Cayley变换和Cayley参数化*

刘 锋，陈 浩，李国平

（湖南工学院，湖南 衡阳 421002）

1 Cayley(凯莱）变换

现在考虑这样一个映射：R=(E-S)-1(E+S)

其中S是反对称矩阵，此映射称为Cayley（一阶）变换。对于反对称矩阵S，我们来讨论其特征值，设x是属于其特征值λ的特征向量，则Sx=λx

在上式两边左乘，得

2 旋转矩阵的Cayley参数化

当n=3时，即为so(3)→SO(3)，也就是说由反对称矩阵可以通过Cayley变换生成一个旋转矩阵R,即旋转矩阵的Cayley参数化，对于R∈SO(3)，其特征多项式形式为

3 其他形式的凯莱变换

Cayley变换除了前边所给的形式之外，还有其他的形式：

上边这三种形式可由E-S与E+S可交换，从而(E-S)-1和E+S、E-S和(E+S)-1也可交换证明它们也可生成行列式为1的正交矩阵。

4 Cayley逆变换

利用上式Cayley变换可写成：

5 旋转的指数表示和Cayley参数化

刚体绕轴ω→旋转θ角的旋转方程的指数表示为：

6 Cayley变换和旋转矩阵Rodriguez向量参数化

为了介绍Rodriguez向量，我们先给出旋转矩阵的Euler参数化。根据欧拉旋转定理，我们引入Euler参数e0,e1,e2,e3，其中e0是数量，e1,e2,e3是向量的三个分量，且

7 结语

从前面的讨论，我们可以看到Cayley变换将一个反对称矩阵变换为正交矩阵，从而实现了旋转矩阵的三维参数化。Cayley参数化虽然非奇异，但是它不是全局的。对于有特征值为-1（相应迹为-1）的旋转矩阵，用Cayley参数化是不能表示的。绕任意轴旋转180∘对应的旋转矩阵的迹等于-1，Cayley参数化就不能表示。

Cayley变换是李群在其单位元附近线性化的一个很重要的工具，而且它是有理的，此变换不涉及像三角函数、指数函数这样的超越函数，这在数值计算时是很重要的，因为不需要耗费大量的计算时间。Cayley变换是可逆的，当已知旋转矩阵时，可以利用逆变换求出相应参数。旋转矩阵的指数表示法和Cayley参数化在形式上也是统一的。Rodriguez参数化也可以由Cayley变换推出，因此不同的姿态表示方法可以通过Cayley变换实现统一。