Modified-ASME 失效概率模型的验证与优化

许俊 管月霞 曾广礼

1（中国科学院上海应用物理研究所 上海201800）

2（中国科学院大学 北京100049）

钍基熔盐堆是国际上公认的最具有潜力的第四代核反应堆之一［1-2］。核石墨凭借良好的中子慢化能力、较低的中子吸收截面和优异的高温力学性能，被选作熔盐堆的慢化剂、反射层以及主要结构的材料［3-4］。然而熔盐堆中的中子辐照会让核石墨产生宏观上的尺寸及力学性质的变化，使得石墨构件之间的连接处等位置产生应力集中现象，进而发生断裂。同时熔盐堆内部的高温环境也让核石墨内部产生热应力，导致核石墨构件寿命的减少。因此，在反应堆设计时需要一种可以评估核石墨断裂情况的计算方法，以保证核石墨构件在反应堆运行时的完整性。

核石墨属于一种脆性材料［5］，主要由焦炭和黏结剂等组成，在生产的过程中黏结剂在焙烧阶段体积收缩，会在核石墨内部生成裂纹和孔洞等缺陷。由于这些缺陷本身就具有随机性的特征，让核石墨的材料强度具有一定的离散性，无法在实验中像其他金属材料一样获得准确的失效载荷。所以相较于核安全分析中的确定论方法，概率论方法更加适用于核石墨构件的失效评估。目前评估核石墨失效概率的模型有很多，例如应用于多轴应力的Batdorf 模型［6-7］以及将断裂力学和基于物质微观结构的石墨失效理论相结合的Burchell模型［8］等。这些失效概率模型的核石墨强度分布函数大多采用基于最弱链理论的Weibull 分布［9-10］。在最弱链理论中试件是由多个链组串联组成，这些链组会拥有各自不同的强度；当试件受到载荷时，只要有一个链组产生了破坏，整个试件结构将发生失效。Hindley 等［11］通过对三参数Weibull分布的研究，提出了一种利用数值模拟计算核石墨失效概率的方法。通过有限元软件建立核石墨构件的线弹性模型，计算得出构件的应力和积分点体积等相关数据，将这些数据根据颗粒尺寸和应力梯度进行分组，然后根据Weibull 分布函数计算出构件的失效概率。该方法凭借其简单的计算分析过程且通过大量实验证明，在核石墨领域内被广泛认可，目前已被美国机械工程师协会（ASME）所采用，建立了ASME 核石墨失效概率模型［12］。

钍基熔盐堆系统中核石墨构件与高温熔盐直接接触，因此高温熔盐会渗透进核石墨内部，在核石墨内部产生热点进而降低核石墨的强度［13］。所以钍基熔盐堆一般采用超细颗粒核石墨以防止高温熔盐的渗透，减少核石墨的损伤［14］。而建立ASME模型所采用的材料参数来自德国生产制造的NBG-18粗颗粒核石墨，这让ASME模型对超细颗粒核石墨的失效评估过于保守，远低于实验值。针对这一问题ASME 基于ASME 模型改进分组条件，提出了一种适用于超细颗粒核石墨评估的Modified-ASME 模型，但是该模型并没通过相关的计算进行验证。本文在有限元软件ABAQUS 中建立T-220 超细颗粒核石墨的四点弯曲实验的模型，采用50%失效概率预测方法和全尺度失效概率预测方法对Modified-ASME 模型加以验证，并利用基于巴西圆盘实验的Weibull 参数修正方法对Modified-ASME模型进行优化。

1 计算模型

1.1 ASME模型

ASME模型采用了最弱链理论，为了计算方便以及保守性进行了一定的简化：（a）提取有限元软件中核石墨试件各个积分点的相关数据，通过式（1）～（4）来计算等效应力；（b）对各个积分点按照体积和应力梯度这两个条件分组：规定每组计算体积Vm必须满足式（5）；规定每组之间应力梯度必须满足式（6）；分组完成之后计算每组的可靠概率，如式（7）所示；计算整个试件的可靠概率的计算式，如式（8）所示。

式中：σi表示主应力；k表示转换系数。若σi为拉应力，则k取值为1，反之k取值R，R表示平均拉伸强度和平均压缩强度的比值。将各个积分点按照其等效应力从大到小进行排序，同时对Weibull三参数之一的极限强度S0进行修正，如式（3）所示。

式中：Smax表示核石墨的最大颗粒尺寸。

式中：LI表示每组的可靠概率；vi表示每个积分点的体积；VI表示每组的体积。

式中：L表示整个试件的可靠概率，则失效概率（Probability of failure，POF，以PF表示）的计算如式（9）所示。

1.2 Modified-ASME模型

Modified-ASME 模型对于超细颗粒核石墨的颗粒尺寸平均只有几微米，让颗粒尺寸倍数这个分组条件非常容易就能满足的这一问题，在体积分组中引入断裂韧性和抗压强度，如式（10）所示。在应力梯度分组条件中，提高了应力梯度的大小，如式（11）所示。

式中：K1C表示断裂韧性；σm表示抗拉强度。

2 Modified-ASME模型的验证

2.1 50%失效概率预测

为了得到核石墨的相关材料参数，需要对核石墨进行大量的强度实验测试。核石墨内部存在大量分布不均和形状不规则的缺陷，因此其强度试验的结果具有明显的分散性，但大量的失效载荷会聚集在平均值附近，对应着50%失效概率的模拟载荷。本文使用T-220核石墨进行四点弯曲实验，得出核石墨试件的平均断裂载荷。利用ASME模型和Modified-ASME 模型计算出50%失效概率下的模拟载荷与实验结果进行验证，分析对比两个计算模型对超细颗粒核石墨的适用性。

实验中，将核石墨样品加工成狗棒状，同时为了更加接近熔盐堆中石墨构件的尺寸，使得验证结果更加具有可靠性，将核石墨样品的长、宽、高设计为350 mm×60 mm×80 mm。石墨样品的中间槽有不同半径的倒角，可以分析工程设计上经常遇到的应力集中现象，将倒角的半径分别设计为1 mm、5 mm、10 mm、20 mm，对应的试件名分别为R1、R5、R10、R20，如图1所示。

图1 样品尺寸Fig.1 Size of the graphite sample

将不同核石墨样品放在MTS 万能实验机上进行测试，实验装置如图2所示。石墨样品的上夹具的跨距为100 mm，下夹具的跨距为300 mm。在测试过程中，将下方夹具保持固定，上方夹具以固定的速度向下施加位移载荷，当核石墨样品发生破坏时停止实验，获取样品的断裂载荷；每种倒角半径测试10 个样品，实验结果如表1 所示。从表1看出，核石墨的平均断裂载荷随着倒角半径而增大，表明核石墨试件的倒角半径越小，核石墨试件的结构越容易发生破坏。标准差越小也表明测试结果具有很好的可靠性。

图2 实验装置Fig.2 Experimental facility

表1 T-220核石墨的断裂载荷Table 1 Fracture load of T-220 nuclear graphite

根据四点弯曲实验中核石墨的样品尺寸，利用ABAQUS 软件建立1∶1 的线弹性有限元模型，如图3 所示。有限元模拟和数值计算中所需的T-220 核石墨和夹具的参数，如表2 所示。按照四点弯曲实验的加载条件，在ABAQUS 中将有限元模型下端的两个夹具固定，在上方的两个夹具表面施加向下的位移载荷以模拟加载过程。计算出核石墨样品的应力云图，如图4所示。从图4可以发现，在核石墨样品的倒角周围出现了应力集中现象，导致倒角处易发生断裂，结合实验的测试结果说明了在反应堆设计中应当避免倒角半径过小的情况［15］。

图3 ABAQUS中有限元模型(R=5 mm)Fig.3 Finite element model in ABAQUS(R=5 mm)

表2 T-220核石墨和夹具的材料参数Table 2 Material parameters of T-220 nuclear graphite and anvil

图4 应力云图(R=5 mm)Fig.4 Stress distribution(R=5 mm)

提取有限元计算结果中的核石墨试件的主应力和积分点体积等相关数据，再分别通过ASME模型和Modified-ASME 模型计算出50%失效概率下的模拟断裂载荷。两个模型计算所需的Weibull参数的取值为：S0=23.43，SC= 33.18，m=5.65。模拟断裂载荷与实验的平均断裂载荷的比值为调整系数f，该系数可以表征仿真模拟与实验测试之间的偏差，各个试件的调整系数如表3所示。通过50%失效概率预测计算出的模拟失效载荷与实验结果的误差在6%以内被认为是预测精准；误差在6%～18%，表明预测结果是可以接受；误差高于18%，表明预测结果是不准确的。

表3 50%失效概率预测Table 3 Prediction of 50%POF

通过表3 可以看出，ASME 模型和Modified-ASME模型的调整系数会随着倒角半径而增加，这是由于失效概率模型所使用的Weibull 参数是由拉伸实验的数据拟合而来，对应力梯度较小的有限元模型有较好的适用性。ASME模型计算出的调整系数大多在0.75 以下，则与实验的误差在25%以上，表明模拟断裂载荷和实验结果差距过大，无法准确预测核石墨的断裂载荷；Modified-ASME模型的调整系数比ASME 模型有一定的提高，除了应力集中最明显的R1 试件的调整系数远低于可接受的预测结果外，其余试件的调整系数都已经接近或者达到了可接受值。这说明Modified-ASME模型比ASME模型更适合超细颗粒核石墨的失效评估，但是仍然达不到要求，需要进行优化。

2.2 全尺度失效概率预测

在实际的反应堆工程设计中，一般要求核石墨构件的失效概率在10−2以下。因此对核石墨构件的失效评估除了进行50%失效概率的验证外，还要利用全尺度失效概率预测进行验证，如图5 所示。通过这种预测方法，可以分析对比ASME 模型和Modified-ASME模型在失效概率在10−2以下时对超细颗粒石墨的适用性。

图5 以试件R5 为例，对比了两个失效概率计算模型的全尺度失效概率曲线，横坐标表示核石墨样品所受的载荷，纵坐标表示失效概率（POF）。从图5可以看出，ASME模型在同一载荷下的失效概率在全尺度范围内相比于Modified-ASME 模型高，显得保守。因此Modified-ASME 模型比ASME模型更适合在反应堆设计中使用。

图5 全尺度失效概率预测Fig.5 Prediction of full-scale POF

3 Modified-ASME模型的优化

对ASME 失效概率模型的优化方案主要是从优化分组参数的角度出发，例如王泓杰等［16］基于IG-110 和NG-CT-01 两种细颗粒核石墨的弯曲、拉伸和压缩实验对ASME 模型进行分组参数优化，但优化结果表明，两个分组参数对于细颗粒石墨适用性不佳，进行优化也没有意义。本文从材料参数修正的角度出发，用优化分组参数的方法［17］对材料参数中的Weibull 参数进行修正，让Modified-ASME模型的计算结果更加接近实验值。

3.1 Weibull 参数的数值变化对Modified-ASME模型计算结果的影响

为了确定Weibull参数中需要进行修正的参数，需要分析Weibull 参数的数值变化对计算结果的影响。

3.1.1 极限强度

极限强度（S0）用来表征核石墨材料的最小寿命参数。在有限元模型的数据中不是所有的单元都进入计算，只有等效应力大于S0值的单元才会进入计算。以试件R5 为例，取S0值在18～28，做出不同S0值下的失效概率曲线，如图6所示。

图6显示了全尺度范围内不同S0值下失效概率的变化，可以发现，S0值越大同一载荷下核石墨的失效概率越低，这是因为S0值越大导致进入失效概率模型中进行计算的单元数量越少，则分组数越少。从最弱链理论中可知，分组数量越少，失效概率越低。从图6还可以发现，50%失效概率下的模拟断裂载荷随着S0值的提高有一定的提高，且模拟断裂载荷提高幅度随着S0值提高越来越大。

图6 S0的变化对计算结果的影响Fig.6 Influence of S0 change on the calculation results

3.1.2 特征强度

在Weibull 分布中特征强度（SC）用来表征石墨材料的整体强度，SC越大，表示核石墨的强度越高越不容易断裂。以试件R5 为例，取SC值取29～37，做出不同SC值下的失效概率曲线，如图7所示。

图7 SC的变化对计算结果的影响Fig.7 Influence of SC change on the calculation results

从图7可以看出，SC对计算结果的影响相比S0较大。从全尺度来看，在低载荷状态下，随着SC值的升高，核石墨在同一载荷下的失效概率增加，这是由于低载荷状态下S0需要通过式（3）进行修正，SC值越大则修正后S0值就越小，则进入计算的单元数量增加，导致分组数量增加和失效概率提高；当载荷逐渐增大，S0的值无需修正保持不变，进入计算的单元数量保持不变，随着SC值的提高，即核石墨强度的增加，核石墨在同一载荷下的失效概率逐渐降低。从50%失效概率预测的角度来看，模拟断裂载荷随着SC值的提高有较大幅度的增加，模拟载荷增加的幅度随着SC值的提高不断减小。

3.1.3 形状参数

形状参数（m）描述了Weibull 分布函数的形状，当m＞2 时，随着m的增大，分布函数的斜率会越大，且不管m取何值，63.2%的断裂情况都发生在应力σν=SC−S0之前。m值取4.5～6.5，做出不同m值下的失效概率曲线，如图8所示。

由图8，在全尺度范围内随着m值不断增大，曲线的曲率越来越大，即核石墨的失效概率增长越来越快，符合Weibull 分布函数的特性。而且从图8可以发现，50%失效概率下的模拟断裂载荷随着m值的提高有一定的提高，该变化类似于S0的变化，但是模拟断裂载荷的提高幅度相较于S0较小。

图8 m的变化对计算结果的影响Fig.8 Influence of m change on the calculation result

从以上图片和分析可以看出，Sc和S0对计算结果影响较大，更加适合作为修正参数。

3.2 Weibull参数的修正

由于Weibull 参数是由小尺寸石墨样品的拉伸试验数据拟合而来，属于材料参数，直接利用大尺寸的四点应力实验的数据对其进行修正是不可靠的。Weibull 参数的修正需要利用同样是用于测量抗拉强度的巴西圆盘实验。

3.2.1 巴西圆盘实验

核石墨的抗拉强度小于抗弯强度和抗压强度，选取巴西圆盘实验模型来获取核石墨的抗拉强度作为断裂载荷。为了保证核石墨样品的破坏由平面圆中心点最先起裂［18］，必须对原本的长方体夹具进行一定的改进，使得夹具拥有一定的弧度，如图9所示。在这种类型的夹具下巴西圆盘的抗拉强度公式见式（12）。

式中：P为施加在核石墨样品的最大载荷，N；R为核石墨样品的半径，m；L为核石墨样品的厚度，m。

图9 加载装置示意图Fig.9 Schematic diagram of loading fixture

实验中选取8个直径为12.7 mm、厚度为6.35 mm的核石墨样品，将其分别放入夹具之中，然后采用下夹具固定，通过给上夹具的表面施加压力的加载方式将核石墨样品破坏，获得8个样品的平均抗拉强度为29.08 MPa。在有限元软件ABAQUS中建立巴西圆盘实验的有限元模型，如图10 所示。由图10 所示，对中间的核石墨试件采取相同的加载方式，计算出失效概率为50%时的模拟抗拉强度16.18 MPa。

图10 巴西圆盘有限元模型Fig.10 Finite element model of Brazilian disk

3.2.2 Weibull参数的修正方法

将式（3）改为式（13）；将式（4）改为式（14）。

在式（13）和（14）中，原本的S0和SC分别增加了修正因子α和β，然后分别改变α和β的值，获得不同组合下50%失效概率的模拟抗拉强度。将不同组合下的模拟抗拉强度和巴西圆盘实验中每个样品的抗拉强度相对比，获得每个样品的调整系数fi，计算出模拟抗拉强度与实验平均抗拉强度之间的均方根，如式（15）所示。根据文献［17］的研究，对于不同的组合，每个样品的调整系数fi的值会大于或小于0.82。出于反应堆安全的需要，当调整系数fi大于0.82时，给其均方根的数值增加一个取值为0.5的惩罚系数。随后计算出所有样品的平均均方根，如式（16）所示。平均均方根表示模拟抗拉强度与实验之间的误差，平均均方根最小的组合就是最优的组合。

式中：n表示样品数量；RMS表示均方根；表示平均均方根。

3.3 Weibull参数的修正结果

图11显示了Weibull参数的修正结果。图11中X轴表示修正因子α，Y轴表示修正因子β，Z轴表示每个α和β的值组合下的平均均方根，α和β的值的增量为0.01，取值范围为1～1.25。从图11 可以看出，平均均方根最小的组合为（1.20，1.24）。

利用Weibull 参数的修正结果去计算四点应力实验中各个试件的调整系数，如表4所示。结果显示，大部分试件的模拟断裂载荷与实验的误差在6%以内，这表明经过Weibull参数修正方法优化过Modified-ASME 模型能够较为精确地预测核石墨的断裂载荷。

图11 Weibull参数的修正结果Fig.11 Correction results of Weibull parameter

表4 参数优化后的50%失效概率预测Table 4 Prediction of 50%POF.after parameter optimization

4 结论

本文基于四点弯曲实验验证了Modified-ASME失效概率计算模型对超细颗粒核石墨的适用性，并利用巴西云盘实验对计算模型进行了优化。得到了以下结论：（1）ASME模型的计算结果无论是通过50%失效概率预测方法，还是全尺度失效概率预测方法都显得十分保守，不利于超细颗粒核石墨的失效评估， Modified-ASME 模型计算结果相比于ASME 模型有一定的提高，但依旧达不到工程设计的要求；（2）Weibull 三参数中的Sc的值对计算结果影响最大，S0和m的值对计算结果的影响相对较小；（3）经过Weibull 参数修正方法的优化过的Modified-ASME 模型的计算结果与实验误差较小，能较为准确地预测超细颗粒核石墨的断裂载荷。