向”（whole number bias），比如认为分母越大，分数越大[3]．美国的数学教育研究者斯特芬（Steffe）等人通过长期的质的建构主义的教学实验研究[4-5]，根据重组假设理论（reorganization hypothesis）提出学生的分数图式是对整数计数图式（numerical counting schemes）的顺应而出现的[6]．而分数图式理论的发展为理解分数的度量意义奠定了基础．董文彬指出，无论是“图形与几何”领域的测量教学，还是“数与代数”领域的运算教学，“单位”都是贯穿两大领域的核心词，只不过在“图形与几何”领域强调的是测量单位，而在“数与代数”领域强调的是计数单位[7]．度量的核心是度量单位的产生、发展以及累加过程，也就是数出度量单位的个数以及度量单位转换的过程．那么，分数的度量意义就不仅仅要强调分数也是数，是数轴上的一点，更强调分数产生的过程是对度量单位（也就是分数单位）的计数或者迭代．因此，分数度量意义是指每个分数都可以看成单位分数的累计或者迭代的结果，而单位分数是一个可以计数或者迭代的量[8-9]．研究试图从图式的概念与建构机制，分数图式的认知操作方式以及进阶水平几个方面来系统地介绍和剖析分数图式理论，并说明分数图式发展如何促进和增强了学生对分数度量意义的理解．

1 图式的概念与建构机制

“图式”（scheme，schema）一词最早出现在18世纪哲学领域中[10]，指“一个通用的概括性概念，适用于某一范畴中的所有个体，是一个普遍的或者本质的类型或形态”．后来，该词被瑞士心理学家皮亚杰（Piaget）引入他的发生认识论中，他认为[11]“图式是动作的结构或组织，这些动作在同样或类似的环境中由于重复而引起迁移或者概括．”简单来说，图式就是认知结构或行为模式[12]．

冯·格拉斯菲尔德（von Glasersfeld）[13]认为在某一具体领域下的任何一种图式都是在个体经验基础上建构起来的．他认为所有图式都有3个成分：（1）识别一个具体情境或者经验的模板；（2）和经验相关的具体心智活动（活动本身也是一个经验）；（3）一个预期的结果，简言之就是“情境—活动—结果”．当个体具有了某个图式，就具有了解决某水平问题的能力．但是当个体遇到超越这个水平的问题时，他还会尝试使用已有的图式来解决新问题，因此会遭遇失败，引起认知冲突，从而激发个体构建新的图式．比如，一个具有了加法“接着数”（counting on）图式的儿童，在遇到“原来有5个苹果，再给你3个苹果，一共有多少个苹果”的问题的时候，他会识别这个问题是一个加法问题（情境），这个问题会激发他有关这类问题的经验，也就是接着数（心智活动），他知道可以使用“在5的基础上接着数3个数”的策略解决这个问题（预期的结果）．这个对结果的预期与实际的结果是相符的．但是当这个学生遇到“3袋苹果，每袋有5个苹果，一共有多少个苹果”的问题，他采取的可能也是“接着数”的策略，并预期这个操作可以解决问题．这时候，预期的结果与实际的结果不符，需要建构新的图式来解决新的问题．

图式的建构机制要追溯到皮亚杰的反省抽象（reflective abstraction）理论．郑毓信认为皮亚杰的反省抽象是指“把已发现结构中抽象出来的东西投射或反射到一个新的层面上，并对此进行重新建构”[14]．撒冷进一步指出图式的建构就是个体对“活动—效果关系”的反省过程[15]．“活动—效果关系”的反省机制中包括两种类型的反思：其一是学习者预期的“活动—效果”和实际的“活动—效果”之间的比较，通过比较整理出“活动—效果”的记录；其二是对这些活动—效果记录进行比较，通过比较和反思抽象出预期的、规律性的“活动—效果关系”．同样是前面的例子，当学生遭遇“5×3”的问题的时候，一开始使用的还是“接着数”的加法图式，预期这个问题的结果是8（个苹果），但是这与真实计数的结果15（个苹果）是不符的，通过对比预期的活动—效果（8）与真实的活动—效果（15），学生会发现二者的差别（第一种类型的反思）．通过变换问题情境，学生慢慢地就会建立新的临时的活动—效果之间的关系（需要数3个5来解决这个问题），并在解决不同情境或者数字的乘法问题中，不断地对活动—效果关系的记录进行比较（第二种类型的反思），最终抽象出初步的乘法推理图式．因此，由反省抽象建立的数学概念并不是通过不停地试误得到的，而是个体对已有概念的重组．

上述两种类型的反思使得学生在构建一个新的图式时经历两个阶段：参与阶段（participatory stage）和预期阶段（anticipatory stage）．在参与阶段，学习者建立对于活动—效果关系的新的临时结构，学习者需要在这个临时结构建立的情境中才能想起并使用该结构来解决当前的问题．也就是说，学习者需要相应的提示或线索才能激活这个临时结构来解决相关问题，这个结构也是不稳定的，如果不经过强化，可能会消退．在预期阶段，学习者对活动—效果关系形成了牢固的、稳定的结构，而且不再依赖提示，可以独立自发地调用、使用和迁移该图式．撒冷认为第一种类型反思的价值在于构建临时的活动—效果关系，也就是参与阶段的临时结构（不稳定的图式），而第二种类型的反思对于将参与阶段的图式转换为预期阶段的新图式（稳定的、真正的图式）是非常关键的[16]．

2 促进学生分数度量意义图式发展的认知操作

通过对比不同版本的教材，研究者发现学生对分数度量意义的理解，要么被安排在“部分—整体”意义之后，要么与“部分—整体”意义同时进行[2]．但是撒冷[17]认为从“部分—整体”角度理解分数，限制了学生对分数本质的理解，并容易造成学生对“假分数大于整体”等概念的理解困难．因此，撒冷汇总了斯特芬和奥利弗[18]、撒冷[19]、哈肯伯格（Hackenberg）[20]等人有关学生分数推理发展的教学实验研究成果，提出了的八阶段分数图式理论[21]．该理论强调迭代（iterating）和均分（partitioning）操作是构建分数度量意义图式的最基本的认知操作方式．下面结合撒冷等设计的“均分薯条游戏”[22]来具体说明两种操作方式的内涵，以及两种操作对学生构建分数度量意义图式的价值．

“均分薯条游戏”流程

游戏目的：该游戏通过让学生完成“均分薯条”的任务，来培养学生的分数推理．

工具准备：一个未均分的黄色纸条（代替薯条）和一个未均分的白色纸条（帮助均分薯条）、一只笔（做标记，保留操作过程）．

活动形式：两个学生合作完成“均分薯条”的任务．

活动流程：

首先，教师会让大家将黄色薯条平均分给两个人（没有任何限制），帮助学生通过对折建立相等的概念以及了解活动规则．

其次，教师提出挑战性任务——如何将薯条平均分给3个人？并加入限制条件，要求学生在进行“均分薯条”的任务中，两张纸条都不可以折或者切分，也不能用尺子或者其它具有刻度的材料度量纸条的长度，但是可以用钢笔在纸条上做标记．

在分薯条的过程中，教师观察并引导学生使用重复策略：（1）估计长度（一个人所分得的长度）；（2）重复上述长度（重复次数为平分的个数）；（3）比较（你的重复结果和原来的整体长度）；（4）调整长度（如果需要的话），然后重复上述步骤．如图1所示，学生先估计一个长度为每个人得到的薯条的长度（白色是一小份），然后重复这个长度3次，结果发现比原来的薯条短．因此，需要调整估计的长度．教师可以追问，“下一份应该长一点，还是短一点”？然后让学生重复上述过程，直到学生能够找到“那一份”，就是整体的1/3，因为将这一份迭代3次就是整体．也就是说，单位分数是单位量1/与整体1之间的倍数关系．

再次，如果学生能够将薯条平均分给3个人，那么给学生新的任务，把薯条平均分给4个人（限制条件不变），并且问学生：平均分给4个人，每人分到的薯条比分给3个人的是长一点还是短一点？然后让学生对他们的估计进行验证．然后，可以根据学生的表现情况，继续给学生平均分给5个人、7个人等任务，在每一次均分之前都要求学生基于上一轮均分的结果预估下一次均分的大小，以此来帮助学生建立重复次数与所重复量的大小之间的逆关系．也就是，重复次数越多，每一份就越小．例如1/3大于1/4是因为1/3重复3次与整体相等而1/4要重复4次才等于整体．这个活动能够帮助学生理解单位分数的大小关系，从而，对抗“整数偏向”的影响．

最后，当学生经历了多次的操作练习（改变均分组数）后初步建立了重复次数与整体的关系，以及每份的大小与重复次数的逆向关系之后，可以给出符号表征，也就是1/．并通过强化练习进一步巩固学生对1/和1的关系，以及1/和1/大小关系的理解．

图1

薯条游戏不但清晰地呈现了均分和迭代的过程，而且展示了均分和迭代的密切关系．均分指的是把一个整体平均分成几份，迭代指的是指连续地复制和粘贴一个量．在传统的分数教材中，一般通过对折等方式理解均分，而在上面的案例中，通过限制条件，促使学生使用重复策略，也就是迭代的方式从另外一个角度体会均分的意义．在迭代的过程中，复制的量是完全相等的，当迭代部分一定的次数（次）正好等于整体的时候，就说明整体被均分为份．同时，也可以帮助学生建立重复的量（分数单位）的度量意义，也就是整体里有个1/．

其次，上述游戏也说明了均分和迭代操作是对整数推理中复合单位（composite units）操作的一种顺应[17]．在整数推理中，复合单位是指个体将大于1的数看成一个整体，对之进行操作．这个复合单位是由一组单位量迭代而成，比如6是由6个“1”或者3个“2”迭代组成．而在分数中，复合单位的内涵扩展了，1本身就是一个复合单位，由5个可迭代的单位分数（1/5）组成．也就是说，整体1可以被均分成5份，每一份是1/5；单位分数1/5可以被迭代5次，从而形成整体1．

再次，薯条游戏也为分数图式的进一步发展提供了操作基础．比如，当迭代或均分完成时候，学生可以对迭代或均分的结果再次进行迭代或均分，也就是递归迭代（recursive iterating）和递归均分（recursive partitioning）．而递归迭代扩展了学生的迭代的单位（从单位分数到复合分数，从1/到/），递归均分则产生了新的单位分数（单位分数的单位分数（unit of unit），1/的1/，即1/）．在递归迭代的过程中，单位分数和整体1都没有改变，始终保持着相同的倍数关系，因此，对学生来说相对简单．而在递归均分的过程中，尽管整体与一开始的单位分数和新产生的单位分数之间依然保持着倍数关系，但是单位分数所对应的整体发生过变化（1的1/，1/的1/，1的1/），单位分数也发生了变化（从“1/”到“1/”，再到“1/”）．因此，递归均分要比均分和递归迭代都更复杂，但是理解递归均分对于学生解决分数乘除法问题有着重要的奠基作用．

总之，均分和迭代是构建分数度量意义图式进阶的两个核心操作，因此，撒冷和斯特芬等人建构的分数图式进阶可以称之为“基于均分和迭代的分数图式进阶”．依据该理论，整个分数概念的进阶过程被细化为8个图式阶段，前4个图式主要基于迭代（包括递归迭代）操作，后4个图式主要基于递归均分操作．

3 基于迭代—均分操作的分数图式进阶

斯特芬和奥利弗认为分数图式是指在学生解决分数问题时的语言和行为背后所蕴含的分数推理过程，包括情境识别、操作活动以及预期的结果[18]．分数图式进阶是指学生在分数学习过程中构建的分数图式的发展顺序．

为便于理解，借助“彩带任务”情境（图2）具体说明基于迭代—均分操作的分数图式的每个阶段的情境—活动—结果，并用图示的方式展示头脑中的认知操作过程，并分析每个图式阶段与日常分数学习的关系．

3.1 单位/均分分数图式

儿童先预期（估计）一个长度，然后通过迭代这个长度次，得到一个与原来的整体相等的整体，以此构建单位分数和整体的乘法关系，并把这一份作为连续的、可以通过迭代产生整体的单位，具体情境见图2，解释可参考“均分薯条游戏”．

3.2 迭代分数图式

迭代分数图式（Iterative Fraction Scheme）是指对单位分数或非单位分数（真分数）的迭代可以超过整体的限制．

活动解读：（情境参考图4）在单位分数图式的基础上，学生能够理解每个小朋友分到一个完整彩带的1/7，那么只需要将1/7重复8次得到8/7根彩带，也是1根完整的彩带再加上1/7根彩带．

在实际教学中，有一些学生会说结果应该是8/8．他们给出的原因是一共有8段彩带．这样的理由暗示了学生并没有建立迭代分数图式，也就是不能将单位分数作为一个迭代单位，而这个单位分数其实在迭代过程中是不变的．本质上，他们忽略了单位分数与整体之间的倍数关系．

图2 “单位/均分分数图式”情境图

撒冷认为迭代分数图式不是对单位分数图式以及部分分数图式的简单扩展，关键在于转换学生分数的概念．也就是要把单位分数作为整体中的部分的观念转换到把单位分数作为和整体具有倍数关系的一个量[23]．因此，学生在部分分数图式阶段，可能还有整体大于部分的观念．而在迭代分数图式中，学生能够超越整体的限制，把单位分数和真分数都看成是一个可以迭代的量，构建了所有的非单位分数（包括真分数、假分数和带分数）和单位分数之间的倍数关系．这种关系建立之后，学生对于分数与整数的乘法，同分母分数的加减法将会有概念性的理解．

图3 “部分分数图式”情境图

图4 “迭代分数图式”情境图

3.3 可逆分数图式

可逆分数图式（Reversible Fraction Scheme），是指从任何未被均分的非单位分数（可能是真分数，也可能是假分数）中产生整体，先通过均分操作得到一个单位分数，然后通过迭代单位分数得到整体[24]．

活动解读：（情境等参考图5）因为学生已经具有了部分分数图式和迭代分数图式，因此，在这个阶段就是要利用非单位分数与单位分数之间的倍数关系对非单位分数进行逆向操作，也就是分裂操作[25]（能够同时预期一个分数的均分和迭代的双向关系，也就是既能理解一个量是由整体均分成份得到，也理解这个量迭代次可以产生整体，因此整体是这个量的倍），获得单位分数，然后再将单位分数迭代，得到整体，见图5活动部分．具体操作过程是首先将已知的3/7分裂后，获得1/7，然后将1/7迭代7次得到7/7，也就是完整的彩带．

没有构建可逆分数图式的学生往往只注意到分母表示单位分数和整体之间的均分关系，而忽略了非单位分数与单位分数的倍数关系．因此，对于任何分数，一上来就直接分成份．而发展了迭代分数图式的学生较好的建立了非单位分数和单位分数的关系．在实际教学中，教师常常忽视概念的逆向理解，认为学生能够正向理解一个概念，就能够反向应用这个概念．实际上，这是两个不同的操作（一个正向，一个逆向），都需要帮助学生建立．而在上述例子中，第一步的分裂操作不但需要学生充分理解迭代分数图式，能够解释/为个1/，同时，也能够建立对迭代分数图式的逆向理解，也就是将/平均分成份可以得到单位分数1/．可逆分数图式为解释分数或百分数问题中的求单位1的问题（比如一个数的3/5是3，求这个数；一件商品涨价20%后是90元，请问该商品原价是多少元）提供了重要认知基础．

3.4 递归均分图式

递归均分图式（Recursive Partitioning Fraction Scheme），通过均分一个单位分数（1/的1/），将会生成一个新的单位分数[1/(×)]，也就是单位的单位（Unit-of-Unit）[26]．

活动解读：（情境等参考图6）观察学生递归均分操作，也就是把1/5份再进行7等分，再取出等分后的一份（也就是1/5的1/7，1/5×1/7），迭代该部分7次后得到1/5，而整体中有5个1/5．因此，能够预期迭代该部分35次等于整体．

相比于前面介绍的几种分数图式，递归均分图式对学生在概念认知上的要求更高．学生需要能够注意到不同单位分数和对应的整体之间的变换．比如1/5对应的整体是整根彩带，而1/7对应的整体是1/5根彩带，最后1/35对应的整体又变回整根彩带．这整个变换的过程需要借助学生对乘法推理的理解，也就是整体是由5个1/5组成，每一个1/5是由7个1/7组成，那么整体就是“35（5×7）”个“1/5的1/7”．递归均分图式是分数通分、化简，以及异分母分数运算，和小数理解的基础．

图5 “可逆分数图式”情境图

图6 “递归均分图式”情境图

3.5 单位分数组合图式

单位分数组合图式（Unit Fraction Composition Scheme）是对递归均分图式的扩展，指通过协调递归分数图式和可逆分数图式解决单位分数和非单位分数相乘的问题．

活动解读：（情境等参考图7）首先，利用可逆分数图式，学生能够将真分数3/7逆向分解为3个1/7．然后，利用已经掌握的递归均分图式，学生能够计算1/5的1/7是1/35．最后，利用迭代分数图式，1/35的3倍是3/35．

从学生的活动来看，单位分数组合图式需要学生将非单位分数再次进行均分的同时还要兼顾迭代的数量，而递归均分图式（单位分数的单位分数）只需要将单位分数进行均分和取出，而不需要迭代．因此，单位分数组合图式对学生的操作水平要求更高，而且该图式阶段能够促进帮助学生对分数乘分数的理解．

3.6 分配均分图式

分配均分图式（Distributive Partitioning Fraction Scheme），通过将给定数量的整体进行均分得到单位分数，重新组合后，得到一个非单位分数，也就是将个物体平均分份，或者说将每个1/分配（将一个单位的数分给另外一个单位）到中．该图式是最高级均分活动——分配均分（把每一个单位按照分配的数量进行等分，取出等分后的单位分数部分，然后把所有的单位分数部分相加[26]）．

活动解读：（情境等参考图8）观察学生的分配均分操作．将每个彩带4等分，然后将第一根彩带中的1/4分给一个小朋友，对第二根第三根彩带也如此操作，最后，每一个小朋友都得到了3个1/4根彩带，也就是3/4根彩带．

分配均分图式可以被用于解释整数或者分数被整数等分除的运算法则．例如解决3/4÷5，通常的操作是将除法变成乘法，也就是3/4×1/5，而学生很难理解为什么要颠倒相乘，而上述对分配均分图式的演绎解释了为什么除以5可以变成乘以1/5．所以，分配均分图式赋予了分配意义下的分数除法以合理解释．

图7 “单位分数组合图式”情境图

3.7 任意分数组合图式

任意分数组合图式（any Fraction Composition Scheme）是对前面分数图式的进一步顺应，可以解决任意分数乘除法的问题．在这个图式中，学生会灵活地使用迭代、分裂、递归均分、分配均分等操作来解决问题．

活动解读：（情境等参考图9）无论是上述哪种做法，都是建立在单位分数组合图式的基础上，也就是需要先递归均分，然后再迭代，如图9．可以先将自己的彩带（2/5）进行递归均分（2/5的1/7），得到2/35，然后将2/35迭代3次，即得到所求部分，也就是整体的6/35．

通过对基于“迭代—均分”操作的分数图式理论的每个阶段的阐释可知，小学生的分数图式的发展是循序渐进的，新的图式阶段是对旧的图式阶段的扩展及重组[19]．一方面，新的图式可以被看作是对旧图式的超越，能够解决旧图式没有解决的问题，或者更好地解决旧图式已经解决的问题；另一方面，旧图式的操作出现在新图式中，却是为不同的目的而服务．

图8 “分配均分图式”情境图

图9 “任意分数组合图式”情境图

4 研究结论

基于“迭代—均分”操作的分数图式进阶模型是基于斯特芬、撒冷等学者质的建构主义教学实验研究成果总结和概括的．通过对该理论的认知基础以及进阶阶段的综述和分析，可以得出以下结论．

4.1 度量是分数概念的本质意义

正如奥利弗所说，基伦（Kieren）提出的分数的部分—整体意义[27]是度量意义的一种特例，分数的度量意义不只是从整体中取出部分，而是指对单位分数的迭代[28]．撒冷认为先学习分数“部分—整体”意义妨碍了学生对分数本质意义的理解[17]．因此，分数的度量意义应该被看作是对分数的部分—整体意义的超越．分数的本质不是整体的一部分，而是一种乘法关系（单位分数和整体，单位分数和非单位分数），而这正是分数度量意义的本质，也就是强调分数是一个具有度量意义的、可以计数的数．而分数的度量意义给分数的概念和运算的理解都提供了一个统一的概念框架．张皖等的研究表明：60%的六年级学生能较好地掌握度量意义，“部分—整体”意义不一定是教学的必须途径，而度量意义掌握好的学生对其它意义的掌握水平也较高[29]．这也在某个程度上证明了从度量意义出发学习分数会促进学生对分数其它意义的理解．

4.2 学生的分数图式是对其整数计数图式的顺应

虽然分数图式的产生解决了整数计数图式没有解决的问题，但是分数图式的发展并没有脱离整数计数图式的发展，分数图式可以被认为是对整数计数图式的重组，即整数计数图式中的操作方式出现在一个新的情境中[6]．整数计数图式中的“复合单位”以及乘法推理中“双轨协同计数”（double counting）[30]的概念对学生学习分数起着至关重要的作用．只不过在整数情境中，复合单位是大于1的整数，双轨计数中的两个序列一个是以“1”为单位的数，一个是复合单位，比如1（3）、2（6）、3（9）……而在分数情境中，协同的一个以“1”为单位的数，一个是复合分数，比如1（2/5）、2（4/5）、3（6/5）．因此，整数的学习并不会妨碍分数的学习，而是在分数情境里，激发了学生的整数计数图式．甚至可以说，学生整数计数图式的发展，特别是双轨计数图式的发展对其分数思维的发展起到了促进的作用．

4.3 迭代和均分操作能够促进学生对分数度量意义的理解

首先，迭代操作不但能够构建单位分数与整体之间的倍数关系，还能使学生对分数的理解超越“部分—整体”关系的限制．迭代操作在不同分数图式阶段都有所体现，但是最基础的基于迭代的分数图式分别是单位分数图式、部分分数图式和迭代分数图式．学生通过迭代部分产生与整体相等的新的整体，体会单位分数和整体之间的倍数关系以及迭代次数与迭代部分大小之间的逆关系，从而构建单位分数图式．然后，通过迭代单位分数构建真分数图式，尽管该阶段学生能够理解单位分数与真分数之间的倍数关系，但是还有整体大于部分的观念．当学生迭代单位分数或非单位分数能够超越整体的限制时，学生不仅能突破整体大于部分的思维定式，还能将部分看作是可迭代的量，从而深刻理解分数的本质，即分数的度量意义，也就是分数是一个数，可以计数和度量．

其次，均分操作是为小学生分数图式的深度发展而服务的．具体而言，均分操作包括平均均分（equi-partitioning）、递归均分、分配均分[18]．首先，平均均分操作是最基础的均分操作，需要协调两个水平的单位，即单位分数和迭代单位分数产生的整体．其次是递归均分操作，需要协调3个水平的单位，即整体、单位分数、均分单位分数产生的新的单位分数．而分配均分操作是最高级的均分操作，在均分的同时还需要考虑分配的数量，因此也需要协调两个三水平的单位．随着分数图式水平的提升，学生在头脑中的操作也越来越复杂，而基于迭代—均分操作的活动教学能够帮助学生构建越来越成熟和稳定的分数图式，为学生后续的数学学习提供认知基础．

5 建议

分数图式进阶理论对中国小学生分数概念发展的研究、教材编写和教师的教学具有重要的理论价值和实践指导意义．

5.1 小学生分数图式的发展轨迹有待进一步探索和检验

基于“迭代和均分”操作的分数图式进阶理论为中国中小学学生分数发展提供了两个新的研究方向．第一，分数图式理论主要是基于西方儿童的分数学习过程构建的，中国儿童的分数学习有无特别的路径，也需要通过自下而上的建构主义教学实验研究来发展和构建．另外，分数除法的运算也是中国小学教材中很重要的一部分，然而上述8个分数图式进阶涉及到分数除法的内容较少，尤其没有包括“包含除”意义的分数图式（比如3/7是1/3的几倍），尽管此类内容也可以通过迭代操作来解释，但是是否符合学生的认知发展规律，是否从属于哪个具体的分数图式阶段或者属于新的未知的图式阶段，还需要进一步探究和检验．

第二，诺顿（Norton）将他们在美国经过信效度检验的小学分数概念进阶（前4个阶段）测验翻译后在中国进行了一个班级的测试，量化结果证实了中国学生的分数图式进阶与美国学生类似（单位分数图式的发展要优先于部分分数图式的发展，部分分数图式的发展要优先于可逆分数图式和迭代分数图式的发展，而可逆分数图式和迭代分数图式的发展顺序没有显著差异），只是中国学生整体上比美国学生的概念发展提前了一个年级[31]．田然对诺顿等人的测试工具进行了修订，对中国东北地区近七百名四年级和六年级小学生开展了测试．结果显示，该地区小学生的分数图式的发展顺序为单位分数图式、部分分数图式、迭代分数图式和可逆分数图式[32]．上述研究成果部分地证实了该分数图式理论的前4个阶段的合理性，然而后4个图式阶段的有效性还有待大量的本土化研究来检验和修订．

5.2 分数图式理论可以作为教材编写和教师专业发展的重要依据

新一轮的课程改革强调关注学生的认知发展，基于“迭代和均分”操作的分数图式进阶模型则为新的中小学数学课程教材改革提供了理论基础．斯特芬和奥利弗指出学校教学通常是传递“他人（包括研究者、教师等）的数学知识”，而非帮助学生建构“学生自己的数学概念”[18]．图式进阶模型是通过长期地观察和实验归纳出的学生的认知发展轨迹，也就是“学生的数学”．利用“学生的数学”编纂数学教材才能更好的帮助学生建立分数的概念．比如，在现在的教材中，同分母和异分母分数的加减法均安排在分数的乘除法之前学习[33]．而在以迭代和均分操作为基础的分数图式进阶模型中，同分母加减法，分数与整数相乘的运算都属于迭代分数图式．异分母分数加减法，与分数乘分数则是基于递归均分的，在认知水平上远高于迭代分数图式．因此，基于这样的认知发展顺序，教材应该调整相应的分数运算的顺序以顺应学生的认知发展过程．

此外，基于迭代和均分操作的分数图式对教师专业发展也十分重要．当教师建立了基于迭代和均分操作的分数概念，他们就有了一个了解学生的工具，也就是通过观察学生的操作来分析学生的分数概念发展水平，而不仅仅依赖学生是否正确地进行了分数的四则运算．教学的目的也不仅仅是让学生能正确使用一系列运算法则，而是能够启发学生来探究和理解这些运算背后的原理，从而真正培养他们的运算能力和推理能力．而基于该理论开展的分数教学的可行性及其效果，正在被研究所证实[34-39]．

致谢：非常感谢科罗拉多大学的Amber Garden、Bingqian Wei、Cody Harrington、Nicola Hodkowski、Ron Tzur允许我们使用和翻译他们画的非常简洁和漂亮的分数图式的认知操作图形！

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The Cognitive Root and Trajectory of Measuring the Meaning of Fraction: The Conceptual Progression of Fractional Schemes

DING Rui1, WEI Bing-qian2, Ron Tzur2, TIAN Ran3, SUN Wen-juan1

(1. Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China; 2. School of Education and Human Development, University of Colorado, Denver 80031, USA; 3. Hongshanjun Primary School, Neimenggu Chifeng 024000, China)

Through longitudinal and constructivism-based qualitative teaching experiments, Steffe, Tzur, and other researchers explored western children’s learning trajectories of measurement of fractions and proposed the Conceptual Progression of Fractional Schemes, which is the cognitive root of children’s development in the meaning of fraction. The theory of “reflection on the activity-effect relationship” proposed by Tzur could explain the construct and transformation of schemes, and iterating and partitioning are two types of cognitive operations underlying the construction of fractional schemes. The Conceptual Progression Model of Fraction Schemes includes 8 levels; the first 4 levels are based on iterating and the last 4 schemes on partitioning. We argue that a fraction is not “part of whole” but rather a multiplicative relation with a meaning of measurement. Students’ fractional reasoning is a reorganization of their whole number reasoning; the operation of iterating and partitioning could improve students’ understanding of fractions as multiplicative relations.

fraction; fractional schemes; iterating operation; partitioning operations; measurement

G426

A

1004–9894（2021）03–0064–09

丁锐，卫冰倩，Ron Tzur，等．分数度量意义发展的认知根基及轨迹：分数图式进阶理论[J]．数学教育学报，2021，30（3）：64-72．

2021–02–07

教育部人文社会科学研究规划基金2019年度一般项目——小学生数学核心概念学习进阶的构建与诊断（19YJA880007）；中央高校基本科研业务费项目——小学生有理数概念学习进阶的构建与检验（2412018JC014）

丁锐（1978—），女，辽宁本溪人，副教授，博士生导师，主要从事数学教育、教师教育研究．

[责任编校：周学智、陈汉君]