“数与代数”领域教学路径剖析

牟永存

“数与代数”领域知识是数学的基础内容，在数学教学中占有重要地位。小学阶段，“数与代数”领域知识主要包括数的认识、数的运算、估算、常见的量等，其内容贯穿于小学数学教学的始终，承载着培养学生运算能力、符号意识、推理能力、模型思想、应用意识等数学核心素养的重要任务。掌握“数与代数”领域的基础知识与基本技能，能使学生形成良好的运算能力，建立良好的数感，形成初步的代数思想，为进一步学习其他领域的数学知识打下重要基础。因此，在教学“数与代数”领域知识时，教师要让学生经历“抽象问题—理解算理—归纳算法—应用巩固—反思提高”的过程，使学生在深度理解算理的过程中掌握算法，进而提高运算能力，发展数学核心素养。下面以“两位数乘两位数的竖式笔算”教学为例对“数与代数”领域教学路径进行剖析。

一、经历抽象问题的过程

数学情境是从事数学活动的环境以及产生数学行为的条件，是以激发学生问题意识为价值取向的刺激性数据材料和背景信息。学生要解决的问题往往就蕴涵在数学情境中，好的数学情境有利于解决数学知识的抽象性与学生思维的具体性之间的矛盾。因此，教学中创设的数学情境，既要有丰富的实际背景和数学信息，又要紧扣教学目标，适合学生的认知水平，靠近学生思维的最近发展区，易于激发学生的问题意识，使学生自主提出数学问题，经历抽象出数学问题的过程，为进一步探究问题的解决打下基础。

例如，在教学“两位数乘两位数笔算乘法”这节课时，教师创设了学生生活中熟悉的问题情境。

师：王老师到新华书店买书，下图是王老师与售货员的对话，你从中得到了哪些数学信息呢？

课件出示：

生：我发现王老师买了12套书，而且每套书14本。

师：针对这些数学信息，你能提出什么数学问题？

生：王老师一共买了多少本书？

师：怎么列式呢？

生：14×12。

师：这是两位数乘两位，如何计算呢？

上述教学中，教师创设了书店购书的生活情境，学生在收集情境中信息的过程中自主提出数学问题，亲身经历了抽象出数学问题的过程，并列出两位数乘两位数的算式，为进一步探索两位数乘两位数的笔算乘法打下基础。

二、经历理解算理的过程

算理是客观存在的规律，是计算过程中的基本原理和思维方式，是解决为什么这样算的根本依据，保证了计算的合理性和正确性。学生只有理解了计算的道理，才能为理解和掌握计算的方法，进而正确迅速地计算打下基础。小学阶段学生的思维正处于从具体形象思维向理性思维过度，而算理隐藏在计算的过程中，对学生来说比较抽象且不易理解。因此，教学中要借助直观引导学生对计算的道理进行深入探究，帮助学生借助已有知识和经验领悟计算的道理，使学生亲身经历算理的理解过程，为进一步归纳算法作好铺垫。

例如，在教学“两位数乘两位数的竖式笔算”这节课时，教师利用点子图引导学生理解算理。

师：如果将一本书看成一个点，一套书14本就能排成一行14个点。有这样的12套，也就有这样的12行点。

（出示课件。）

師：同学们可以小组合作，利用学习单上的点子图圈一圈、算一算，并将14×12的计算过程写下来。

学生小组内动手操作并记录计算过程。

师：哪个小组来介绍一下，你们小组是怎样圈的？又是怎样计算的？

组1：我们小组是把点子图分成两部分，一部分是4行，即4个14，算式是14×4=56;另一部分是8行，即8个14，算式是14×8=112。将两部分计算结果合起来，即56+112=168。

组2：我们小组是把点子图平均分成两部分，一部分是6行，即6个14，算式是14×6=84。将两部分计算结果合起来，即84+84=168。

组3：我们小组也是把点子图分成两部分，一部分是10行，即10个14，算式是14×10=140;另一部分是2行，即2个14，算式是14×2=28。将两部分计算结果合起来，即140+28=168。

师：我们计算14×12，可为什么在你们的算式中没有12呢？

生：我们都是把12分成了两部分来计算。

师：为什么要分成两部分？

生：把两位数乘两位数变成已经学过的两位数乘一位数或者两位数乘整十数，也就是将新知识转化为已经学过的知识来解决问题。

师：那同学们比较一下这几种方法，你认为哪种方法比较简便？

生：我觉得第三种方法比较简便，因为任何一个两位数都能分成整十数和一位数。

师：下面同学们试着利用竖式笔算14×12的积，同时思考竖式笔算时先算什么、再算什么，然后小组内讨论交流。

学生列竖式计算，并小组讨论交流。

师：谁能展示一下你列的算式？

生：（边指边说）我用2乘4得8，对应写在个位上;再用2乘十位上的1得2，对应写在十位上。又用十位上的1乘4得4，对应写在十位上;再用十位上的1乘十位上的1得1，对应写在百位上。

师：能结合点子图说一说这样计算的道理吗？

生：其实竖式计算就和刚才第三种分法计算的过程是一样的，都是先把12分成10和2来计算，28是14×2的积，140是14×10的积，最后把两部分积合起来28+140=168，就是12套书的本数。

课件出示：

师：4为什么写在十位上？0为什么没写？

生：1个十乘4是4个十，所以写在十位上，就表示4个十，所以后面的0就不用再写了。

上述教学中，教师引导学生利用直观的点子图理解抽象的算理，明晰乘法竖式计算中每一步计算表示的含义，学生通过直观图形与乘法竖式的沟通，经历了充分理解算理的过程，有效促进了学生对两位数乘两位算理的掌握，为进一步归纳算法作好铺垫。

三、经历归纳算法的过程

算法是人为规定的操作方法，是计算过程中的外在表达形式，是复杂思维过程的程式化操作步骤，算法为计算提供了快捷的操作方法，能有效提高计算的速度。学生在掌握算理之后，为了使计算更方便快捷，提高计算的速度和准确率，就要寻找到计算的普遍规律，抽象、概括出计算的方法。因此，教学中要引导学生在理解算理的基础上，经历总结归纳算法的过程，为计算提供可操作性的方法，进而提高计算的速度和准确率，也进一步提升运算能力。

例如，在教学“两位数乘两位数的竖式笔算”这节课时，教师引导学生在理解算理的基础上进一步归纳算法。

师：我们刚刚通过观察点子图理解了乘法竖式每一步计算的道理，回顾一下这三步计算的过程，你能说一说每一步都计算的什么吗？

生1：第一步计算14×2=28，第二步计算14×10=140，第三步把两部分积合起来28+140=168。

生2：先用12个位上的2乘14，再用12十位上的1乘14，最后将两次计算的结果相加。

师：不结合具体数，你能说一说两位数乘两位数的竖式笔算方法吗？

生：两位数乘两位数的竖式笔算，先用第二个乘数的个位分别去乘第一个乘数的每一位，所得的积放在第一排，末尾与两个乘数的个位对齐;再用第二个乘数的十位分别去乘第一個乘数的每一位，所得的积放在第二排，末尾与两个乘数的十位对齐;最后将两部分积相加。

师：同学们已经能结合14×12的竖式笔算方法总结出所有两位数乘两位数的竖式笔算方法，真棒！

上述教学中，教师引导学生结合14×12的竖式笔算方法，总结概括出两位数乘两位数的竖式笔算方法，使学生充分经历了归纳算法的过程，为应用竖式笔算解决两位数乘两位数提供了可操作性的方法，进一步提升了学生的运算能力。学生在这一过程中不仅积累了数学活动经验，而且提升了归纳概括能力。

四、经历巩固应用的过程

实际应用是巩固知识、内化知识的过程，也是进一步理解知识、发展思维的过程。算理的理解和算法的掌握要经过实际应用才能得到检验和巩固，组织学生进行相应的实际应用是巩固理解算理和掌握算法的重要手段，学生只有在实际应用中才能把算理内化为自己的理解，才能进一步掌握算法。因此，教学中要在学生理解算理和掌握算法之后，及时组织学生进行实际应用，让学生在实际应用中加深对算理的理解，在实际应用中牢固掌握算法，为后续应用算理和算法解决更复杂的计算问题打下坚实的基础。

例如，在教学“两位数乘两位数的竖式笔算”这节课时，教师设计了以下一组练习。

1.列竖式计算。

23×22     35×46

2.解决问题。

学校食堂买大虾45公斤，每公斤27元，买大虾一共花了多少元？用列竖式计算。

3.开放闯关。

上述教学中，教师设计了不同梯度的练习，使学生能熟练运用两位数乘两位数竖式笔算方法解决问题，经历巩固应用的过程。特别是开放闯关练习的设计，让学生进一步理解了两位数乘两位数的算理，掌握了两位数乘两位数的计算方法，提高了灵活应用算理和算法解决问题的能力，进而提升了运算能力。

五、经历反思提高的过程

反思是对思维过程、思维结果再认知的学习过程，是内化知识、提升经验、形成思想的重要学习手段。通过反思学生能自主总结探索知识的过程，巩固探索思路、方法、策略等，感悟在探索知识过程中应用的数学思想。因此，教学中要引导学生进行反思，让学生在反思中内化技能方法、积累活动经验、感悟数学思想，进一步深化对所学知识的理解，优化思维过程和知识结构，为后续学习新知识打下知识基础、经验基础、方法基础和思想基础。

例如，在教学“两位数乘两位数的竖式笔算”这节课时，教师引领学生进行反思总结。

师：通过今天这节课的学习你有什么收获？

生1：我通过点子图知道了两位数乘两位数竖式笔算背后的道理，是将其中的一个两位数分成一位数和整十数，即将两位数乘两位数变成两位数乘一位数和两位数乘整十数，最后将两部分积合起来。如14×12，第一步计算14×2=28，第二步计算14×10=140，第三步把两部分积合起来28+140=168。

生2：我掌握了两位数乘两位数竖式笔算的计算方法，先用第二个乘数的个位分别去乘第一个乘数的每一位，所得的积放在第一排，末尾与两个乘数的个位对齐;再用第二个乘数的十位分别去乘第一个乘数的每一位，所得的积放在第二排，末尾与两个乘数的十位对齐;最后将两部分积相加。

师：你觉得今天的学习对于后面三位数乘两位的学习有哪些借鉴意义？

生：我觉得三位数乘两位数，首先也是用两位数的个位分别去乘三位数的每一位，再用两位数的十位分别去乘三位数的每一位，最后将两部分的积合起来。

师：同学们都能利用已经学习的知识来迁移理解新知识，真棒！我们后面学习“三位数乘两位数”时继续探索。

上述教学中，教师引领学生回顾两位数乘两位数的竖式笔算，经历了反思提高的过程，使学生不仅进一步梳理总结两位数乘两位数的算理和算法，也让学生尝试将两位数乘两位数的计算迁移到三位数乘两位数的计算，从学生的回答可以看出，学生不仅已经充分地理解了两位数乘两位数的算理，掌握了两位数乘两位数的竖式笔算方法，而且能将探索的经验迁移到三位数乘两位数，为三位数乘两位数的学习作好铺垫。

总之，“数与代数”领域知识的教学，要让学生经历“抽象问题—理解算理—归纳算法—应用巩固—反思提高”的过程，使学生在理解算理的基础上掌握算法，实现算理与算法的深度融合，进而提高运算能力，发展数学核心素养。

编辑/魏继军