“库仑扭秤”与“卡文迪什扭秤” 实验

余建刚

(佛山市南海区石门中学 广东 佛山 528248)

肖城辉

(东莞市第一中学 广东 东莞 523000)

众所周知，库仑扭秤与卡文迪什扭秤实验都实现了对微小力的精确测定，并且证明了电力和引力满足平方反比规律，两者都以其结构简洁、设计精巧、测定准确而著称于世.这两个不同领域的扭秤实验都有着哪些精妙之处?实验背后，科学家们又付出了怎样的艰辛与努力?这两个实验之间又有着怎样有趣的历史渊源?让我们一起来品读这段曲折、传奇的历史.

1 与扭秤有关的3位科学家

翻开这段尘封的历史，3位物理学家走进了我们的视野: 米切尔、卡文迪什、库仑，了解他们个人的成就以及他们之间的相互影响,更有助于摸清这段历史的脉络.

1687年，牛顿具有里程碑意义的巨著《自然哲学的数学原理》出版，在当时引起巨大轰动，对后来的科学家也产生巨大影响.科学家们从牛顿的超距作用哲学思想和万有引力定律所蕴含的平方反比定律得到启发，纷纷对电力和磁力作了种种猜测.其中比较著名的是1750年米切尔提出磁极之间的作用力服从平方反比定律，1785 年库仑公布了通过扭秤实验得出电力的平方反比定律，使电磁学进入了定量研究的阶段.

1.1 扭秤的先驱

米切尔(John Michell,1724—1793),是英国天文学家兼机械师、剑桥大学教授，为了“称衡”星体的重量，曾从事大量天文观测.米切尔是卡文迪什在剑桥大学读书期间的老师，两人均为英国伦敦皇家学会的成员，他们经常共同讨论问题,并互相鼓励.两人有着深厚的友谊和共同的理想与信念:要把牛顿的引力思想从天体扩展到地球，扩展到磁力和电力.

1751年，在米切尔发表的短文《论人工磁铁》中，他写道：“每一磁极吸引或排斥，在每个方向，在相等距离其吸力或斥力都精确相等……按磁极的距离的平方的增加而减少.” 他还说：“这一结论是从我自己做的和我看到别人做的一些实验推出来的.但我不敢确定就是这样，我还没有做足够的实验，还不足以精确地做出定论.”[1]

为了测定地球的密度，米切尔最早设计制作了扭转天平，并与卡文迪什讨论过这一问题.遗憾的是米切尔还未来得及实验就离开了人世.这些都为卡文迪什的扭秤实验奠定了一定的理论基础与优越的技术条件.

1.2 静电学奠基人

库仑(Charles-Augustin de Coulomb, 1736—1806)，是法国工程师和物理学家.1761年毕业于军事工程学校,他在军队里从事了多年的军事建筑工作，为他1773年发表的有关材料强度的论文积累了材料.在这篇论文里，库仑提出了计算物体上应力和应变分布的方法，这种方法成了结构工程的理论基础，一直沿用到现在.

1777年法国科学院悬赏，征求改良航海指南针中的磁针的方法.库仑认为磁针支架在轴上，必然会带来磨擦.要改良磁针，必须从这根本问题着手.他提出磁针的支托改为用头发丝或蚕丝悬挂，以消除摩擦引起的误差，从而获得法国科学院的头等奖.此后，他又发现线扭转时的扭力和针转过的角度成比例关系，利用这一原理，库仑设计出一种以极高的精度测量微小力的装置，这便是扭秤的雏形.由于成功地设计了新的指南针结构以及在研究普通机械理论方面作出的贡献，1782年，他当选为法国科学院院士.为了保持较好的科学实验条件，他仍在军队中服务，但他的名字在科学界已为人所共知.

1785年，库仑改进扭秤，并用之进行静电力实验的研究，最终探索出了电学中的基本定律——库仑定律.同年，他在给法国科学院的《电力定律》的论文中详细地介绍了他的实验装置、测试经过和实验结果.他把同样的结果推广到两个磁极之间的相互作用，这项成果意义重大，它标志着电学和磁学研究从定性进入了定量研究时代.

1.3 测地球密度的第一人

亨利·卡文迪什(Henry Cavendish 1731—1810) 是英国物理学家和化学家.卡文迪什的主要贡献有：1781年首先制得氢气，并研究了其性质，用实验证明它燃烧后生成水.但他曾把发现的氢气误认为燃素，不能不说是一大憾事.1785年卡文迪什在空气中引入电火花的实验使他发现了一种不活泼的气体的存在.卡文迪什毕生致力于科学研究，从事实验研究达50年之久，在化学、热学、电学、万有引力等方面进行了很多成功的实验研究，但性格孤僻，极少发表其成果，在他去世后一个世纪，麦克斯韦整理了他的实验论文，并于1879年出版了名为《尊敬的亨利·卡文迪什的电学研究》一书，人们才知道卡文迪什做了许多电学实验.麦克斯韦说：“这些论文证明卡文迪什几乎预料到电学上所有的伟大事实，这些伟大的事实后来通过库仑和法国哲学家们的著作而闻名于科学界.”

卡文迪什为大家所熟知的重大贡献是：1798年他完成了测量万有引力的扭秤实验，后世称为卡文迪什实验.卡文迪什和米切尔有着深厚的友谊和共同的信念，在米切尔得知库仑用扭秤成功验证库仑定律后，建议卡文迪什用类似的方法测量万有引力.在导师的建议下，卡文迪什改进了米切尔设计的扭秤，在其悬线系统上附加小平面镜，利用望远镜在室外远距离操纵和测量，防止了空气的扰动(当时还没有真空设备).他用一根39英寸的镀银铜丝吊一长6英尺的木杆，杆的两端各固定一个直径2英寸的小铅球，另用两颗直径12英寸的固定着的大铅球吸引它们，测出铅球间引力引起的摆动周期，由此计算出两个铅球的引力，再由引力推算出地球的质量和密度.他算出的地球密度为水密度的5.481倍(地球密度的现代数值为5.517 g/cm3)，由此可推算出万有引力常量G的数值为6.754×10-11N·m2/kg2(现代值前四位数为6.672).这一实验的构思、设计与操作十分精巧，英国物理学家J·H·坡印廷曾对这个实验下过这样的评语：“开创了弱力测量的新时代.”

2 两大扭秤实验的对比

2.1 库仑扭秤实验

库仑研究扭秤的起因是为了改进磁针的制作工艺.此前，磁针普遍采用轴托式，磁针指示方向的精确度不高.1773年，法国巴黎科学院悬赏征求制造航海指南针中的磁针最佳方法的问题.库仑应征，并且与另一人同享了头等奖.其获奖论文《关于制造指南针的最优方法的研究》中认为磁针支架在轴上，必然会带来摩擦，提出用细头发丝或丝线悬挂磁针.1984年9月4日，他在总结性论文《关于扭力和金属丝弹性的理论和实验研究》中提出了扭力定律，即扭转力矩与悬丝的扭转角成正比，与悬丝直径的4次方成正比，与悬丝的长度成反比.继而，他发明了扭秤，如图1所示.

图1 库仑的电扭秤实验装置

库伦扭秤结构：库仑扭秤由玻璃缸、悬丝、横杆、两个带电金属小球(其中一个平衡小球，一个递电小球)等组成，结构示意图如图2所示.两个带电金属小球中，一个固定在绝缘竖直支杆上，另一个固定在水平绝缘横杆的一端，横杆的另一端固定一个平衡小球.横杆的中心用悬丝吊起，和顶部的旋钮相连，转动旋钮，可以扭转悬丝带动绝缘横杆转动，停在某一适当的位置.玻璃缸的圆缸顶部刻有360个分格，刻有读数.库仑扭秤的主要部分是一根金属细丝，上端固定，下端悬有物体，在外力作用下物体转动，使金属丝发生扭转，测量出扭转角度，就可以根据扭转定律算出外力.扭秤能以极高的精度测出非常小的力，因而，可用于测量电荷间的相互作用力的大小.

图2 库仑扭秤结构图

1785年，库仑在他的第一篇电磁学论文《论电和磁》中介绍了利用扭秤测量电荷间的相互排斥作用力的方法.他将两个带电木芯球充电后相碰，获得等量同号电荷，使得与小球相连的水平杆因被排斥而扭转，读出扭转的角度，就可以根据扭力定律算出扭力，进而求出排斥力.论文中举到一组数据.库仑让这个可移动球和固定的球带上电荷并保持电荷量不变，改变它们之间的距离：

“第一次，两球相距36个刻度，测得银线的旋转角度为36度.

第二次，两球相距18个刻度，测得银线的旋转角度为144度.

第三次，两球相距8.5个刻度，测得银线的旋转角度为576度.”[2]

但是对于异种电荷间的吸引力则比较难测.因为电排斥力平衡扭力而使小球稳定，但电吸引力会使小球不断靠近而最终相碰，电荷也相互抵消.因而库仑没能用静力学方法测出电吸引力与距离的关系.

两年后，即1787年，库仑发表第二篇电学论文《论电和磁，第二篇论文》.他在其中介绍了用振荡方法测量电吸引力的过程.他发现电荷之间的作用力与振荡周期的平方成反比，他还是通过扭秤测得周期与小球距离成正比，因而说明了异种电荷之间的引力也与它们的距离的平方成反比.

至此，库仑用扭秤实验证明了电作用力与距离的二次方成反比的规律.库仑虽然用库仑扭秤实验得出了库仑定律，但是由于当时电荷量的单位(库仑)并没有得到定义，他并没有能够测出静电力常量的数值.静电力常量的数值是在电荷量的单位得到定义之后，后人通过库仑定律计算得出的.

2.2 卡文迪什扭秤实验

1775至1778年，英国剑桥大学的机械师米切尔提出：用扭秤有可能在实验室里直接测量物体之间的吸引力.受到米切尔实验思想的启发，英国物理学家卡文迪什设计出了倒T形支架实验装置，如图3所示，其中木棒长度为6英尺(1英尺等于30.48厘米)，木棒两端固定两小铅球，质量均为m，其直径均为2英寸(1英寸等于2.54厘米)，在小铅球附近各固定一个直径为12英寸、质量为350磅(1磅约等于0.45千克)的大铅球，质量为M.木棒中点系上长为39英寸细石英丝后悬吊起来(要测得铅球受到万有引力作用之后的扭转角度，就必须选用扭转常数较小的材料作为悬挂小球的材料，卡文迪什经过不断尝试后选定石英丝做悬挂材料).两大铅球分别对木棒上的小铅球起引力作用，产生转动力矩，使倒T形支架产生微小的转动，并扭转金属线.测出悬丝的扭转角度，结合悬丝的扭力常数，就可以计算出倒T形支架所受扭力的大小.

图3 卡文迪什扭秤实验倒T形支架图

为了测量T形支架转过的微小角度，卡文迪什特地在悬线上安装了一平面镜，当悬线在引力作用下微小转动时，平面镜也随之旋转.保持射入的光线方向不变，反射光就会在刻度尺上明显地移动.只要测量扭转的角度，就可以推算出引力的大小.

为了防止空气的扰动，卡文迪什把扭秤放在一个特殊结构的小房间内，人在室外利用望远镜远距离进行操控和测量，如图4所示.此外，为了避免地磁的影响，所有材料用不导磁的金属，如铜、银等.

图4 卡文迪什扭秤实验装置图

值得一提是，卡文迪什当时实验的初衷是为了测地球密度，那个时期的天文学家更关心各个星体的密度,只要知道了地球的密度，则其他星体的密度就可以推算出来.卡文迪什的引力测量实验从1797年夏开始,期间的实验虽然经历了很多次失败,但库仑的扭转力矩实验坚定了卡文迪什用扭秤进行引力测量的信心.最终于1798年,已经67岁、年近古稀的卡文迪什发表了论文《测定地球密度的实验》，在论文中他总结了17次实验的结果，计算出了地球的质量为5.89×1024kg.结合地球半径的数据，得出地球的平均密度是水密度的5.481倍.后人利用卡文迪什测得的地球平均密度数值，经简单的运算公式，可以算出引力常量G为(6.754±0.041)×10-11N·m2/kg2，而目前推荐的引力常量标准值G=6.672 59×10-11N·m2/kg2，两者相差无几，为了纪念卡文迪什的功绩,把这个实验称为“卡文迪什实验”.引力常量的测出使万有引力定律能够应用于定量计算，如测定地球质量等，也正因为如此，卡文迪什被人们称为第一个“能称出地球质量的人”.

卡文迪什扭秤装置巧妙之处在于：一是运用转化原理，即力与力矩、扭丝转角、光标位移的关系；二是运用放大原理，即采用T字架，增大力臂；利用反射光线，拉开镜子与标尺的距离，增大反射光对应的光标变化，大大提高了实验的精度.卡文迪什扭秤实验巧妙地利用等效法合理地将微小量进行放大，实验的构思、设计与操作巧妙和精致.乃至英国物理学家坡印廷称赞该实验“开创了弱力测量的新时代.”

3 结束语

牛顿的万有引力定律，以及超距作用的哲学性的观点，对整个早期的电磁学有着基础性的影响，同时也影响着库仑定律的发现，以至于这一时期的电磁学被称为“牛顿式电学和磁学的历史”.可以说，牛顿的平方反比定律为库仑定律的诞生提供了理论“温床”，而库仑在军队中从事工程力学研究，良好的科学实验条件则是提供了实验基础.库仑将其所设计的悬挂式指南针改进为扭秤装置，并成功、巧妙地验证了库仑定律，促使电学的实验研究从定性进入定量新阶段.库仑定律是电学发展史上的第一个定量规律，是电学史上重要的里程碑.同时，库仑扭秤实验的成功，也给卡文迪什以启示和信心，坚定他用扭秤装置进行引力实验的信念.

虽然卡文迪什借鉴了库仑的实验思想，但由于一般质量的物体间的万用引力十分微弱，万有引力的数量级远远小于库仑力的数量级，倘若完全照搬库仑扭秤实验模型，则无法测量如此微小的物理量.卡文迪什创造性地运用转化原理和放大原理，将不易观察的微小变化量，转化为容易观察的显著变化量，开创了弱力测量新时代.卡文迪什扭秤实验的成功不仅证明了万有引力存在的普遍性和正确性，其测出的引力常量还使得万有引力定律有了真正的实用价值，使万有引力定律能够应用于定量计算，可测定远离地球的天体的质量、密度等.卡文迪什扭秤实验也被称为“最美十大实验”之一.

纵观这两种扭秤实验，实验装置都如此简洁，设计都如此巧妙，测量结果都如此精准，且它们在物理学史上都有着里程碑的意义，这不禁让人感叹他们深邃的科学智慧，敬佩他们严谨的科学精神.回顾这物理学史上精彩的一幕，让人沉醉，令人遐想，使人不得不折服于扭秤实验的经典与美丽.