数学结构化教学的学材开发与学程设计——以“分数的意义”的教学为例

孙 谦

开展数学结构化教学，教师应致力于寻找知识之间的连接点，将碎片化的知识连成线、织成网、筑成块、构成体，让学生整体感悟学习内容、学习进程，建构自己整体的思维体系和认知结构。这种动态建构的过程，是教师基于对课程与课标的理解以及对学理的分析和学情的调研，着力将教材改编为学材，即教师根据自己对知识结构与学生认知结构的专业化理解，设计连接学生认知经验的“真实”情境，引导学生发现数学问题，找到相关联的数学元素，从而建构起自己的认识结构。

一、组织基于真实情境的学习过程，聚焦数学本质

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括。教师应努力挖掘隐藏于生活中的学习素材，并引导学生通过现实生活素材理解数学，同时将所学的数学内容应用于现实生活。数学结构化教学特别强调从“真实”情境中来，到“真实”问题中去，基于对学生学习和生活经验的了解和分析，整合教材资源，创新设计教学活动和学习过程。

例如：教学苏教版下“分数的意义”时，首先，教师以学生真实的生活情境——测量黑板的长度引入，将生活与数学有机联系起来，延展开去，聚焦测量的本质——数与量的产生，开启了学生对数的发展过程的整体认识；其次，转向生活中常见的分数形态——面积的均分，从显而易见的可视化表征中抽象出用分数表达平均分的实质；再次，引导学生经历测量的过程，感受分数作为一种“数”，与学过的整数、小数一样，不仅可以表示量的多少、数的大小，还可以表示一些计数单位不断累加的结果；最后，从另一种角度看待面积均分产生的分数，深入挖掘分数表示“率”的又一深刻内涵。整个过程前后呼应，于“变”中求“不变”，转换连续而自然，抓住分数不同方面的意义，既有联系又有区别，让学生真实而深刻地感受到分数产生的必要性和必然性。

二、开发动静结合的学习材料，突破学习难点

“分数的意义”建构过程中重要的一点，是引导学生认识到分数作为一种“数”的实质。也就是说，它与其他数一样，都能在数射线上找到自己的位置。张奠宙先生曾多次强调在数射线上对分数作几何解释的重要性。然而，数射线的抽象程度较高，学生不易掌握，如何设计易于学生操作和理解的学材，帮助学生突破这一学习难点呢？不少研究都表明，从细长的条形块这一几何模型出发，逐渐抽象出数射线，更加符合学生的认知发展特点。

基于此，教师设计了一根一米长的软尺，利用这个学材，组织学生开展了一系列“做中学”的活动，如量一量、圈一圈、比一比等。首先，引导学生用软米尺测量黑板的长度，从中感悟到分数产生的必然性。然后，用软米尺圈出一个圆，动线成面，化直为曲，将面积均分与计量单位均分联系起来。无论是长条软米尺的均分还是圆的均分，都可以看成是对现实存在的“物”的均分，这是分数的重要意义之一。软米尺和圆中扇形的色块一一对应，可以让学生感受到分数的不同表征形式之间的转换和联系。最后，教师带领学生利用软米尺测量窗户的长度，化曲为直，让学生亲眼见证比1小的数和比1大的数都可以用分数表示，整数与分数可以进行转化。软米尺自然与数射线融通，变成了一个可以无限延展的数射线。在引导学生认识分数的多层含义的过程中，可静可动的学材发挥了巨大的作用。

三、呈现元素联结的变式材料，开阔数学视野

数学概念的结构化教学主要通过元素的联结来实现。这就要求教师深刻把握概念的本质内涵和丰富外延，不断分解和重组学习材料，变化表征形式，让原本孤立无关的材料变成联系紧密的变式材料，达到”横看成岭侧成峰“的效果，最终促进学生自主建构概念。“分数的意义”之所以成为学生学习的一个难点，其中一个重要的原因，就是虽然分数问题通过分割操作可能转化为整数问题，但与整数不同，分数是一个表示两个量倍比关系的相对量，或者说是一个比例，这种认知冲突有时会对学生的学习产生负迁移。对学生来说，分割计数产生分数是易于理解的，分数表示两个量之间的倍比关系是较难理解的。在教学中，教师要注意从学生已有的利于他们理解的经验出发，灵活变换，螺旋上升，提高学生对概念的整体认知。教师可以将学生熟悉的正方形和人民币作为研究对象，不断变换表征形式（如下页图1），拓展学生的思维，激发其对于分数表示倍比关系的思考，深化其对概念的认识。

师：现在变成了这样（1 元、2 元、5 元、10 元人民币各一张），你还能看出分数吗？

图1 以正方形和人民币为例探究“分数的意义”

一些学生脸上露出了困惑的表情。

以上以“分数的意义”的教学为例，分析了结构化教学中学材开发和学程设计的实施要点——在“真实”情境中，注重运用多元表征，创新应用模型，引导学生开展合作探究，实现实际意义的关联建构，发展抽象、推理、模型等综合能力，完善认知结构，在想象、修正、反思中提高认知水平，在对话、操作、合作中促进心智发展。