有界磁场中离子运动轨迹及相关问题的探讨

邓艾 杜俊

摘   要：2020年是浙江省实施新高考试点的第3年，高考题的考查方式与命题特点理应引起其他省份重点关注与研究。文章以2020年7月浙江省高考物理试卷的压轴题为例，重点探讨离子在有界磁场中运动的相关问题，旨在研究新高考中对带电粒子在磁場中运动知识点的考查方式与角度的独特性。再以2021年1月高考题第3问为例，进一步阐述命题特点以及解题的思维方法。

关键词：命题特点;思维方法;运动轨迹

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）5-0043-4

1    引  言

新高考改革明确提出：面对即将进入高校学习的学生，中学阶段的教师在教学过程中要着重培养学生的学科核心素养。高考作为学生学习与复习备考的最高指挥棒，在试题内容的编排上会凸显出相应的素养内涵。以物理学科为例，命题内容上强调的是基础性、综合性、应用性与创新性。本文以2020年7月与2021年1月浙江省高考物理压轴题为例，从命题特点、解题思维方法以及课堂教学建议等方面进行论述。

2    原题再现，深度剖析

例1 （2020年7月浙江省选考物理第22题）某种离子诊断测量简化装置如图1所示。竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板CD平行于HG水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。

（1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s;

（2）求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离Lmax;

（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到HG距离L的关系。

第1问解析 离子在磁场中做圆周运动，qvB=，得离子的速度大小v=

如图2所示，令c束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界HG 边的Q点射出，则由几何关系可得OH=0.6R，根据勾股定理可知：s=HQ=0.8R。

命题特点分析：磁场作为高中阶段比较重要的章节，其概念本身比较复杂与抽象，圆周运动也是高中阶段动力学关系比较复杂的一种曲线运动。本题作为压轴题主要是以磁场为背景着重考查学生对圆周运动轨迹几何关系的认识、理解与运用，弱化对动力学关系的考查。

思维方法分析：一般来说，分析带电粒子在矩形有界磁场中运动，要注意分析进磁场边界时的初始条件，以便确定离开边界时的几何关系。本题中入射的离子速度方向相同（与矩形边界EH垂直），大小相等，且已知其中一束离子运动的轨迹，据此可以找出相应的半径，再根据其他离子束所处的位置画出相应的轨迹。整体而言难度不大，因此本题第1问在问题设置上突出基础性。

第2问解析 a束中的离子运动轨迹对应的圆心为O1，从磁场边界HG边射出时距离H点的距离为x，由几何关系可得HO1=0.6R。进一步分析可以发现：a、c束中的离子从同一点Q射出。设a、c离开磁场时速度与HG边的夹角分别为α与β，由几何关系可得α=β，且tanα= = 。

如图3所示，要想探测到三束离子，则c束中的离子恰好达到探测板的D点时，探测板与边界HG的距离最大，tanα= ，代入得Lmax= R。

命题特点分析：第2问问题设置的难度加大，区分度较高。此问需要学生准确而又细致地分析三束离子磁场边界后的运动过程与探测板长度之间的几何关系，三束离子均要被探测板吸收的问题最终转化为三束离子源轨迹与探测板交点个数的问题。运用数学知识建立相似关系，建立最大距离的方程是解题的关键。整体而言，第2问考查学生对运动轨迹的分析能力，对定量计算能力提出较高的要求。

第3问解析 a束或c束中每个离子动量的竖直分量pz=psinα=0.8qBR。

如图3所示，当0

如图4所示，当 R

如图5所示，当L>0.4R时，只有b束中的离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为F3=Np=NqBR。

思维方法分析：本题第3问将离子源的运动与探测板所受的平均作用力联系起来，突出命题的综合性与创新性。运用动量定理解决离子流与探测板碰撞产生的撞击力是分析的关键，实际解题时要注意到动量定理是矢量式方程，计算撞击力时要注意分解速度的方向。其次，从思维的严谨性与全面性来讲，我们要结合具体的距离L分段、分情况计算平均作用力的表达式，如此看来其实第2问实则为第3问的具体分析埋下伏笔。

命题整体分析：

（1）本题以粒子诊断测量的简化装置为情境进行命题，与科技前沿问题链接，这与新高考强调通过真实的情境创设考查学生解决实际问题的能力是非常契合的。以带电粒子在矩形磁场中运动为背景设置一些典型问题，从最简单、最基础的概念问题逐步深入到几何关系的进一步挖掘。作为压轴题，最后的设问转换至力学问题的探讨，体现出本题的综合性与应用性，整体而言对学生的能力提出较高的要求。

（2）本题与以往计算无限长的固定的探测板上探测到粒子的长度的设问不同，可以看到本题中探测板长度有限，并且只是在竖直方向可以移动，在审题时应该注意题目所给条件。常规课堂教学阶段尤其是一轮复习备考时，我们可以变换不同的变量深化对问题的研究，扩展学生思维的深度与广度。

（3）帶电粒子在磁场中的运动作为物理卷的压轴题是近几年浙江省高考物理的特色，本题中的离子在速度方向、大小确定的情况下主要考查学生对几何关系的正确运用。因不涉及旋转圆与缩放圆的分析与处理，也不存在粒子的运动轨迹与探测板相切或者以运动轨迹对应的弦长为直径的方式求边缘性的粒子的问题[1]，因此考查方式发生较大的变化。以这样的方式呈现，整体而言，难度有所下降。

（4）第3问中分类讨论的思想方法有一定的难度，部分学生对关键位置的认识会有偏差，或者稍有不慎求错边界值。整体而言，本题第3问的设问考查学生科学思维的严谨性与全面性。其实，处理实际问题时理应具备根据实际运动过程合理进行分类讨论的思想，这样的思维方式需要学生在平时的学习中逐步培养与形成。

课堂教学建议：

（1）分析带电粒子在磁场中的运动一般是遵循“定圆心，找半径，画轨迹”三个步骤。教师在课堂教学中可以考虑运用几何画板针对不同情境绘制粒子运动轨迹的动画，让学生对几何关系有更准确、更直观的认识。几何画板的使用也便于师生捕捉除题目中设置的问题以外的其他问题。本题中所有的图片都是基于几何画板所作。

（2）在一轮复习备考中我们要尝试一题多变，这种变不仅仅局限于改变问题设置的情境解决相似的问题。面对高考，我们也要思考在原有的情境下从新的角度提炼出新的问题[2]。比如，本题中第3问将离子在磁场中的运动与动量进行结合，考查学生的综合应用能力以及创新思维能力。虽然难度看似不大，但是学生实际很难拿全分。

例2 （2021年1月浙江省选考物理第22题第3问） 在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图6所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外;速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔;偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有 sinα≈tanα≈α，cosα≈1- α2。求：（3）偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标（x，y）表示。

解析 如图7所示，根据离子在速度选择器中运动的特点可知，离子运动的速度满足：Eq=qvB。

进入磁分析器满足：r= ，r=

进入偏转磁场区域：以离子进入偏转磁场时速度方向为z轴，则离子实际在zOy平面内运动，离子出磁场打到晶圆上时满足x=0;由于离子速度足够大，出磁场时满足：y=AB+DE=r（1-cosα）+Ltanα，根据题目约算近似可知：y≈ +Lα，再根据几何关系：sinα=  ，代入可知：y≈ =

命题特点分析：

（1）本题作为浙江2021年高考1月份物理学科的压轴题，虽然设置的是复合场的背景，但在分开设问的情况下，第3问依旧考查的是带电粒子在磁场中运动，并不涉及电场以及电场力。虽然是以带电粒子在矩形有界磁场中做匀速圆周运动为背景，与前面不同的是：本题设置的是粒子在三维立体空间中运动的情境。

（2）考虑实际离子运动速度足够大的情况，在对坐标的计算中着重对角度的约算进行了考查。中学阶段的学生常常习惯于通过严格推导进行准确计算，对约算或者估算的运用很少。本题中的约算公式tanα≈α，sinα≈α，在中学课本上推导匀速率圆周运动的向心加速度和单摆的周期公式的过程中是运用过的。对于约算公式cosα≈1- α2学生在此之前几乎没有见过，可能还不知道怎么得来。尽管如此，在考试的情况下，学生直接拿来解题即可。本题考查学生运用数学估算公式解决物理问题的能力。

思维方法分析：

（1）本题中对x，y坐标的求解实际是将曲线运动与直线运动结合，考查学生对连续两种运动过程几何关系的理解，xyz三维空间的运动看似复杂，一旦将带电粒子运动的圆平面认识清楚后，可以转化为zOy二维平面内的运动。

（2）分析粒子y坐标绘制粒子的运动轨迹时，可以发现一个问题：若粒子速度不是很大（图8），粒子不会打到xOy平面内;临界状态如图9所示，当粒子运动轨道半径大于L时才可以打到xOy平面内（图10）。只有当粒子速度超过这个临界值后粒子才可能打到xOy平面上，这也就是题目中交待粒子速度足够大的原因。

3    感  想

通过对高考题的深度剖析我们可以发现：高考作为为国家选拔人才的关键考试，为更好地发挥立德树人、服务选才、引导教学的核心功能，在命制高考题时更多的是尝试将物理学科与不同的情境结合，在熟悉且简单的情境中创设新的问题情境，以此考查学生的应变能力与综合分析能力。在那些与科技前沿相联系的复杂的情境中提炼一些经典问题，考查学生的科学思维能力。通过题目的命制培养学生积极主动解决问题的能力、分析推理能力、创新思维能力。以核心素养为中心，通过情境创设提高思维的品质，通过层层设问考查科学思维能力。

参考文献：

[1]陶汉斌.建构物理模型 厚植物理观念——鉴赏2020年1月浙江选考物理压轴题[J].物理教师，2020，41（05）：84-86+89.

[2]罗振国.高考考查电容器充放电的两大难点分析[J].物理教师，2020，41（07）：73-76.

（栏目编辑    陈  洁）