保对称矩阵张量积幂等的线性映射*

邓 琳，郑克礼，徐金利

(东北林业大学)

0 引言

设Mm和Sm分别是复数域C上m×m全矩阵和对称矩阵全体，Pm是Sm中全体幂等矩阵构成的子集，即Pm={A∈Sm:A2=A}. Chan最早研究了Mm上保持矩阵幂等性映射的结构[1]，之后佟鑫和曹重光研究了对称矩阵空间之间保持矩阵幂等性的映射结构[2]，得到了以下定理：

定理1.1[2]设m≥n，线性映射Ψ:Sm→Sn保持矩阵幂等性，即

A∈Pm⟹φ(A)∈Pn

当且仅当φ=0或m=n且存在正交矩阵T∈Mmm使得

φ(X)=TXT-1,∀x∈Sm.

近年来，李志光教授将矩阵保持问题与量子信息科学联系起来，提出矩阵张量积空间上的保持问题.该问题将不变量的范围缩小到纯张量的范围，其潜在的物理意义是通过仅测试纯态的特点来刻画通道的性质.可以参看文献[3-7]了解更多与量子信息科学相关的保持问题.

该文刻画具有性质保持对称矩阵张量积幂等的线性映射φ:Sm⊗Sn→Smn，即

A⊗B∈Pmn⟹φ(A⊗B)∈Pm

该文的主要结果是：

定理1.2 设m,n≥2，则线性映射φ:Sm⊗Sn→Smn满足

A⊗B∈Pmn⟹φ(A⊗B)∈Pmn

(1)

当且仅当φ=0或存在正交矩阵T∈Mmn使得

φ(X)=TXT-1,∀X∈Sm⊗Sn.

1 预备结果

在该节给出几个预备引理：

引理1.1 设U,V∈Mn是可逆矩阵，如果对任意的X∈Sn有UX=XV则U=V=λIn，其中λ≠0.

证明分别取X=Eii,i=1,…,n，由UEii=EiiV可得U与V都是对角阵，再取X=Eij+Eji,1≤i

引理1.2[8]设t是一个正整数，P1,…,Pt∈Pmn满足Pi+Pj∈Pmn，1≤i

ri=rank(Pi)，i=1,…,t,则存在正交阵T∈Mmn使得

Pi=Tdiag(0r1,…,0ri-1Iri,0mn-r1-…-ri)T-1,

i=1,…,t.

为了方便定理1.2的证明，在该节最后再给出两个通过幂等条件刻画矩阵的引理：

引理1.3 设正整数r,s满足r+s≤mn，如果P∈Pr及X，0s⊕P⊕0mn-r-s-X∈Pmn，则存在Xr∈Pr使得

X=0s⊕Xr⊕0mn-r-s.

证明类似于文献[4]，直接验算即可.

引理1.4 设A=Pr⊕0s⊕0mn-r-s∈Pmn，B=0r⊕Ps⊕0mn-r-s∈Pmn，x∈Smn. 如果

(2)

及

(3)

则X2=A+B并且

其中X12∈Mr×s

证明显然有AB=BA=0，再由(2)可以直接算出

于是

X2=A+B

进而

类似的，由(3)得

这表明

X=AX+XA=BX+XB

由上式，并注意到A,B的形式，可得

其中X12∈Mr×s

2 保对称矩阵张量积幂等线性映射的刻画

该节给出定理1.2的证明.

定理1.2充分性是显然的，下面证明必要性.为了使定理其余的证明过程清晰，分成以下三个命题：

命题2.1 设P∈Pm.如果

φ(P⊗In)=0s⊕Ir⊕0mn-r-s

(4)

其中r,s是非负整数，则存在线性映射ψ:Sn→Sr使得

φ(P⊗X)=0s⊗ψ(X)⊕0mn-r-s,∀X∈Sn

并且

B∈Pn⟹ψ(B)∈Pr

(5)

证明任取Sn中的幂等矩阵B，由

P⊗(In-B)∈Pmn

得到

φ(P⊗In-B))∈Pmn

因此有

0s⊕Ir⊕0mn-r-s-φ(P⊗B)∈Pmn

再由φ(P⊗B)∈Pmn应用引理1.3，得到φ(P⊗B)具有形式

φ(P⊗B)=0s⊕ψ(B)⊕0mn-r-s

由B的任意性，可知

φ(P⊗X)=0s⊕ψ(X)⊕0mn-r-s,∀X∈Sn

并且ψ是Sn→Sr保持对称矩阵的幂等性的线性映射.

命题2.2 如果某个i，有rankφ(Eii⊗In)

证明因为

Eii⊗In,i=1,…,m

及

(EiiEjj)⊗In,1≤i

都是可写成纯张量的对称幂等阵，由φ的性质(1)得

φ(Eii⊗In)∈Pmn,i=1,…,m

和

φ(Eii⊗In)+φ(Ejj⊗In)∈Pmn,

1≤i

记

ri=rankφ(Eii⊗In),i=1,…,m

由引理1.2可知存在正交阵T使得

φ(Eii⊗In)=Tdiag(0r1,…,0ri-1Iri,0mn-r1-…-ri)T-1,i=1,…,m.

φ(Eii⊗In)=diag(0r1,…,0ri-1Iri,0n-r1-…-ri),i=1,…,m.

如果存在某个1≤i≤m使得ri

φ=0，不失一般性，设r1

φ(E11⊗In)=Ir1⊕0mn-r1

应用命题2.1知，存在从Sn到Sr1满足(5)的映射ψ使得

φ(E11⊗X)=ψ(X)⊕0mn-r1,∀X∈Sn

因为r1

φ(E11⊗X)=0,∀X∈Sn

(6)

任取B∈Pn，因为

及

都是可写成纯张量的对称幂等阵，由φ的性质(1)和引理1.4得

φ((E1j+Ej1)⊗B)=0,j=2,…,m

及

φ(Ejj⊗B)=0,j=2,…,m

同理可得

φ((Eij+Eji)⊗B)=0,1≤i

由φ的线性可知

φ(A⊗B)=0,∀A∈Sm.

由B的任意性，得到φ=0.

下面总假定φ=0.

命题2.3 设A1,…,Am∈Pm,如果rankAi=1,1≤i≤m， 并且Ai+Aj∈Pm，1≤i

φ(Ak⊗X)=Q(Ekk⊗X)Q-1,∀X∈Sn,

k=1,…,m.

证明由于假定φ=0，由命题2.2有

rankφ(Ak⊗In)=n,k=1,…,m.

事实上，如果某个rankφ(Ak⊗In)>n，则一定有1≤i≤m使得rankφ(Ai⊗In)

再由引理1.2知，存在正交阵T∈Mmn使得

φ(Ak⊗In)=T(Ekk⊗In)T-1,k=1,…,m.

再应用命题2.1得

φ(Ak⊗X)=T(Ekk⊗ψk(X))T-1,∀X∈Sn,k=1,…,m

其中ψk≠0且满足(5).

由定理1.1，存在正交阵Pk∈Mn使得

令Q=T(P1⊕…⊕Pm),则有

ψ(Εkk⊗X)=Q(Ekk⊗X)Q-1,∀X∈Sn,

k=1,…,m.

由命题2.3，不失一般性，可以设

φ(Ekk⊗X)=Ekk⊗X,∀X∈Sn,k=1,…,m.

(7)

为了表述方便，对1≤i

Dij=Eij+Eji.

容易看出，Ekk,1≤k≤m,Dii,1≤i

余下的证明分为3步：

第1步 存在λij∈C,1≤i

证明为了方便，仅对i=1,j=2时给出证明，其他情况的证明是类似的.令

Ak:=Ekk,k=3,…,m(m≥3)

由命题2.3，存在正交阵Q∈Mmn使得对任意的X∈Sn有

φ(Ak⊗X)=Q(Ekk⊗X)Q-1,k=1,…,m.

(8)

由(7)和(8)可得

Ekk⊗X=Q(Ekk⊗X)Q-1,k=3,…,m

(9)

记Q=[Qij]m×m，其中Qij∈Mn，取X=In，由(9)得

(Ekk⊗In)Q=Q(Ekk⊗In),k=3,…,m

因此

(10)

记

其中T11,T12,T21,T22∈Mn，由(7)，(8)和(10)知对任意的X∈Sn有

φ(D12⊗X)=

(11)

及

φ(D12⊗X)=

(12)

任取B∈Pn，因为

及

都是可写成纯张量的对称幂等阵，由φ的性质(1)和引理1.4得

其中Y∈Mm.再由B的任意性，可得

(13)

其中*代表一个与X有关的m阶矩阵.

取X=In,由(11)，(12)和(13)可得

2Q11T11=2Q22T22=2Q21T21=2Q12T12=In.

这表明T11,T21和Q22是可逆阵.再由(11)，(12)和(13)可得

由引理1.1得(T11)-1T21=λ12In.再由(11)可得

∀X∈Sn.

第2步 如果m≥3，则对1≤i

证明

是可写成纯张量的对称幂等阵，由φ的性质(1)和(7)结合第1步所得结果可知

(14)

由(14)得λijλjk=λik.

第3步 令

则

φ(A⊗B)=T(A⊗B)T-1,∀A∈Sm,B∈Sn.

这就证明了定理1.2的必要性.