tan -展开法和立方非线性Schrödinger方程精确解

马致远，马志民

（成都理工大学工程技术学院基础部，四川 乐山 614000）

本文将讨论立方非线性Schrödinger方程［9-11］

的精确解，这里ψ=ψ(x,t)为复函数，Ω为实系数.非线性立方Schrödinger方程广泛应用在各种自然科学领域，如非线性光学、等离子物理和量子力学等.作为数理方程中的重要模型，研究其精确解有助于相关背景的理解［12-14］.如，在非线性光学中，其解用来描述电磁场的一个复杂包络；在等离子物理中，其解又用来描述电子波.文献［12］中，Hosseini K采用修改的Kudryashov方法和sine-Gordon-展开法获得了方程（1）的双曲函数解.文献［13］中，Ebaid A利用修改的F-展开方法构造了方程（1）的椭圆函数解和双曲函数解.文献［14］利用exp( -ϕ(ξ))-展开法获得了方程（1）的多种新结果.

对非线性偏微分方程

利用u(x,t)=u(ξ),ξ=k x+αt使方程（2）变为

假设方程（3）的解为

其中：ai(i=0,1,2,…)；k,α是待定系数；正整数m通过方程（3）中的最高次线性项和最高次非线性项来确定.ϕ(ξ)满足如下的一阶方程

其中：f，g，h是常数.

对于一阶微分方程（5）已知有如下结果；

1）当Δ=f2+g2-h2＜0，g-h≠0时，

2）当Δ=f2+g2-h2＞0，g-h≠0时，

3）当Δ=f2+g2-h2＞0，g≠0，h=0时，

4）当Δ=f2+g2-h2＜0，g=0，h≠0时，

5）当Δ=f2+g2-h2＞0，g-h≠0，f=0时，

6）当f2+g2-h2=0时，

7）当f=g=h时，

8）当f=h，g=-f时，

9）当h=f时，

10）当h=f时，

11）当h=-f时，

12）当g=-h时，

13）当f=h，g=0时，

14）当f=0，g=h时，

15）当f=0，g=-h时，

16）当f=0，g=0时，

这里ξ∧=ξ+C，C是积分常数.

2 立方非线性Schrödinger的精确解

将如下变换

代入到方程（1），可得

其中：k，α是待求参数.

通过平衡方程（23）中的u″和u3，有m=1.因此可以假设方程（23）的解为

借助计算系统Maple，求解上述方程组，获得如下结果

其中：k为任意常数.

将式（26）代入到（23）和（22）式，并利用（6）～（21）式获得立方非线性Schrödinger的精确解如下.

1）当Δ=f2+g2-h2＜0,g-h≠0时，

此类解为三角周期解，见图1、图2.

图1 实部ψ1(x,t)Fig.1 Real part ofψ1(x,t)

图2 模ψ1(x,t)Fig.2 Modulus ofψ1(x,t)

2）当Δ=f2+g2-h2＞0，g-h≠0时，

3）当f2+g2＞0，g≠0，h=0时，

此类解为孤子解，见图3.

4）当f2-h2＜0，g=0，h≠0时，

5）当g2-h2＞0，g-h≠0，f=0时，

6）当f2+g2-h2=0时，

ψ6(x,t)=

图3 模ψ3(x,t)Fig.3 Modulus ofψ3(x,t)

此类解为有理函数解.

7）当f=g=h时，

8）当f=h，g=-f时，

此类解为指数函数解，通过变换可转化为孤子解，见图4.

图4 模ψ8(x,t)Fig.4 Modulus ofψ8(x,t)

9）当h=f时，

10）当h=f时，

11）当h=-f时，

12）当g=-h时，

13）当f=h，g=0时，

14）当f=0，g=h时，

15）当f=0，g=-h时，

16）当f=0，g=0时，

对于ψ2(x,t)，ψ4～7(x,t)，ψ9～16(x,t)的实部和虚部三维图像可类似作出，这里略.

3 结论