关于两圆相切的问题剖析与解题探究

罗荣昭

[摘  要] 两圆相切是初中几何常见的位置关系，分析两圆的位置关系、计算圆心距、推导圆方程在中考试题中十分常见. 解题探究时要关注相切时圆心距与圆半径的关系，总结不同知识背景下的突破思路. 文章将深入剖析两圆相切，结合问题探讨解题策略，并提出相应的教学建议.

[关键词] 圆;相切;函数;几何图形

问题背景

相切是几何中较为特殊的位置关系，两圆相切时圆心距等于两圆半径的和差. 对于以两圆相切为背景的综合题，探究时要充分利用圆心距与圆半径之和的关系，结合圆的几何性质構建模型. 在中考命题中关于两圆相切主要有两种形式：一是以函数为背景探究两圆相切;二是以几何图形为背景探究两圆相切. 针对不同类型的问题，需要掌握两圆相切的知识核心以及对应问题的解题策略，这也是教学探究的重点.

问题剖析

1. 函数背景中的两圆相切探究

以函数为背景的两圆相切问题融合了函数知识，常结合坐标系综合构建模型，相切时圆心距与点坐标紧密相关，两点之间的距离公式是突破的核心方法. 对于较为复杂的图像，可提取其中的特殊图形，结合图形的特殊关系来简化解析. 其中的线段问题需要转化为距离问题，结合点坐标求出.

例1：在图1所示的平面直角坐标系中，已知四边形OABC为等腰梯形，且OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，试回答下列问题.

（1）试求经过O，B，C三点的二次函数解析式;

（2）如果点P位于第四象限，且△POC与△AOB为相似关系，试写出所有满足条件的点P的坐标;

（3）在（2）问条件成立下，如果⊙P与以OC为直径的圆相切，求出⊙P的方程.

整体分析：（1）二次函数经过点O，B，C，可求出点坐标，使用待定系数法求解析式.

（2）已知OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，则可推得OA=AB=BC，即△OAB为等腰三角形，若△POC与△AOB相似，则△POC必然也为等腰三角形，故存在两种情形：PO=PC和OC=CP，后续构建具体模型，结合相似性质逐步剖析即可.

（3）该问在（2）问条件的基础上深入探究，已知⊙P与直径为OC长的圆相切，需根据点P坐标判断相切情形（内切或外切）;然后结合相切时圆心距与半径之间的关系可确定⊙P的半径;最后结合点P坐标即可求出⊙P的方程.

过程探究：（1）四边形OABC为等腰梯形，已知OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，则点O（0，0），B（6，2 ），C（8，0），可设二次函数解析式为y=ax（x-8），将点B坐标代入其中，解得a= - ，所以二次函数的解析式为y= - x2+ x.

（2）因为tan∠BCO= ，所以∠AOC=∠BCO=60°，又知等腰梯形中AB∥CO，则∠CBA=∠BAO=120°. 因为OA=AB=BC=4，进而可得∠OBA=∠BOA=30°，OC=8. 若△POC与△AOB相似，则△POC也为等腰三角形.

①当PO=PC时，如图2所示，则∠OPC = 120°，所以∠POC=∠PCO=30°. 过点P作x轴的垂线，设垂足为点D，在Rt△POD中，已知∠POD=30°，OD=4，则DP=OD·tan∠POD= ，所以点P的坐标为4，- .

②当OC=CP时，如图3所示，则∠OCP=120°，所以∠COP=∠CPO=30°. 同样过点P作x轴的垂线，设垂足为点D，已知OC=PC=8，则∠PCD=60°，PD=PC·sin∠PCD=4 ，CD=4，所以点P的坐标为（12，-4 ）.

综上可知，满足条件的点P的坐标有两个，分别为4，- 和（12，-4 ）.

（3）①当点P坐标为4，- 时，如图4所示，由于点P位于⊙D内，故⊙D与⊙P只可能是内切关系，但存在“互包”两种情形. 则⊙D的半径应为CD±DP，即R=4± . 当⊙P位于⊙P内时，⊙P的半径为4+ ;当⊙D位于⊙P外时，⊙P的半径为4- . 所以⊙P的方程为（x-4）2+y+ 2=4± 2.

②当点P坐标为（12，-4 ）时，如图5所示，此时⊙Q与⊙P有内切和外切两种情形，当两者外切时，⊙P的半径R=PQ-4=4 -4;当两者内切时，⊙P的半径R= PQ+4=4 +4;所以⊙P的方程为（x-12）2+（y+4 ）2=（4 ±4）2.

综上可知，⊙P的方程为（x-4）2+y+ 2=4± 2或（x-12）2+（y+4 ）2=（4 ±4）2.

解后评析：上述第（3）问探究两圆相切时圆的方程，问题突破的难点有两个，一是两圆相切时的情形判断;二是不同相切情形下半径的计算方法. 即使是两圆内切时也可能存在两圆“互包”两种情形，采用数形结合可避免漏解，同时有助于利用圆心距推导圆的半径.

2. 几何图形背景中的两圆相切探究

几何图形背景中的两圆相切，其探究重点有两个：一是圆的相切关系，二是圆与其他图形的知识关系. 而其中的距离问题需要转化为线段问题，可结合勾股定理、相似关系和全等关系推导，也可结合三角函数进行计算.

例2：已知，如图6，在直角△ABC中，∠ABC=90°，点M在边BC上，且AB=12，BM=4，如果将△ABM沿AM所在的直线翻折，点B恰好落在边AC上的点D处，点O为AC边上的一个动点，连接OB，以O圆心，OB为半径作⊙O，交线段AB于点B和点E，作∠BOF=∠BAC交⊙O于点F，OF交线段AB于点G.

（1）分别求点D到点B的距离，以及到直线AB的距离;

（2）若点F平分劣弧BE，求此时线段AE的长度;

（3）若△AOE为等腰三角形，以A为圆心的⊙A与此时的⊙O相切，求⊙A的半径.

整体分析：（1）可设BD与AM的交点为N，则∠BNM=90°，BN=DN，通过解直角三角形可分别求距离.

（2）求AE的长，需要求出BE的长，可先确定∠CAB的正弦值，然后设出BG=3m，OG=4m，构建关于m的方程，求出m的值，最后解直角三角形求BE长.

（3）该问讨论两圆相切，可先求出△AOE为等腰三角形时⊙O的半径以及圆心距，然后讨论相切情形下⊙A的半径.

过程探究：（1）简答，BD=2BN= ，点D到AB的距离为 .

（2）过点D作AB的垂线，设垂足为H，如图7所示. 在Rt△ADH中，已知DH= ，AD=AB=12，则sin∠CAB= .

按照题意绘制如图8所示图像，其中点F平分弧BE，连接DF，与AB的交点设为G. 分析可知OF⊥BE，BG=EG. 在Rt△BOG中，已知∠BOF=∠BAC，可设BG=3m，OG=4m，在Rt△AOG中，由tan∠A= = = ，解得m= . 所以AE=AB-BE=12-6m= .

（3）下面采用分步突破的方法，先求“⊙O的半径”，然后讨论“两圆相切”.

第一步，求△AOE为等腰三角形时⊙O的半径.

由于△AOE为等腰三角形，则可能EO=EA，如图9所示，作EK⊥AC于K. 在Rt△AEK中，设EK=3n，则AK=4n，EA=5n. 然后作OP⊥AB于P，在Rt△AOP中，OA=2AK=8n，AP= OA= ，所以PE=AP-AE= n. 由于AB=2PE+EA= n+5n=12，可得n= ，所以⊙O的半径rO =OE=5n= ，圆心距d=OA= .

第二步，讨论⊙A与⊙O的相切情形.

⊙A与⊙O相切，有外切和内切两种情形.

①如图10所示，若⊙A与⊙O外切，有rO +rA=d，所以rA=d-rO = ;

②如图11所示，若⊙A与⊙O内切，有rA- rO =d，所以rA=d+rO =20;

综上可知，⊙A的半径为 或20.

解后评析：上述第（3）问探究几何图形背景中两圆的相切，结合相关知识推导两圆的圆心距及半径是重点，通常将距离问题转化为线段问题. 上述充分把握特殊三角形性质，利用直角三角形构建代数方程. 突破过程涉及了垂径定理、勾股定理、解直角三角形、两圆相切的位置关系等知识，同时涉及数形结合、分类讨论思想，是知识与方法综合的典型代表.

总结思考

1. 关于两圆相切的解读归纳

两圆相切是一种特殊的位置关系，通常有内切和外切两种情形，即对于半径长分别为R 和R 的两个圆，当两圆为外切关系时，圆心距d=R +R ;为内切关系时，d=R -R . 当一圆心位于另一圆内时，只能为内切关系，同时由于“互包”会出现两种情形. 实际上，“线段和差”是两圆相切的本质，故求线段和距离长是解析的关键. 在不同背景下可按照对应思路进行问题转化，如函数背景下可将“两点之间的距离”作为研究重点，而几何图形背景下可将“线段长”作为研究的重点.

另外，在实际解题时有如下解题思路：

思路一：结合动点的运动方式来表示相关线段长，重点是理解动点条件.

思路二：利用几何性质来表示线段间的关系，重点是提取几何特性.

思路三：根据相似或全等关系、勾股定理构建关于线段长的代数方程，重点是探索特性成立的条件.

思路四：把握坐标系中的点坐标，结合两点之间的距离关系直接求线段长.

2. 关于相切问题教学中的建议

建议一：挖掘知识本质，开展知识归纳.

两圆相切是一种特殊的位置关系，在探究教学中需要引导学生挖掘相切的知识本质，结合图像归纳相切的不同的情形，归纳圆心距与圆半径之间的关系. 虽然两圆相切的问题类型较为众多，但实则可歸为函数与几何两大构建背景，探究教学要立足知识本质，把握求“线段”或“距离”这一本质内容，探索关联知识，串联知识体系.

建议二：关注解题思想，形成解题策略.

两圆相切问题中有两大难点：一是相切关系的多样性，二是问题转化解析多视角. 前者与图形位置关系相关，后者关系到解题思路的构建，问题突破过程常涉及分类讨论、数形结合、化归转化等思想方法. 教学中建议教师引导学生体验问题的突破过程，关注学生思维，合理渗透数学思想，充分探究审题突破的视角，形成相应的解题策略.