一类约化的 Rosenzweig-MacArthur 随机捕食者-食饵模型的平稳分布

2021-06-08 08:39杨亚飞

兰州文理学院学报(自然科学版) 2021年3期

杨亚飞

(西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州 730070)

0 引言

捕食者与食饵种群间的相互作用是生态系统的重要组成部分[1]. 自20世纪20年代Lotka和Volterra首次提出Lotka-Volterra模型以来，越来越多的学者通过构建各种模型来研究种群间的相互作用[2-3]，其中之一就是下面的Rosenzweig-MacArthur模型

另一方面，功能反应是影响捕食者-食饵模型的重要因素.2013年，Dawes和Souza推导出一个新的三维模型和不同类型的功能反应，包括Holling型功能反应等[4].根据他们的方法和文献[5]的理论，Lax等在文献[6]中提出了下面的模型：

(1)

其中:S代表休息的捕食者；H代表狩猎的捕食者.所有的参数均为正数.

对类似于模型(1)的这种常微分方程模型，它并不能捕捉环境的波动.因此，越来越多的学者将随机干扰项引入捕食者-食饵模型中[7,8].基于此，本文考虑如下随机模型：

(2)

其中：σi(i=1,2,3)表示噪声的强度；Bi(i=1,2,3)是相互独立的标准布朗运动，其定义在带有滤子{Ft}t≥0且满足通常条件的完备概率空间(ω,F，{Ft}t≥0,P)上.

1 预备知识

为便于证明本文的主要结论，令

定义[9]如果函数P(s，x，t+s，A)与s无关，则转移概率密度函数P(s，x，t，A)是时间齐次的(且相应的Markov过程称为是时间齐次的)，其中0≤s≤t，x∈Rd，A∈B，B表示Rd中Borel集的σ-代数.

令X(t)是Rd中标准的时间齐次的Markov过程，且满足

dX(t)=F(X(t))dt+G(X(t))dB(t)，

(3)

其中F(X(t))和G(X(t))分别是n维向量函数和n×m阶矩阵.

定义算子L和X(t)的扩散矩阵A(x)分别为：

引理1[9]假设X(t)满足(3)且函数V(x(t))∈C2，1(Rn×R，R)，则

dV=LV(X(t))dt+VxG(X(t))dB(t)，

其中，

引理2[9]假设存在有界开集U∈Rd且U带有正则边界Γ，若满足以下两个条件

(A1)：对任意的x∈U，扩散矩阵A(x)是正定的.

(A2)：在RdU上，存在非负的C2函数V，使得LV<0.

则Markov过程X(t)存在唯一的平稳分布，且分布具有遍历性.

2 主要结果

证明显然，系统(2)的参数满足局部Lipschitz条件，由文献[10]知，当t∈[0，τe]时(τe为爆破时间)，对任意给定的初值(B(0)，S(0)，H(0))，系统(2)存在唯一解.为使定理成立，只需证τe=∞.进一步由文献[11]，只需证τ∞=∞几乎必然成立.反设不真，则存在正常数T和ε<1，使得

P{τ∞≤T}>ε.

因此，存在整数n1≥n0，使得对任意的n≥n1，有

P{τ∞≤T}>ε，

其中n0由文献[11]给出.