浅谈数的整除性在小学数学中的应用

王佳佳

一、“数的整除性”的重要性

“数的整除性”在小学数学教学中是一个重要的基础知识，说它重要是因为这部分知识所涉及的基本数学概念不仅多，而且相对集中，如果不能明确、清晰地掌握这些基本数学概念的区别和联系，就会引起混淆，而混淆也必然给以后的数学知识的学习带来严重的后遗症。

二、整除的概念

（一）含义

如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数（或者说余数为零），就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a/b。这时a叫做b的倍数，b叫做a的约数。

由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：（1）被除数是整数，除数是整数;（2）商是整数;（3）没有余数。这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。

（二）整除与除尽的区别与联系

整除和除尽是两个既有区别又有聯系的概念，也是两个易于混淆的概念。

“除尽”是指在除法中只要除到某一位时没有余数，不管被除数，除数和商是整数还是小数，都可以说是“除尽”。“整除”是指在除法中只有被除数、除数和商都是整数的情况下，才可以说是“整除”。

“整除”是整数范围内的除法，而“除尽”则不限于整数范围，只要求余数为零。“整除”与“除尽”的区别和联系在于“整除”也可以称作“除尽”，但是“除尽”不一定是“整除”。“除尽”中包括了“整除”，“整除”只是“除尽”的一种特殊情况。

三、“数的整除性”性质及其应用

1.如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的和也能被c整除。

反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，而其中一个数不能被c整除，那么a与b和就一定不能被c整除。

2.如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的差也能被c整除。

反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，另一个数不能被c整除，那么a与b的差就一定不能被c整除。

3.如果整数a能被自然数c整除，那么a的倍数（整数倍）也能被c整除。

4.如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立。

5.如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）。

反之，如果a、b、c这三个数中，a与b或b与c之间只要出现一个不能整除的情况，a就一定不能被c整除。

四、“数的整除性”特征及其应用

1.个位数字是0、2、4、6、8的数都能被2整除;反过来，个位数字是1、3、5、7、9的数都不能被2整除。

2.个位数字是0或5的数都能被5整除;反过来，个位数字既不是0也不是5的数都不能被5整除。

3.末两位数能被4或25整除的，这个数必能被4或25整除;反过来，末两位数不能被4或25整除的，这个数必不能被4或25整除。

4.末三位数能被8或125整除的，这个数必能被8或125整除;反过来，末三位数不能被8或125整除的，这个数必不能被8或125整除。

5.各位数字之和能被3或9整除的数，本身也能被3或9整除;反过来，各位数字之和不能被3或9整除的数，本身也不能被3或9整除。

6.能被7（11或13）整除的数的特征：这个数的末三位数字所表示数与末三位以前的数字所表示的数之差（大减小）能被7（11或13）整除。

7.能被11整除的数的特征二：这个数的奇数的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。

8.能被11整除的数的特征三（割尾减尾法）：这个数除去个位数字之外，其余数位上的数字所表示的数与个位数之差被11整除。

9.“如果一个数能被互质的两个自然数整除，那么他一定能被这两个互质数的积整除”

五、“数的整除性”的应用

例一：从数字1、2、3、4、5中任意挑选四个数字组成能被5整除而各个数位上数字不同的四位数，共有多少个？

【分析与解答】因为组成的数能被5整除，所以挑选时5必须包括在内，其他四个数中任取三个，这样共有四种不同的挑选方法：1、2、3和5，1、2、4和5，1、3、4和5，以及2、3、4和5.每种挑选方法5肯定在个位上，其余三个数字位置可以交换，能组成六个能被5整除的四位数，例如：1、2、3、5四个数字可组成1235、1325、2135、2315、3125和3215.因此四种选法可组成6×4=24个能被5整除的四位数。（答：共有24个。）

例二：三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“2□7□5”元，求每位学生最多可能交多少元？

【分析与解答】先求出满足条件的最大五位数。75=25×3，则这个五位数是25和3的倍数。因为是25的倍数，所以十位为7或2，设千位为ⅹ，如十位为7，则使2+ⅹ+7+7+5=21+ⅹ为3的倍数的ⅹ最大为9，得此五位数为29775.如十位为2，则使2+ⅹ+7+2+5=16+ⅹ为3的倍数的ⅹ最大为8，得此五位数为28725.所以，满足题意的最大五位数为29775（答：每位学生最多可能交29775÷75=397）

例三：有一个能同时被2、3、5整除的数，已知这个数的各个数位上的数字加在一起是12，那么，这个数的个位上的数字是多少？

【分析与解答】能被5整除，个位只能是5、0;又能被2整除，则个位只能是0;又因其他位数字的和为12，所以肯定能被3整除。（答：这个数的个位上的数字是0.）

例四：一个两位数或三位数，是11的倍数，且它的各位数字和为17，这样的数最大是多少？

【分析与解答】若是两位数，必为“ⅹⅹ”型，2ⅹ=17，则ⅹ=8.5（舍去）;如为三位数“abc”，则a+c-b=11，a+b+c=17，得b=3，a+c=14，“a最大为9，c就为5，所以935为最大数。”

结论：

数的整除性应用是比较困难的一个考查点，现在它不仅是小学数学中的重点，还是数学竞赛中的重点，所以想要更好地应用在小学数学中，就应该让学生理解和掌握“数的整除性”在小学中常用的一些性质和特征。

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