成人高等学校专升本全国统考高等数学中求极限的方法

郑艳彬

【摘要】函数极限是高等数学的基础，也是成人专升本考试的必考内容.鉴于参加成人专升本的大部分考生基礎较差，本文以2015～2019年的真题为例，总结了常考的四种求极限的方法及一些解题技巧，期望能提高考生的应试能力.

【关键词】函数;极限;成人专升本;高等数学

【基金项目】枣庄学院博士启动项目：1020711;枣庄学院教改立项重点项目：YJG17001;YJG18026

函数极限是高等数学的基础，也是高等数学的灵魂所在，它贯穿高等数学的始终.因为它的重要地位，函数极限也是成人高等学校专升本全国统考高等数学的重点考查内容.2005年以来的考试中，在选择题、填空题和计算题中各有一道求函数极限的题目，分值分别为4分、4分和8分，所占分值约为全卷的10.7%.历年来求函数极限的题型也较为稳定，所以总结这些题型对于考生复习备考尤为关键，可以在考试中做到知己知彼，百战不殆，达到事半功倍的效果.接下来，本文以2015～2019年的真题为主，总结各种函数求极限的方法.

一、利用函数的连续性求极限

如果f（x）是初等函数，且x0是f（x）定义域内的点，那么limx→x0f（x）=f（x0）.

例1 （2018年第1题）limx→0xcos x=（  ）.

A.e    B.2    C.1    D.0

解 因为f（x）=xcos x是初等函数，且在x=0处是连续的，所以limx→0xcos x=0cos 0=01=0，故答案选D.

例2 （2013年第1题）limx→0 ex-1=（  ）.

A.eB.1C.e-1D. -e

解 因为f（x）=ex-1是初等函数，且在x=0处是连续的，所以limx→0 ex-1=e0-1=e-1，故答案为C.

以上两题利用初等函数的连续性可直接求出函数在某点的极限值.此种题型在2014年以前的选择题和填空题中出现比较多，2014年及以后则较多考查其他方法和利用函数连续性综合求解函数的极限.

二、利用两个重要极限求极限

第一个重要极限：limx→0sin xx=1.其另外一种形式为limx→0xsin x=1.此极限的运用需要同时满足两个条件：（1）极限为00型不定式;（2）极限中含有三角函数，不仅限于含有正弦函数，其他三角函数可以通过三角变换化为正弦函数，如例4.此外，该极限不只需要x→0，可推广为limα（x）→0sin α（x）α（x）=1，如例5.

例3 （2016年第1题）limx→03sin x2x=（  ）.

A.23B.1C.32D.3

解 limx→03sin x2x=32limx→0sin xx=32，故答案为C.

例4 （2019年第11题）limx→0tan 2xx=.

解 limx→0tan 2xx=limx→0sin 2xcos 2x·1x=2limx→0sin 2x2x·1cos 2x=2limx→0sin 2x2x·limx→01cos 2x=2×1×1=2，故答案为2.

例5 （2017年第11题）limx→2x-2sin（x-2）=.

解 limx→2x-2sin（x-2）=lim（x-2）→0x-2sin（x-2）=1，故答案为1.

第二个重要极限：（1）limx→∞1+1xx=e或（2）limx→0（1+x）1x=e.第二个重要极限可推广为：（3）limf（x）→∞1+1f（x）f（x）=e，（4）limf（x）→0[1+f（x）]1f（x）=e.该方法适用于求1∞形式的极限.

例6 （2019年第2题）limx→+∞1+2xx=（  ）.

A.-e2B. -eC. eD. e2

解 limx→+∞1+2xx=limx→+∞1+2xx22

=limx→+∞1+2xx22=e2，

故答案为D.

例7 （2016年第11题）limx→0（1+x）2x=.

解 limx→0（1+x）2x=limx→0[（1+x）1x]2=[limx→0（1+x）1x]2=e2，故答案为e2.

例8 （2018年第12题）limx→0（1-3x）1x=.

解 limx→0（1-3x）1x=limx→0[1+（-3x）]1-3x·（-3）=limx→0[1+（-3x）]1-3x-3=e-3，故答案为e-3.

第二个重要极限考查的频率较高，但一般出现在选择题或填空题中.如果利用第二个重要极限的进一步推广形式limx→∞1+mxnx=emn或limx→0（1+mx）nx=emn，可快速求出结果，节省时间.如例8中，m=-3，n=1，所以答案为e-3.

三、利用等价无穷小代换求极限

常用的等价无穷小有，sin x～x（x→0），tan x～x（x→0），1-cos x～12x2（x→0），ex-1～x（x→0），ln（1+x）～x（x→0），（1+x）α-1～αx（x→0）.许多00型的极限既可以用等价无穷小代换求解，也可用洛必达法则或第一个重要极限求解（如例9），但利用等价无穷小代换求极限过程更加简单.利用等价无穷小代换求极限时，最好对整个因子进行代换，不要随意对因子中相加减的项进行代换，否则容易出错.

例9 （2017年第11题）limx→2x-2sin（x-2）=.

解 x→2时，sin （x-2）→x-2，所以limx→2x-2sin（x-2）=limx→2x-2x-2=1，故答案为1.

例10 （2016年第22题）计算limx→01-exsin x.

解 x→0时，ex-1～x，所以limx→01-exsin x=limx→0-xsin x=-limx→0xsin x=-1.

例11 （2015年第11题）limx→0ln（1+x2）x2=.

解 x→0时，ln（1+x2）～x2（x→0），所以limx→0ln（1+x2）x2=limx→0x2x2=1，故答案为1.

四、利用洛必达法则求极限

对于00型、∞∞型未定式，可以直接使用洛必达法则求极限.有的需要使用两次（例12）或两次以上才能求得结果，每次使用洛必达法则前都要判断条件是否满足.而对于0·∞，∞-∞，00，∞0和1∞等形式的极限都可以通过变换转化为00型或∞∞型的极限，从而利用洛必达法则求解.近几年考试中考查的比较简单，几乎全为00型的极限.

例12 （2017年第21题）求limx→0ex-sin x-1x2 .

解 极限为00型，limx→0ex-sin x-1x2=limx→0ex-cos x2x=limx→0ex+sin x2=12.

例13 （2016年第22题）计算limx→01-exsin x.

解 极限为00型，limx→01-exsin x=limx→0-excos x=limx→0（-ex）limx→0 cos x=-11=-1.

例14 （2015年第11題）limx→0ln（1+x2）x2=.

解 极限为00型，limx→0ln（1+x2）x2=limx→02x1+x22x=limx→011+x2=1，故答案为1.

求极限的方法有很多，但是在成人高等学校专升本全国统考高等数学中，求函数极限主要考查以上总结的四种方法.所以考生要牢记相关公式，注意各种求极限方法适用的题型.成人专升本高等数学考试虽然简单，但题目比较灵活，存在很多一题多解和一题需要利用多种方法综合求解的题型.对于一题多解的题型，如果能用等价无穷小代换求解，则优先考虑使用等价无穷小代换，这样做会更简便.例如，例9使用等价无穷小代换就比使用第一个重要极限或洛必达法则更加简单.在客观题中使用第二个重要极限的进一步推广形式可以节省答题时间，并且提高正确率.在计算题中求极限的时候，要体现出解题步骤，并注意规范书写，很多考生在书写的过程中会漏掉极限符号或者自变量的变化趋势，导致失分，从而得不偿失.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学：上册，第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]陆忠敏.高职高专中常用的求极限方法[J].基础教育，2013（7）：182-183.

[3]景慧丽.极限求解方法研究[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2015，31（5）：16-22.

[4]陈昌华.函数极限的求法研究[J].数学学习与研究，2017（12）：15-17.