关于两圆相切的问题剖析与解题探究

2021-06-21 08:58罗荣昭
数学教学通讯·初中版 2021年4期
关键词:几何图形函数

罗荣昭

[摘  要] 两圆相切是初中几何常见的位置关系,分析两圆的位置关系、计算圆心距、推导圆方程在中考试题中十分常见. 解题探究时要关注相切时圆心距与圆半径的关系,总结不同知识背景下的突破思路. 文章将深入剖析两圆相切,结合问题探讨解题策略,并提出相应的教学建议.

[关键词] 圆;相切;函数;几何图形

问题背景

相切是几何中较为特殊的位置关系,两圆相切时圆心距等于两圆半径的和差. 对于以两圆相切为背景的综合题,探究时要充分利用圆心距与圆半径之和的关系,结合圆的几何性质構建模型. 在中考命题中关于两圆相切主要有两种形式:一是以函数为背景探究两圆相切;二是以几何图形为背景探究两圆相切. 针对不同类型的问题,需要掌握两圆相切的知识核心以及对应问题的解题策略,这也是教学探究的重点.

问题剖析

1. 函数背景中的两圆相切探究

以函数为背景的两圆相切问题融合了函数知识,常结合坐标系综合构建模型,相切时圆心距与点坐标紧密相关,两点之间的距离公式是突破的核心方法. 对于较为复杂的图像,可提取其中的特殊图形,结合图形的特殊关系来简化解析. 其中的线段问题需要转化为距离问题,结合点坐标求出.

例1:在图1所示的平面直角坐标系中,已知四边形OABC为等腰梯形,且OA=AB=BC=4,tan∠BCO= ,试回答下列问题.

(1)试求经过O,B,C三点的二次函数解析式;

(2)如果点P位于第四象限,且△POC与△AOB为相似关系,试写出所有满足条件的点P的坐标;

(3)在(2)问条件成立下,如果⊙P与以OC为直径的圆相切,求出⊙P的方程.

整体分析:(1)二次函数经过点O,B,C,可求出点坐标,使用待定系数法求解析式.

(2)已知OA=AB=BC=4,tan∠BCO= ,则可推得OA=AB=BC,即△OAB为等腰三角形,若△POC与△AOB相似,则△POC必然也为等腰三角形,故存在两种情形:PO=PC和OC=CP,后续构建具体模型,结合相似性质逐步剖析即可.

(3)该问在(2)问条件的基础上深入探究,已知⊙P与直径为OC长的圆相切,需根据点P坐标判断相切情形(内切或外切);然后结合相切时圆心距与半径之间的关系可确定⊙P的半径;最后结合点P坐标即可求出⊙P的方程.

过程探究:(1)四边形OABC为等腰梯形,已知OA=AB=BC=4,tan∠BCO= ,则点O(0,0),B(6,2 ),C(8,0),可设二次函数解析式为y=ax(x-8),将点B坐标代入其中,解得a= - ,所以二次函数的解析式为y= - x2+ x.

(2)因为tan∠BCO= ,所以∠AOC=∠BCO=60°,又知等腰梯形中AB∥CO,则∠CBA=∠BAO=120°. 因为OA=AB=BC=4,进而可得∠OBA=∠BOA=30°,OC=8. 若△POC与△AOB相似,则△POC也为等腰三角形.

①当PO=PC时,如图2所示,则∠OPC = 120°,所以∠POC=∠PCO=30°. 过点P作x轴的垂线,设垂足为点D,在Rt△POD中,已知∠POD=30°,OD=4,则DP=OD·tan∠POD= ,所以点P的坐标为4,- .

②当OC=CP时,如图3所示,则∠OCP=120°,所以∠COP=∠CPO=30°. 同样过点P作x轴的垂线,设垂足为点D,已知OC=PC=8,则∠PCD=60°,PD=PC·sin∠PCD=4 ,CD=4,所以点P的坐标为(12,-4 ).

综上可知,满足条件的点P的坐标有两个,分别为4,- 和(12,-4 ).

(3)①当点P坐标为4,- 时,如图4所示,由于点P位于⊙D内,故⊙D与⊙P只可能是内切关系,但存在“互包”两种情形. 则⊙D的半径应为CD±DP,即R=4± . 当⊙P位于⊙P内时,⊙P的半径为4+ ;当⊙D位于⊙P外时,⊙P的半径为4- . 所以⊙P的方程为(x-4)2+y+ 2=4± 2.

②当点P坐标为(12,-4 )时,如图5所示,此时⊙Q与⊙P有内切和外切两种情形,当两者外切时,⊙P的半径R=PQ-4=4 -4;当两者内切时,⊙P的半径R= PQ+4=4 +4;所以⊙P的方程为(x-12)2+(y+4 )2=(4 ±4)2.

综上可知,⊙P的方程为(x-4)2+y+ 2=4± 2或(x-12)2+(y+4 )2=(4 ±4)2.

解后评析:上述第(3)问探究两圆相切时圆的方程,问题突破的难点有两个,一是两圆相切时的情形判断;二是不同相切情形下半径的计算方法. 即使是两圆内切时也可能存在两圆“互包”两种情形,采用数形结合可避免漏解,同时有助于利用圆心距推导圆的半径.

2. 几何图形背景中的两圆相切探究

几何图形背景中的两圆相切,其探究重点有两个:一是圆的相切关系,二是圆与其他图形的知识关系. 而其中的距离问题需要转化为线段问题,可结合勾股定理、相似关系和全等关系推导,也可结合三角函数进行计算.

例2:已知,如图6,在直角△ABC中,∠ABC=90°,点M在边BC上,且AB=12,BM=4,如果将△ABM沿AM所在的直线翻折,点B恰好落在边AC上的点D处,点O为AC边上的一个动点,连接OB,以O圆心,OB为半径作⊙O,交线段AB于点B和点E,作∠BOF=∠BAC交⊙O于点F,OF交线段AB于点G.

(1)分别求点D到点B的距离,以及到直线AB的距离;

(2)若点F平分劣弧BE,求此时线段AE的长度;

(3)若△AOE为等腰三角形,以A为圆心的⊙A与此时的⊙O相切,求⊙A的半径.

整体分析:(1)可设BD与AM的交点为N,则∠BNM=90°,BN=DN,通过解直角三角形可分别求距离.

(2)求AE的长,需要求出BE的长,可先确定∠CAB的正弦值,然后设出BG=3m,OG=4m,构建关于m的方程,求出m的值,最后解直角三角形求BE长.

(3)该问讨论两圆相切,可先求出△AOE为等腰三角形时⊙O的半径以及圆心距,然后讨论相切情形下⊙A的半径.

过程探究:(1)简答,BD=2BN= ,点D到AB的距离为 .

(2)过点D作AB的垂线,设垂足为H,如图7所示. 在Rt△ADH中,已知DH= ,AD=AB=12,则sin∠CAB= .

按照题意绘制如图8所示图像,其中点F平分弧BE,连接DF,与AB的交点设为G. 分析可知OF⊥BE,BG=EG. 在Rt△BOG中,已知∠BOF=∠BAC,可设BG=3m,OG=4m,在Rt△AOG中,由tan∠A= = = ,解得m= . 所以AE=AB-BE=12-6m= .

(3)下面采用分步突破的方法,先求“⊙O的半径”,然后讨论“两圆相切”.

第一步,求△AOE为等腰三角形时⊙O的半径.

由于△AOE为等腰三角形,则可能EO=EA,如图9所示,作EK⊥AC于K. 在Rt△AEK中,设EK=3n,则AK=4n,EA=5n. 然后作OP⊥AB于P,在Rt△AOP中,OA=2AK=8n,AP= OA= ,所以PE=AP-AE= n. 由于AB=2PE+EA= n+5n=12,可得n= ,所以⊙O的半径rO =OE=5n= ,圆心距d=OA= .

第二步,讨论⊙A与⊙O的相切情形.

⊙A与⊙O相切,有外切和内切两种情形.

①如图10所示,若⊙A与⊙O外切,有rO +rA=d,所以rA=d-rO = ;

②如图11所示,若⊙A与⊙O内切,有rA- rO =d,所以rA=d+rO =20;

综上可知,⊙A的半径为 或20.

解后评析:上述第(3)问探究几何图形背景中两圆的相切,结合相关知识推导两圆的圆心距及半径是重点,通常将距离问题转化为线段问题. 上述充分把握特殊三角形性质,利用直角三角形构建代数方程. 突破过程涉及了垂径定理、勾股定理、解直角三角形、两圆相切的位置关系等知识,同时涉及数形结合、分类讨论思想,是知识与方法综合的典型代表.

总结思考

1. 关于两圆相切的解读归纳

两圆相切是一种特殊的位置关系,通常有内切和外切两种情形,即对于半径长分别为R 和R 的两个圆,当两圆为外切关系时,圆心距d=R +R ;为内切关系时,d=R -R . 当一圆心位于另一圆内时,只能为内切关系,同时由于“互包”会出现两种情形. 实际上,“线段和差”是两圆相切的本质,故求线段和距离长是解析的关键. 在不同背景下可按照对应思路进行问题转化,如函数背景下可将“两点之间的距离”作为研究重点,而几何图形背景下可将“线段长”作为研究的重点.

另外,在实际解题时有如下解题思路:

思路一:结合动点的运动方式来表示相关线段长,重点是理解动点条件.

思路二:利用几何性质来表示线段间的关系,重点是提取几何特性.

思路三:根据相似或全等关系、勾股定理构建关于线段长的代数方程,重点是探索特性成立的条件.

思路四:把握坐标系中的点坐标,结合两点之间的距离关系直接求线段长.

2. 关于相切问题教学中的建议

建议一:挖掘知识本质,开展知识归纳.

两圆相切是一种特殊的位置关系,在探究教学中需要引导学生挖掘相切的知识本质,结合图像归纳相切的不同的情形,归纳圆心距与圆半径之间的关系. 虽然两圆相切的问题类型较为众多,但实则可歸为函数与几何两大构建背景,探究教学要立足知识本质,把握求“线段”或“距离”这一本质内容,探索关联知识,串联知识体系.

建议二:关注解题思想,形成解题策略.

两圆相切问题中有两大难点:一是相切关系的多样性,二是问题转化解析多视角. 前者与图形位置关系相关,后者关系到解题思路的构建,问题突破过程常涉及分类讨论、数形结合、化归转化等思想方法. 教学中建议教师引导学生体验问题的突破过程,关注学生思维,合理渗透数学思想,充分探究审题突破的视角,形成相应的解题策略.

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