场强方向判断容易出现的一个隐蔽性错误——带电粒子在匀强电场中做匀变速曲线运动的相关规律

张 黎

(黄陂区前川街第三中学 湖北 武汉 430317)

何崇荣

(黄陂区第一中学 湖北 武汉 430300)

带电粒子(不计重力)在匀强电场中仅受电场力作用时，若粒子速度与场强方向不共线，则粒子做匀变速曲线运动.教学过程中会碰到，如果给出粒子运动过程中经过若干点的能量间的关系或者给出经过两点时速度方向，如何判断场强方向问题.而在解决此类问题时，特别容易犯一些隐蔽性错误[1].

1 已知3点动能关系判断场强方向

1.1 题目

【例1】(2020年湖北八校联考)如图1所示，半径为R的圆形区域，c为圆心，∠acb=60°，在圆上a点有一粒子源以相同的速率向圆面内各个方向发射多个质量为m、电荷量为+q的带电粒子，圆形区域内存在平行于圆面的匀强电场，粒子从电场中射出的最大动能是初动能的4倍，经过b点的粒子动能是初动能的3倍，已知初动能为Ek，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列选项正确的有( )

图1 例1题图

C.电场强度方向从a到b

D.电场强度方向从a到c

1.2 解析

设电场强度方向与ac连线的夹角为θ，如图2所示.

图2 例1解析图

由a点到最大动能处，根据动能定理有

qER(1+cosθ)=Ekm-Ek

(1)

由a到b点有

qERcos(60°-θ)=Ekb-Ek

(2)

联立式(1)和式(2)解得

1.3 评析

图3 例1评析图

通过上述分析，根据3点动能关系，可以确定场强方向.所以此题正确选项为A和C.

2 已知两点速度方向判断场强方向

2.1 题目

【例2】在平行于纸面的匀强电场中,有一电荷量为q的带正电粒子仅在电场力作用下,粒子从电场中的A点运动到B点，速度大小由2v0变为v0，粒子的初、末速度与AB连线的夹角均为30°，如图4所示，已知A和B两点间的距离为d，则该匀强电场的电场强度为( )

图4 例2题图

2.2 解析

建立图5所示的坐标系，将粒子的运动按x轴方向和y轴方向分解，两方向电场强度的分量分别为Ex和Ey，加速度分别为ax和ay，根据速度位移公式有

图5 例2解析图

x方向：(v0cos 60°)2-(2v0)2=2axdcos 30°

(3)

y方向：(v0sin 60°)2=2aydsin 30°

(4)

根据牛顿第二定律

qEx=maxqEy=may

(5)

根据场强叠加

(6)

联立式(3)～(6)解得

于是正确选项为D.

2.3 评析

这个解析似乎也很完美，然而若选择将粒子的运动按AB连线和垂直于AB连线分解，两个方向都是匀变速直线运动，垂直于AB连线方向，相当于做类竖直上抛，A和B两点在垂直于AB连线方向速度应该等大反向.而代入数据发现，两分量不等.于是题目条件出现不自洽.那么给出两点速度方向，如何确定场强方向呢？下面按一般性讨论，物体做匀变速曲线运动时，所受恒力方向有什么规律.

3 匀变速曲线运动速度方向恒力方向各自满足的规律

质点受恒力作用，当初速度与力不共线时，质点做匀变速曲线运动.若已知运动过程中两点速度方向，如图6所示，那么如何确定该恒力(或加速度)的方向呢？

图6 匀变速曲线运动中已知两点速度方向

如图7所示，设质点加速度大小为a，A和B两点速度延长线相交于D点，质点由A运动到B，沿v1方向的位移为AC，合位移为AB，过D点作DD′平行于恒力方向与合位移AB相交于D′.

图7 速度和位移

将质点的运动分解为沿v1方向的匀速直线运动和沿恒力方向的匀变速直线运动，于是有

再根据速度矢量三角形与△BCD相似，于是有

解得

即D为AC的中点，D′为AB的中点，恒力方向平行于DD′.

于是可以得出以下规律.

规律1：类似于平抛运动速度方向特点，速度方向反向延长线相交于其中一分运动(匀速直线运动)的位移中点.

规律2：质点所受恒力方向平行于某两点的连线，这两点分别为任意两点速度方向的交点以及该两点连线的中点.

规律3：质点经过任意两点的速度沿垂直于两点连线方向的分量等大反向.