高阶椭圆型算子组广义低阶谱的估计式

2021-06-07 10:15黄振明
关键词:移项分部特征向量

黄振明

(苏州市职业大学 数理部,江苏 苏州 215104)

椭圆型偏微分方程是偏微分方程的一种类型,简称椭圆型方程.这类方程主要用来描述物理平衡稳定状态,如定常状态的电磁场、引力场、反应扩散现象等,其离散谱在实践中有着广泛应用.国内外学者的主要研究成果之一,就是得到了有关谱估计的几何或解析不等式[1-6].最近,笔者在文献[7]中探讨了如式(1)的四阶椭圆型算子组的谱问题,并得到了其主次谱估计不等式.

其中 Ω⊂Rm(m≥ 2)是1个边界逐片光滑的有界区域.

受此启发,笔者自然联想到,对于问题(1)的一般情形,即如式(2)的高阶椭圆型算子组的广义谱问题,是否还具有类似的谱估计不等式呢?

其中,整数l,t,h满足l≥2,t>h≥1,i= 1,2,… ,l;ν是Ω边界∂Ω的单位外法向量;Δ=∇·∇为 Rm上的拉普拉斯算子;aij=aji是常数(i,j=1,2,… ,l);A=(aij)l×l是正定矩阵,且对任意l维列向量ξ= (ξ1,ξ2,… ,ξl)T,满足

在式(3)中,v1,v2均为正实数;bij=bji是Ω→R上的非负函数(i,j= 1,2,… ,l),且B=(bij)l×l是半正定矩阵.笔者依据微分算子谱的定性理论[8],层层推导后发现,所提问题(2)的答案是肯定的,即其确实具有类似文献[7]中的谱估计不等式.

1 预备知识

为推导方便,记l维函数列向量u= (y1,y2,… ,yl)T,l阶算子矩阵Rp(f) =fpEl×l.其中,El×l为l阶单位矩阵;p为自然数;f为任一算子.那么,问题(1)可写成矩阵形式

由于低阶谱在实际问题中表示了物体的主要特性,因此,本文仅讨论问题(4)的前2个谱,即主谱1λ和次谱2λ间的关系,记主特征向量为u,且满足规范化条件

利用问题(4)、式(5)、分部积分、式(3)和矩阵B的半正定性,有

另一方面,利用分部积分和kφ的定义,有

根据式(8)和式(9),可得

再结合式(7),可得

2 引理

引理1 设u是问题(4)中对应主谱1λ的主特征向量函数,则

证明:首先,用数学归纳法证明不等式

当i=h+1时,利用分部积分、Schwarz不等式和式(5),有

此时,式(12)成立.

化简得

即i=k+1时,式(12)也成立.

最后,反复运用不等式(12)和式(6),可得

引理1得证.

引理2 问题(4)的主谱1λ与其对应的特征向量u满足下列估计式:

证明:(a) 利用式(5)、分部积分、Schwarz不等式和引理1,有

化简即得引理2(a).

(b) 类似地,利用分部积分、Δ的定义和引理1,有

引理2(b)得证.

引理3 对于L和M,分别有如下的上界估计:

证明:(a) 利用kφ的定义和分部积分,有

移项求和,得

再由L的定义和引理2(a),可得

(b) 类似地,有

移项并利用分部积分,有

再利用式(3)、引理1和引理2(b),有

由式(13)~式(14)可知,引理3成立.

引理4 本文设定的测试函数组φk满足估计式

证明:利用函数组kφ的定义和分部积分,有移项可得

对公式(15)求和,并利用式(5)、Δ的定义和分部积分,有

对公式(16)运用Schwarz不等式,有

根据引理2(b),式(17)左端第2项可表示为

将式(18)代入式(17),整理,引理4得证.

3 主要结果

定理 问题(4)的主次谱(1λ和 2λ)间隙满足估计式

证明:由式(11)得

将引理3~引理4的估计结论代入式(20),化简整理即得定理中的式(19).

推论 问题(4)的主次谱之比存在估计下界

4 结语

在低阶椭圆型算子组的谱问题研究基础上,推广讨论了高阶椭圆型算子组的谱问题,根据算子谱理论,结合测试函数法,获得了前2个谱间的定量关系,所得结果拓展了参考文献[7]中的结论.

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