谈谈课本“例题和习题”

胡明辉

一、传统重点内容题目的处理

高中数学课程面向全体学生，实现：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。不可否认，许多学生年龄已初中毕业，但知识远远没毕业，TA们到了高中，由于教学内容要求提高了，抽象性增强了。无论学科知识，学习方法，还是学生心理都需要做好过渡。因此，老师要多关注学生，从学科知识方面来讲，要做好基础性，分散难点，扫清障碍，提高学习兴趣，初高中的衔接是必须要做好的事情。

比如，在必修（第一、二册）中有下列一元二次方程：

这些题目分散在不同的地方，用某一种方法处理（配方也好、十字相乘法也罢），肯定是不行的。备课时，我们必须把它们集中，做到心中有数、未雨绸缪，才能有的放矢，不同的题目用不同方法处理，才能更服众。我们不妨将它们分分类：

第一类：用配方法比较好;第二类：用十字相乘法很不错;第三类：用公式法会更好。其实，三类都用求根公式也不错呀！这样一来，叫学生记回求根公式，TA们就不会那么反感了。老师再及时建议：先求Δ=b2-4ac，再用公式x=                   .

在一元二次方程求根这里不阻滞，以后用数形结合的办法处理一元二次函数、一元二次不等式就水到渠成了。

二、课本的开放性题目

在例题、习题出现开放性试题，是新教材的大亮点，体现了数学的学科价值，让人耳目一新。

比如：第一册第63页例1：

试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x（10-x）来描述。

解：把y=x（10-x）看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B={y|y≤25}.

对于关系f把R中任意一个数x，对于到B中唯一确定的数x（10-x）.

如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0

长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x（10-x）.

其中，x的取值范围是A={x|0

太好了，它讲清楚了：①二次函数可以表示面积，②定义域A，③值域B，④对应关系f.

我不禁思考，可否：从某班选出10人参加某项活动，其中男生人，要求选派男生女生各一名，派出方法数y.则y=x（10-x）.其中，x的取值范围是A={x|0

三、习题，必须“亲自做”（解法的优劣，解法的适应性和针对性）

1.“权威解答”未必是对的

比如，必修第一册第58页第5题：若a、b>0，且ab=a+b+3.求ab的取值范围。

《教师教学用书》给出的答案是：ab≤1或ab≥9。很明显有问题：ab可以为负数吗？

解：由ab≥2  ab +3，解得ab≥9.所以ab的取值是{x|x≥9}.

2.有体验才有体会：“权威”解答未必是最好的——好方法是琢磨出来的。

例4.人教版必修（新教材），第一册，第255页，第23题：

如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、DA上的点，当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小。

解法一（“破角”）：

设∠DCQ=α，

∠PCB=β，则

CQ=           ，

CP=           ，

AQ=1-tanα，

AP=1-tanβ

所以PQ=tanα+tanβ

由（1-tanα）2+（1-tanβ）2=（tanα+tanβ）2，

得tanα+tanβ=1-tanαtanβ.

所以（tanα+β）=1，

从而α+β=     .所以∠PCQ=      ，

解法二（让△CPQ边长尽可能简单）：设DQ=x，PB=y，则CQ= 1+x2 ，CP= 1+y2 ，AQ=1-x，AP=1-y，PQ=x+y.

由（1-x）2+（1-y）2=（x+y）2，

得：x+y=1-xy.→x2+y2=1-4xy+x2y2.

cos∠PCQ=

=                         =

所以∠PCQ=     .

《教师教学用书》解答：

设AP=x、AQ=y，∠BCP=α，∠DCQ=β，

则tanα=1-x，tanβ=1-y.

于是tan（α+β）=                    .

又△APQ的周長为2，即x+y+  x2+y2   =2.