练习课原来可以这样上

朱宇

作为一种常见课型，练习课不仅要巩固知识、习得方法，更承载着提升思维、生成智慧的目标。特级教师华应龙在“化错教育2019年度峰会”上执教的“买比萨的故事——圆面积的练习”一课，从比萨的面积大小问题切入，着眼“为什么”“还有什么”等指向高阶思维的原生问题，引导学生展开辨错、研错、纠错活动，不断拓展思维，使思维从“浅表”走向“深层”。

【片段一】趣味情境引出原生问题

（教师播放动画《买比萨的故事》）

一天中午，加拿大一家餐厅，一位来自中国的游客点了一个直径12英寸的比萨作为午餐。一会儿，服务员端来了两份比萨，说：“12英寸的比萨没有了，给您一份8英寸的和一份4英寸的。”

这位游客客气地请服务员叫来了老板。他给老板普及了圆面积计算公式：12英寸比萨的面积约为113.09平方英寸，8英寸和4英寸比萨的面积分别约为50.26平方英寸和12.57平方英寸，50.26+12.57=62.83平方英寸，远小于12英寸比萨的面积。

老板惭愧不已，又给了这位游客2个8英寸的比萨，并竖起大拇指夸奖道：“中国人真厉害！中国人的数学真厉害！”（学生笑）。

师：大家有疑问吗？同桌交流一下。

（同桌两人交流讨论）

师：能把你的疑问分享给全班同学吗？

生：这个人怎么一眼看出8英寸比萨和4英寸比萨的面积加起来不等于12英寸比萨的面积？

生：8英寸比萨和4英寸比萨的面积加起来为什么小于12英寸比萨的面积？

生：后来老板又给了2个8英寸比萨，2个8英寸比萨是不是就等于12英寸比萨？

【赏析】也许这个买比萨的故事并不真实，但是这并不影响练习素材的“真实感”和“趣味性”。通过故事的巧妙“包装”，使圆面积的计算练习变得生动起来，学生据此提出了一些很有数学味的问题。其中最具价值的问题是：“一个8英寸比萨和一个4英寸比萨的面积之和为什么不等于一个12英寸比萨的面积？”这个问题聚焦了学生认知中可能存在的误区——由“8+4=12”想当然地推导出“82+42=122”，错误地把一维长度之和与二维面积之和等同起来。

笔者以为，要使数学练习进程真实地开始，前提就是要有从学生内心生长出来的原生问题。在很多练习课上，练什么、练到什么程度都是教师决定的，课堂上鲜有原生问题的出现。在这节课上，华老师设计了生活味与数学味兼具的问题情境，把问题的根扎在学生思维的“最近发展区”，激起学生认知上的冲突，启发学生从是什么、为什么等角度提出自己想研究的问题，并能够主动带着问题寻找解决方法。

【片段二】深度思辨凸显内在关联

师：一个8英寸比萨加上一个4英寸比萨比12英寸比萨小，这是真的吗？

（学生独立思考并验证，然后全班交流）

生：我们可以把比萨看作是一个圆，根据圆的面积公式，求出8英寸比萨的面积约是50.24平方英寸，4英寸比萨的面积约是12.56平方英寸，合起来就是62.8平方英寸。而12英寸比萨的面积约是113.04平方英寸。62.8<113.04。

师：通过计算说明了问题。故事中是怎么说的？有什么发现？

生：这个故事里的数据跟我们算出来的不一样，他貌似算错了。

生：都没错，主要是在计算时取的π值不同，我们取的是3.14，故事里是取3.1415计算后再保留两个小数，其实故事里的数据更加精确。

师：原来是这么回事。还有其他方法吗？

生：我有一种方法，就是不把π算出来，拿82π+42π与122π比较，82+42=80，122=144，因此82π+42π<122π。这样不需要计算π就可以得出结果。

生：你说错了，4英寸、8英寸和12英寸都是指直径，而不是半径。

师：差错就是提醒。大家计算圆面积的时候，一定要用半径。他虽然把直径当成了半径计算，但是思路非常好，不把π计算出来是很好的方法。你能重新说一下吗？

生：直径12英寸的比萨的面积是36π平方英寸，直径8英寸的比萨的面积是16π平方英寸，直径4英寸的比萨的面积是4π平方英寸。直径8英寸的比萨和4英寸的比萨的面积之和是20π平方英寸，小于直径12英寸的比萨的面积。

师：所以，不把π算出来也能得出结论。

师：确实，给1份8英寸比萨和1份4英寸的比萨，顾客亏大了。亏了多少？

生：16π平方英寸。

师：看来，再给一份8英寸比萨正好。

师：我们平时在做题的时候，有时需要把π算出来，有时就不用算出来，这和我们将来到中学的解题方法是一致的。

生：我是这么想的，8英寸比萨、4英寸比萨和12英寸比萨直径之比是8∶4∶12，也就是2∶1∶3，所以半径之比也是2∶1∶3，面积之比就是4∶1∶9。4+1<9，所以8英寸比萨和4英寸比萨加起来小于12英寸比萨。

师：他是用什么知识来解决这个问题的？

生：用我们学过的直径之比、半径之比和面积之比之间的关系解决问题。

师：把学过的知识综合起来就能很好地解决这个问题，很有意思，是不是？

师：现在我们回过头来想想，有的同学把直径当成了半径，可为什么结果却对了呢？

生：虽然把直径当成了半径，但它们的比是一样的。

【赏析】在一些练习课上，教师不注重知识的内在关联，知识碎片化呈现，练习内容缺少层次，学生就题论题，思维方式呆板，一节课下来，只有数量的累积，不见目标的丰盈。或者说，练习课仅仅关注学生获得知识、习得技能，缺少如何获得数学方法与数学思想的考量。

本教学片段中，学生的思维非常活跃，对“一个8英寸比萨加上一个4英寸比萨比12英寸比萨小”的探究验证，层层递进地呈现了不同的解决方案。首先，将π取3.14进行具体计算，这是常规的验证方法，使知识在基本题中得到巩固。接下来，把π看作定量，只比较半径的平方，方法趋于简洁;并另辟蹊径應用比的知识来综合比较，呈现了与运算有关的解决问题的不同策略，展现了运算能力发展的层级性，也为学生思维的发展创造了机会。最后，还以形助数，巧妙地把一维世界与二维世界进行了形象的表征，各种思维方式融会贯通。通过思辨，学生不仅加深了对圆面积计算方法的感悟，而且自然而然地受到了转化、建模、数形结合等思想方法的浸润。

【片段三】真实反思提升思维品质

师：关于这个买比萨的故事，你有新的疑问吗？

（学生思考）

师：吃比萨吃的是面吗？

生：不是，还有料！

（全班大笑）

师：我的问题是，比萨的大小真是个面积问题吗？

生：体积的问题。

师：那你又要考虑什么问题？

生：12英寸比萨和8英寸、4英寸的比萨厚度一样吗？

生：一样。

生：不一定。

师：这是个什么问题啊？

生：圆柱体积的问题。

师：吃过比萨的同学都知道，比萨的翻边十分脆，非常香。但这么一换，对喜欢吃翻边的顾客来说，是赚了还是亏了呢？（微笑）这又是什么问题了？

生：周长的问题。

生：圆环的问题。

师：上完这堂课你们有什么收获？

生：看问题不能只看一个角度，比如比萨的问题，服务员是从直径的角度看问题，顾客是从面积的角度来看，所以要从多角度去考虑。

生：我的收获是学会了提出问题。

生：我知道了数的问题可以用图来表示，结果会更加清楚。

生：不要以为别人说什么都是对的，要自己学会验证。

师：确实，我们有很多收获，那么，我们的收获是怎么来的？

生：思考。

师：思考是从哪里来的？

生：思考是从生活中来的，从服务员的差错中来的。

师：今天这节课我特别想和同学们分享一句话：“牵手差错思且行，前方自有新风景。”新风景的关键是什么？

生：关键是要会提问題，会思考问题。

【赏析】在一般人看来，学生能够用多元方法计算比萨的面积，完美求证“是真的吗”，本节练习课的目标已经圆满达成。谁曾想，华老师用“比萨的大小真是个面积问题吗”使课堂波澜又起！

这个问题的提出，引导学生把比萨看成圆柱（真实情况的确如此），成功地把学生的认知视野从“二维”引向“三维”。笔者以为，之所以这样处理，是由本课的教学目标所决定的。本课的教学目标不仅仅在于“借助不同方法解决圆面积的问题，发展开放性思维”，更是要以此为基础，推动学生敢于质疑，提出有价值的问题。课尾的反思着眼思维空间的进一步拓展，学生对比萨的厚薄、翻边的宽窄等问题的提出，体现了思维的创造性品质。在教学中，华老师鼓励学生表达，促进学生争鸣，让学生思维的触角多方面、多角度伸展。

纵观这节练习课，围绕“比萨的大小问题”这一生活化的素材，跳出了“圆的面积”计算操练的窠臼，充分激发学生练习的积极性、主动性，借助诸多化错学习行为，不但帮助学生形成熟练的面积计算技能，而且使学生学会了在练习中自主提问、纠正错误，在思辨中提升素养、发展素质。

（作者单位：江苏省高邮市天山小学）

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