角位移矢量性的进一步探讨

王靖洲

(贵州省凯里学院 理学院，贵州 凯里 556100)

1 问题的基本分析和推导

角位移和角速度是否是矢量，以及为什么有限转动的角量不是矢量，而无限小转动的角量却是矢量，很多文献[1-8]都进行了分析解答.这些文献主要都从矢量加法应该满足交换律来论证.

对先后两次转动若用矢量A、B表示，结果则为A+B，当把转动的次序交换，结果则为B′+A′，最后如果得到A+B≠B′+A′，则因为不满足加法交换律，从而得出有限转动不是矢量.文献中主要用两个方法进行论证.一是通过直观图形中位形来表示，从而得出是否满足矢量交换律[1].二是利用张量计算公式，最后比较计算结果.典型的计算如下所述[2].

(1)

(2)

把式(1)代入式(2)，得

(3)

(4)

(5)

(6)

把式(5)代入式(6)得

(7)

(8)

转动次序交换后的两结果不相等：

(9)

但当假设φ→0、θ→0，则有sinφ→φ，cosφ→1，sinθ→θ，cosθ→1，于是式(4)和式(8)分别为：

(10)

(11)

此时仍然有

只有再次略去二阶无穷小φ·θ→0时，才有

(12)

所以有限转动不是矢量，无限小转动在忽略二阶以上的无穷小时，满足交换律，因此，无限小转动是矢量.并且由式(10)和式(11)还看出，在忽略二阶以上无穷小时，当去掉转动张量主对角线上元素后，转动张量是反对称的.

2 数学分析和结论

从张量计算形式来看，对两个有限转动的转动效果相加，对应两个转动矩阵的相乘.而对于两个真矢量的相加，是简单的求和运算，是真正的相加，满足交换律.例如对于任意两个真矢量，

C=x1i+y1j+z1k,D=x2i+y2j+z2k

则

C+D=(x1+x2)i+(y2+y2)j+(z2+z2)k

(13)

也可以表示为矩阵形式：

C+D≡D+C

(14)

也有：

C+D≡D+C

(15)

由式(4)、式(8)可见两次转动的“相加”，对应矩阵的乘法，需要9个数来描述.由矩阵的乘法也可知，一般是不满足对易性的，A·B≠B·A，并且还可能出现A≠0，B≠0，但A·B=0的情形.所以矩阵乘法时，它们的位置很重要，并不能保证一定满足交换律.

3 物理分析及意义

根据前面的分析，整理成下面3个物理问题，帮助初学者彻底弄清转动的物理实质：

1) 为什么矢量加法必须满足交换律？加法交换律的物理实质是什么？

2) 描述转动要用张量，满足什么条件时又会变为一个矢量?

3) 这样的矢量有什么特性，它的物理本质是什么?

对于问题1)，首先有必要回顾一下矢量的定义.接触得多的矢量的一种定义是：既有大小，又有方向，运算遵守平行四边形法则的物理量.在接触到张量概念后，矢量还定义为：一个由3个数唯一确定的不变量，它不会随着坐标系的变化而变化.这种定义指出了“量”的显著特征就是不随坐标系的变化而变化，便于从标量、矢量、张量角度进行概念的延伸.当两个矢量相加时，相当于将一个矢量沿着另一个矢量平移，在平移过程中，由于坐标轴不会随着平移而变化，且相对独立，(见式(11)与图1)，所以“和”的3个数由原矢量对应的3个数分别求代数和.代数和是满足加法交换律的.矢量加法就是矢量平移，加法交换律就是平移的次序无关性.平移次序无关性的物理本质，就是空间对平移是均匀的、各向同性的.

图1 坐标平移

对于问题2)，先回顾一下张量的一个性质：任何张量都可以被表示成对称张量与反对称张量之和.

Tij=Sij+Aij

(16)

对于Sij，通过选取恰当的坐标系，可以实现对角化，对角线上3个元素对应3个坐标轴，从而等效为一个矢量，这称为化张量到主轴.

对于反对称张量Aij，取其各元素为

并且由定义有a12=-a21，a13=-a31，a23=-a32.

6个元素中两两相关，所以只有3个数是独立的，有成为矢量的可能性.把符号代入为

(17)

为得到反对称张量与矢量的可能对应关系，比较一下张量乘法与矢量乘法的结果.

(18)

(19)

取相反数，在物理上意味着方向相反.只一个坐标轴反向时，被称为反射.当所有坐标轴都取反向时，被称为反演.从式(18)、式(19)以及行列式的结果得出，两个矢量乘法次序的交换，全部分量都反号，等价于反演.如图2所示：图2(a)为原坐标系，且x、y、z的方向遵循右手螺旋关系，当反演后变为图2(b)，此时不遵循右手螺旋关系，而遵循左手螺旋关系，说明反演让坐标系的螺旋关系发生改变.再让Oyz平面绕x轴顺时针转动180°，变为图2(c).(a)与(b)所有轴都反向，是反演关系.(a)与(c)只是x轴反向，是反射关系.(b)与(c)是转动关系.(a)是右手螺旋，(b)和(c)都是左手螺旋.左右手对称性也被称为宇称，可见反射和反演改变宇称，但转动不改变宇称.在坐标系宇称是否变化上，反射与反演等价.

图2 坐标系类型及变化

现在可以回答问题2)：转动张量只在反对称时候，就能变为一个形式上的、只需要3个数描述的量，相当于矢量.

为了弄清这样的矢量有什么性质特点，有必要把标量、矢量、张量三种量重新定义为：标量是仅需一个数就能唯一确定的不变量，矢量是用3个数确定的不变量，张量是至少要9个数确定的不变量.这三种量都有一个统一的特性：不变性.在坐标变换时，它们分量虽然会变化，但是“总量”不变.并且会保持变换规律不变，也把这一标准作为一个量是否是张量的标准.有时把标量、矢量当成是张量的特例，统称为张量.

因为转动张量等价于两矢量的叉乘，所以为了得到转动张量的性质特点，可以通过两矢量的叉乘在坐标变换下的特点为例进行分析研究.假设存在矢量A、B，且定义它们的叉乘，即A与B叉乘有C=A×B，用分量表示为Ci=AjBk-AkBj，且设坐标变换为

(20)

通过比较先进行坐标变换再叉乘、先叉乘再进行坐标变换的结果，来研究C的特点.

先坐标变换再叉乘的运算过程如下：

根据张量的运算法则：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

先叉乘再坐标变换的运算过程如下 ：

C1=A2B3-A3B2

(27)

C2=A3B1-A1B3

(28)

C3=A1B2-A2B1

(29)

(30)

由式(27)至式(30)，得到

(31)

(32)

(33)

可见在同一坐标变换方式下，只是由于运算的次序不同，而得到两组互为相反数的结果，说明由C=A×B定义的“矢量”C，不满足真矢量在坐标变换下的不变性，因此不是一个真矢量，被称为赝矢量、轴矢量，而真矢量也被称为极矢量.

为什么此例中坐标变换后会是这样的结果，下面从分析坐标变换本身入手.由式(20)知a21=-1，其坐标变换为x→-y′，a13=1对应坐标变换为z→x′，a32=1对应y→z′，如图3所示最终由图3(a)变到图3(d)，可认为经历了绕y轴转90°到图3(b)图所示，再绕x轴转90°到图3(c)图，再沿Oxy平面反射.再如图4所示，初态(a)和末态(d)分别与图3的(a)与(d)相同，经历的过程不同.先反演图4(b)图，再绕y轴转90°至图4(c)图，再绕x轴转90°.除了转动，还有反演或反射，正是反演(反射)的存在，导致变换规律的变化，从而C不是矢量.同时还可发现，转动的次序是不变的，都是先绕y轴转，再绕x轴转，否则图3和图4不能得到一致的结果.

把反对称张量退化成一个矢量来表示，当存在反演(或反射)时，坐标系的螺旋性必定发生变化，变换规律也一定发生变化，所以它不是一个真矢量，是一个赝矢量.这就是转动矢量不是真矢量、矩阵乘法运算不对易的本质原因：空间对于转动，有左旋和右旋的区别.

图3 aij对应的坐标变换1

图4 aii对应的坐标变换2

4 结论与展望

文献1中两个例子：有限转动和无限小转动，恰好是前者改变了螺旋性，后者没有，所以得到前者不是矢量、后者是矢量的结论.在有限转动例子中，若按顺序轮换x→y、y→z、z→x式的转动，即先绕x轴，再绕y轴，或先绕y轴，再绕z轴，或先绕z轴，再绕x轴，所得结果就会完全一致了.

对此，严格地讲矢量加法的交换性对转动不能成立.应该让学生明白，转动张量或矩阵乘法不对易的根本原因是：空间对转动具有右手螺旋和左手螺旋差异.

弄清物理本质是物理教学的核心要义，只有在弄清物理本质的基础上，学生才可能对物理问题进行深层次地思考与创新，而不是简单地只对计算结果的认同.