说零点问题

王晓红

题目：已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（）

A.（2，+∞）   B.（1，+∞）   C.（-∞，-2）   D.（-∞，-1）

高考背景：

此题是2014年新课标I理科11题，是一道关于零点求参数范围问题.在近几年的高考中，零点问题频频出现，不仅出现于客观题中，考查考生对零点基础知识的理解与基本技能的掌握，而且渗透于主观题中，多与导数有机融合，考查考生的思辨能力、转化能力.该类型题的特征是：设问多样、隐显分明、注重基础、适度交汇，其解法要因题择法，既要重视定义、定理、构造等代数方法，又要强调数与形的转化思想.事实上，教材概述零点问题，就给零点赋以“形”与“数”的双刃面，这不仅拓展了知识理解的深度，而且提升了问题解答的宽度.

知识准备：

1.函数零点的定义.

一般地，如果函数y=f（x）在实数a处的值等于零，即f（a）=0，则a叫作这个函数的零点.

2.几个等价关系.

方程f（x）=0有实数根？函数y=f（x）的图象与x轴有交点？圳函数y=f（x）有零点.

解题方法：

题目：已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（）

A.（2，+∞）    B.（1，+∞）   C.（-∞，-2）   D.（-∞，-1）

解法一：一个函数讨论画图象.

函数y=f（x）的零点，即y=f（x）函数的图象与x轴交点的横坐标.因此，求函数的零点问题可转化为函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标.

f '（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）.

①a=0时，f（x）=-3x2+1，易知舍去.

②a>0时，f（x）=0则x1=0，x2 =

由图象可知函数f（x）存在负数零点，此时不满足题意.

③a<0时，

由图可知函数f（x）的极大值为f（0）=1>0，所以只需f（x）的极小值f（）>0，所以a<-2.

综上所述，a的取值范围是（-∞，-2）.

解法二：转化为方程的根，然后参量变量分离.

函数f（x）的零点，即函数y=f（x）的图象与轴交点的横坐标.因此，求函数的零点问题可转化为方程f（x）=0的根.

转化为ax3-3x2+1=0有唯一根，且此根为负.a=，设y=（奇函数），y'=

x → 0时，y → -∞.

x → +∞时，y → 0.

由图可知，a<-2.

解法三：转化为方程的根，然后化为两个函数图象交点个数问题.

函数y=f（x）的零点，即函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标.因此，求函数的零点问题可转化为y=f（x）函数的图象与轴x交点的横坐标，或将方程f（x）=0整理成f1（x）=f2（x）的形式，然后在同一直角坐标系下，画出函数y=f1（x），y=f2（x）的图象，交点的横坐标即为函数f（x）的零点，交点的个数即为函数f（x）的零點个数.

ax3-3x2+1=0，x2（ax-3）+1=0，ax-3=-.

y=ax-3与y=-相切时，斜率为±2，由题意可知a<-2.

归纳说明：化为两个函数时，选择曲线对曲线不易控制，选择直线对曲线相对容易.

比对三种方法，分析哪个方法更适合本题.

变式训练：

变式（1）已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是           .

变式（2）已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）有三个零点，则a的取值范围是            .

变式（3）已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）在区间[0，2]上有两个零点，则a的取值范围是           .

首先用上述的第一种方法解决三个变式

变式（1）

①a=0时可以，

②a>0且f（）=0，

③a<0且f（）=0，

∴a为2或-2或0.

变式（2）

①a>0且f（）<0，

②a<0且f（）>0，

∴-2

变式（3）

a>0，f（0）≥0，f（2）≥0，f（）<0，

∴

用上述另外两种方法解决三个变式，分析哪方法更恰当.

变式（4）已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若x>0，f（x）>0恒成立，则a的取值范围是                     .

首先用上面的第一种方法解决，

①a=0舍去，

②a>0且f（）>0，

③a<0舍去，

∴a>2.

用另外两种方法解决，分析哪个方法更恰当.

变式（5）（高考题）当x∈[-2，1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（   ）

A.[-2，-3]     B.[-6，]      C.[-6，-2]     D.[-4，-3]

当x=0时，a∈R，成立.

当0

在00，故y在[0，1]上递增.

∴ymax=-6，∴a≥-6.

当-2≤x<0时，a≤，同理可知，

∴a≤-2.

综上所述，-6≤a≤-2.

对于本题，若是从“求函数f（x）=ax3-x2+4x+3（-2≤x≤1）的最小值”角度求解将很麻烦，例题本身求导之后可以因式分解，用最值法容易解决，所以解题需要合理的方法.

变式（6）（高考题）当a<时， 关于x的不等式（ex-a）x-ex+2a<0的解集中有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是                                    .

转化为（x-1）ex

-3a>-2e-1-3e-2≥-4a，∴≤a<

归纳说明：将问题转化为两个函数更为恰当，隐直线的挖掘，进而化为直对曲..

归纳总结：

解决函数零点问题主要依赖数形结合，可以直接用一个函数讨论画图象，也可以参变量分离，又可以化为两曲线（两函数）讨论画图象，无论选择哪种办法都依赖于图象，正所谓“数形结合百般好，隔离分家万事休”.我們可以从体会更深刻的数学转化思想.