一类分数阶偏微分方程的柯西问题*

李思彤

（广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006）

本文讨论一类分数阶偏微分方程的柯西问题

其中n≥2且为整数，φ,ψ为速降函数。

在文献[3]的基础上，2018年A.Torchinsky[4]利用贝塞尔函数的性质验证(2)的结论。比较文献[3-4]中的方法，文献[4]中推导过程十分简练。结合文献[3-4]的方法，本文将研究一类分数阶偏微分方程的柯西问题(1)。

为了研究这类分数阶偏微分方程解的形态，引用下列引理。

引理1[3]设n≥3，如果函数f只依赖x n，那么

其中R＞0，ωn-1是在R n-1中单位球的表面积，σ(x)为∂B(0,R)上的表面积微元。

1 一类齐次分数阶偏微分方程的柯西问题

当f(x)=0时，此时方程为

设方程的解为u(x,t)，对方程(3)关于x进行傅里叶变换[5]，由分数阶拉普拉斯的定义以及傅里叶变换的性质，得

2 一类非齐次分数阶偏微分方程的柯西问题

3 结语

傅里叶变换将复杂的运算化为简单运算来研究，因此傅里叶变换广泛应用在数论、密码学、组合数学、物理学、天线和信息处理等学科和科学领域。本文在了解关于利用傅里叶变换来解偏微分方程的基础上，发现利用傅里叶变换求解的相关研究非常广泛。对于与本文有关的还有一些地方值得研究，例如利用缓增广义函数的定义简化方程解、n为偶数时方程解的情形等问题，但由于能力有限，所做的工作只探讨这类分数阶偏微分方程n为奇数的情形的解。