正常工况和泄漏工况下的管内天然气流动研究

侯 庆 民

(哈尔滨商业大学 能源与建筑工程学院，哈尔滨 150028)

当今世界，经济和社会飞速发展，能源需求高速增长，温室气体排放量数目惊人，环境污染日益严重，对经济的可持续发展和人类的长久生存构成了巨大威胁，严峻的形势使得世界各国高度注重节能和环保.天然气具有热值高、环境污染小、储量丰富和经济效益高等方面的优点，对改善能源结构、缓解能源供需矛盾、提高环境质量起到重要作用.天然气已经成为继煤炭、石油之后的第三大能源，被誉为21世纪的环保能源[1-2].目前，公路、铁路、水运和管道是目前天然气最主要的运输方式.其中，管道运输与其他几种方式相比，具有以下几点优势：1)运量大，可以连续运输，且自动化管理水平高；2)建设周期短、费用少、占地少；3)安全可靠，能源消耗少；4)成本低，效益好；5)易于适应复杂地形、地貌和自然条件.因此，天然气的管道运输已经成为天然气最主要的运输方式，在国民经济中起到了越来越重要的作用[3-6].虽然管道运输天然气的安全性优于其他方式.但由于天然气属于危险物，一旦天然气管道发生泄漏或断裂，就会对其周围的环境和人员造成极大的危害.因此研究正常工况和泄漏工况下的管内天然气流动，对于预防事故发生以及事故发生后的应急处理都有着重要的实际意义.

1 天然气流动基本控制方程

天然气流动的基本控制方程主要包括：连续性方程、动量方程和能量方程.另外，对于气体，还应该加上气体状态方程.天然气流动的基本控制方程适用于天然气管道的正常工况和泄漏工况.

在建立管道内天然气流动基本控制方程时，进行合理的简化，提出如下三点假设[7-8]：

1)管内天然气流动为一维流动；

2)管道为刚体；

3)对一段天然气管线，其倾斜度为定值.

在以上的假设条件下，可以得到天然气流动的基本控制方程：

1)连续性方程

根据质量守恒定律，可以建立天然气流动的连续性方程：

(1)

其中：t为时间(s)；x为距管道起点的距离(m)；ρ为天然气密度(kg/m3)；u为天然气流速(m/s).

2)运动方程

根据动量守恒定律，可以建立天然气流动的动量方程：

(2)

其中：θ为管道倾斜角(rad)；g为重力加速度(m/s2)；D为管道内径(m)；P为天然气压力(Pa)；λ为水力摩擦系数.

3)能量方程

根据能量守恒定律，可以建立天然气流动的能量方程：

(3)

其中：q为单位流量的天然气所放出的热量(J/kg)；e为天然气的内能(J/kg)；z为天然气管道的位置高度(m)；h为天然气的焓(J/kg).

4)气体状态方程

(4)

其中:T为天然气温度(K)；Rm为气体常数(J/(kg.K))；Z为气体压缩因子.

管内天然气的流动可分为瞬态流动和稳态流动两大类，其中瞬态流动是指管道沿程上任一点的流动参数不仅与该点的位置有关，还与时间有关.因此以上天然气流动基本控制方程(1)～(4)也可称为天然气管道瞬态流动方程.而稳态流动是指管道沿程上任一点的流动参数只与该点的位置有关，而与时间无关.当为稳态流动时，方程(1)～(4)中对时间的偏导项为零.

2 天然气管道正常工况下的理论研究

2.1 正常工况瞬态下天然气管道沿线压力和流量的计算方法

方程(1)～(4)较精确地描述了天然气管道的瞬态流动，对于工程实际问题，还可以进一步简化.对于天然气长直管道，管道外壁与接触土壤之间的温差很小，因而管内天然气与管壁的热传导很小，可近似认为管内天然气的流动是等温流动，在这种假定下计算得出的结果是可以接受的.因此当不考虑管道内天然气温度变化时，可以忽略能量方程(3)；天然气管道中天然气流速和声速相比很小，所以运动方程中的对流项可以忽略；当标高的差值不大时，重力项也可以忽略；同时，控制方程(1)、(2)是以单位体积(m3)流体为研究对象得出的，以单位质量流体的控制方程在实际应用中的方便性，引入质量流量Q=ρuA.因此，可得到以下的简化方程[9]：

(5)

(6)

其中：Q为管道天然气的平均质量流量(kg/s)；A为管道的截面积(m2)；c为声速(m/s).

方程(5)、(6)是一组双曲型偏微分方程，求解较复杂，往往采用数值解法来求解，而最成熟且最常用的数值解法就是特征线法.应用特征线法求解偏微分方程(5)、(6)的基本思想为：先将方程(5)、(6)变换为沿特征线的常微分方程组，将常微分方程组化为差分方程组，再用数学方法化为非线性方程组，结合初始条件和边界条件进行数值求解.

将方程(5)、(6)用E1、E2表示：

(7)

两个方程用一任意的未知乘数进行线性组合如下：

(8)

设法选择两个δ值，使方程(8)变为用变量P和Q表示的特殊的常微分方程.设P=P(x,t)和Q=Q(x,t)是方程(2-8)的解，则他们的全导数为：

(9)

(10)

将式(9)与式(8)的第一项、式(10)与式(8)的第二项括号内进行比较，如果满足以下条件：

(11)

(12)

则式(8)可以变为常微分方程，即：

(13)

式(11)、(12)是相等的，即：

(14)

由上式解得δ±A/c，说明δ是两个不同的实数，把δ代入式(11)和(12)得：

(15)

式(15)是式(13)必须满足的两个条件.

把δ的值分别代入式(13)，并与式(15)对应组合，就得到两个常微分方程组：

(16)

(17)

以空间步长Δx和时间步长Δt将管道的时空平面离散化，划分特征线网格，如图1所示.

图1 正常工况下的特征线网格

图1中，MO、NO是两条特征线，分别对C+、C-沿两条特征线积分，引入一阶近似，可以得到差分方程：

(18)

(19)

方程(18)、(19)是O点在jΔt时刻满足的两个方程，联立方程(18)和方程(19)，可以解得O点在jΔt时刻的各分段点上的压力和流量.管道上除两个端点外，每个分段点上都可以建立类似的差分方程.所以可以从t=0时刻一直到计算到所要求的时间，其中t=0时刻的初始条件已知.

如图1所示，管道的两端只存在一个特征线方程，无法求解端点处的压力和流量.因此需要在管道的两端辅助以关于压力和流量的边界条件，就可以求得边界上的各个时刻的压力和流量[10].

2.2 正常工况稳态下的天然气管道沿线压力和温度分布

2.2.1 天然气管道沿线压力分布

天然气流动的运动方程(2)可以变为：

(20)

(21)

对于水平管道，式(21)可简化为：

(22)

将流速公式代入式(22)，并对其积分，可得：

(23)

其中：P(0)为管道首端压力；P(L)为管道末端压力.

整理式(23)可得天然气管道的质量流量为：

(24)

(25)

一段长度为L的水平天然气管道AC，管道上任意一点B至管道首端A的距离为x，B处的压力为P(x)，管道首端压力为P(0)，末端压力为P(L).

对AB段有：

(26)

对BC段有：

(27)

由质量守恒定律可知，AB段与BC段的流量相等，所以联立式(26)、(27)可以求得管道沿线压力分布为：

(28)

2.2.2 天然气管道沿线温度分布

上文为了求解天然气流动基本控制方程，近似认为管道内的天然气流动是等温流动.现实中，由于天然气管道壁与接触土壤间的热传导，管道内天然气的温度沿程是有变化的，因此与等温流动会有一些偏差，对长直天然气管线必须进行必要的修正[12].

对于稳态流动，能量方程(3)可简化为：

(29)

即：

(30)

由热力学关系式可知：

(31)

将式(31)代入式(30)可得：

(32)

忽略式(32)中有关流速变化和高差的影响，方程可写成：

(33)

由热力学循环关系式有：

(34)

由气体的定压比热与焦耳-汤姆逊系数关系式有：

(35)

(36)

其中：CP为气体定压比热容(J/(kg·K))；Di为焦耳-汤姆逊系数(℃/MPa).

所以式(33)可写为：

-dq=CPdT-CPDidP.

(37)

由传热学知识可得：

(38)

其中：Kt为管道的总传热系数(W/(m2·K))；Ts为管道周围环境温度(K).

式(37)可变为：

(39)

(40)

式(40)为一阶线性非齐次微分方程，其通解为：

(41)

记管道首端，即x=0处的温度为T=T(0)，利用式(41)可求得积分常数C为：

C=T(0)-Ts

(42)

将式(42)代入(41)就可求得管道沿线的温度分布：

(43)

T(x)=Ts+(T(0)-Ts)e-βx+

(44)

在天然气管道中，式(44)中的最后一项一般为3～5 ℃/MPa，如果忽略其影响，则管道沿线的温度分布公式为：

T(x)=Ts+(T(0)-Ts)e-βx

(45)

3 天然气管道泄漏工况下的理论研究

3.1 泄漏工况瞬态下的天然气管道沿线压力和流量的计算方法

与正常工况下的计算方法一样，利用特征线法求解简化方程(5)、(6)，同时将管道上某点发生泄漏包含进去.如图2所示，假设j时刻节点i处突发泄漏.

图2 泄漏工况下的特征线网格

同样引入一阶近似，可得j时刻的节点i沿特征线C+和C-的差分方程：

(46)

(47)

方程(46)、(47)是在jΔt时刻满足的两个方程，因为方程(46)与(47)中有四个待求量(泄漏点前后的压力和流量)，所以联立这两个方程并不能直接解得jΔt时刻泄漏点前后的压力和流量.所以在泄漏发生后，要在泄漏点处辅助关于泄漏点前后的压力和流量的两个边界条件，即两个边界条件方程.一般情况下，假设泄漏在水平方向引起的动量变化可以忽略，即泄漏点前后的压力不变；并且如果能求得泄漏量，根据质量守恒原理，可以给出泄漏点前后的流量关系，此时边界条件为：

(48)

(49)

将泄漏点处的边界条件(48)和(49)与差分方程(46)和(47)联立，四个方程中有四个待求量，即可求得任意时刻泄漏点前后的压力和流量[13].

在管道端点，与正常工况的计算方法一样，只要在边界处辅助关于压力、流量的边界条件.即可以求得边界上的各个时刻的压力和流量.泄漏点和管道端点以外的各个节点的压力和流量的计算方法与正常工况时的计算方法一样.

3.2 泄漏工况稳态下天然气管道泄漏量的计算方法

瞬态下的天然气管道泄漏量是随时间变化的，最大泄漏量一般是在泄漏刚发生时.而在工程实际中，一般只要知道最大泄漏量即可，此时的最大泄漏量即为以稳态下的泄漏量.因此本文主要研究稳态下天然气管道泄漏量的计算方法.

天然气管道大多是埋地的，但由于埋地管道的外部环境比较复杂，所以很难建立其泄漏模型并计算泄漏量.因此，本文所研究的管道泄漏模型是指天然气直接向大气中泄漏的情况，具体为架空天然气管道泄漏或者第三方破坏导致的埋地天然气管道暴露在大气环境下的泄漏.

图3是典型的天然气管道泄漏的示意图，假设距离天然气管道起点X处发生了泄漏.点1为天然气管道轴线的起点位置，点4为天然气管道轴线的终点位置，点3为泄漏点，点2为泄漏点所对应的管道轴线上的位置.图中P、T、u和ρ分别表示各点处的压力、温度、流速和密度，Q-和Q+表示泄漏点前后的质量流量，K表示泄漏点处的泄漏量.当泄漏发生时，点1处、点4处、大气环境的参数值以及泄漏点前的质量流量是已知的，而点2与点3处的参数值是未知的，需要从已知的参数入手，结合工程热力学和流体力学的知识，推算出点2及点3处的参数值，从而计算得到天然气泄漏量.即建立天然气管道泄漏模型，得到泄漏量的计算方法[14].

图3 天然气管道泄漏示意图

一般情况下，将天然气管道泄漏视为孔口泄漏，因此泄漏过程也可看作可压缩气体的孔口出流，并且将不同形状的泄漏孔都转化为圆孔口来计算.为了便于计算，这里做如下的假定：(a)管道内的天然气流动是一维的；(b)管道内为绝热流动；(c)泄漏点处为等熵流动；(d)遵守理想气体的运动规律.由于假设管内天然气为绝热流动，因此，利用能量守恒和动量守恒方程可以得到：

(50)

其中：G为管道内单位面积的质量流量(kg/(m2.s))；k为气体绝热系数，对于天然气一般取k=1.334；M为天然气的摩尔质量(kg/mol)；Xe为点1到点2的管道当量长度(m)；Pi为点i处的压力，i=1,2,3(Pa);Ti为点处的温度，i=1,2,3(K);R为通用气体常数(J/(mol.K)).

其中：水力摩擦系数λ是管道粗糙度δ和雷诺数Re的函数.当Re≤2 000时，λ=16/Re.

在过渡区和湍流情况下，λ和Re关系由柯尔布鲁克公式给出：

(51)

当Re较大，达到完全湍流时，λ和Re无关.

把连续性方程(1)及气体状态方程(4)代入式(50)，在泄漏孔处等熵流动的情况下，可求得孔口处天然气泄漏量K的表达式为：

(52)

其中：K为天然气泄漏量(kg/s)；Aor为泄漏孔的面积(m2)；CD为孔口流量修正系数，亦指泄漏系数.

对于孔口流量修正系数，CD范围为0.6～1.0.如果按照孔口形状来分：圆形孔，CD=1.0；三角形孔，CD=0.95；长方形孔，CD=0.90；渐缩孔，CD=0.90～1.0；渐扩孔，CD=0.60～0.90.

泄漏点处的天然气流动属于音速流动还是亚音速流动对泄漏量的计算有很大的影响.考虑外界大气压已知，本文设临界压力比(Critical Pressure Ratio,CPR)为[15-16]：

(53)

其中：P2c代表点2处的临界压力，Pa.

如果点2处的压力P2逐渐增加，天然气泄漏速度也会一直增加，直到等于当地声速.这时如果P2继续增加，天然气泄漏速度则保持不变并一直等于当地声速，这就是临界状态.

(54)

式(52)与(54)是计算天然气稳态泄漏量的通用公式.

4 结 语

本文根据天然气流动的基本控制方程，针对天然气管道的正常和泄漏工况，利用特征线法分别推导了基本控制方程对应的差分方程，给出了天然气管道沿线瞬态压力和流量的计算方法.根据天然气流动的运动方程和能量方程推导出正常工况稳态下的管道沿线压力和温度分布.推导研究了在泄漏工况稳态下天然气管道泄漏量的计算方法.