许少华
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合A={x│x2-6x+8<0},集合B={x∈N│y= },则A∩B=( )
A. {3}B. {1, 3}C. {1, 2}D. {1, 2, 3}
2. 若z=1- i,则复数 -z-1在复平面上对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 对于实数a, b,a>b是a3>b2b的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要条件
4. 如图1,是函数f(x)=Asin(?棕x+?准)(A>0,?棕>0,0<?准<?仔)的一个周期的图像则f(x)的解析式为( )
A. 2sin( + )
B. 2sin( + )
C. 2sin( - )
D. 2sin( - )
5. 如图2,E, F在边长分别为2和1的矩形边DC与BC,若 · =6,则 · =( )
A. 3 B. 2
C. 1 D.
6. 已知两条直线a,b与两个不同的平面α、β,b⊥α下列命题:
①若a∥α,则a⊥b. ②若a⊥b,则a∥α. ③若b⊥β,则α∥β. ④若α⊥β,则b∥β.
其中正确的是( )
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③
7. 设随机变量X的分布列如下表:
若EX=0.75,则b-a的值为( )
A. B. C. D.
8. 一个样本容量为10的样本数据,它们组成一个公差不为0的等差数列{an},若a3=8,且a1,a3,a7成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是( )
A. 13, 12B. 13, 13C. 12, 13D. 13, 14
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9. 设函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c)的图像经过点A(m1, f(m1))和点B(m2, f(m2)),f(1)=0. 若a2+[f(m1)+f(m2)]a+f(m1)·f(m2)=0,则( )
A. b≥0B. a>0
C. 3a+c>0 D. 3a-c>0
10. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图3所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F、A、B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c,则( )
A. a-c=m+R B. a+c=n+R
C. 2a=m+n D. b=
11. P为正方体ABCD-A1B1C1D1对角线BD1上的一点,且BP= BD1( ∈(0,1)). 下面结论正确的是( )
A. A1D⊥C1P.B. 若BD1⊥平面PAC,则 = .
C. 若△PAC为钝角三角形,则 ∈(0, ).
D. 若 ∈( ,1),则△PAC为锐角三角形.
12. 已知函数f(x)=x2-2xcosx,则下列关于f(x)的表述错误的是( )
A. f(x)的图像关于y轴对称 B. f(x)的最小值为-1
C. f(x)有4个零点 D. f(x)有无数个极值点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 函数f(x)=2021asinx+2022bx3+1,记f ′(x)为f(x)的导数,则f(2021)+f ′(2021)+f(-2022)+f ′(-2022)的值为________.
14. 已知点P(x, y)在不等式组x-2≤0,y-1≤0,x+2y-2≥0表示的平面区域上运动,则z=x2+y2 的取值范围是________.
15. 设△ABC的内角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,且a tan B= ,b sin A=4. 若△ABC的面积S=10,则cos4C的值为___________.
16. 已知点A是抛物线y2=2px上一点,F为其焦点,若以F为圆心,以FA为半径的圆交准线于B,C且△FBC为正三角形,当△ABC的面积为 时,抛物线的方程为________.
四、解答题:本题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)已知向量m=(sinx, - ),n=(1, cosx),且函数f(x)=mn.
(1)若x∈(0, ),且f(x)= ,求sinx的值.
(2)在锐角△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a=4,△ABC的面积为4 ,且f(A+ )= csinB,求△ABC的周长.
18.(本小题满分12分)设公差不为零的等差数列{an}的前5项的和为55,且a2, ,a4-9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列bn= ,且数列{bn}的前n和为Sn,证明:Sn> .
19.(本小题满分12分)如图4在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D、E分别为线段AB、AC的中点,AB=4,BC=2 . 以DE为折痕,将Rt△ADE折起到图5的位置,使平面A′DE⊥平面DBCE,连接A′C,A′B,设F是线段A′C上的动点,满足 = ,
(Ⅰ)证明:平面FBE⊥A′DC;
(Ⅱ)若二面角F-BE-C的大小为45°,求 的值.
20.(本小题满分12分)某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有1, 2, 3三个问题,每位参赛者按问题1, 2, 3的顺序做答,竞赛规则如下:
①每位参赛者计分器的初始分均为10分,答对问题1, 2, 3分别加1分,2分,3分,答错任一题减2分.
②每回答一題,积分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局. 当累计分数大于或等于12分时,答题结束,进入下一轮.当答完三题,累计分数仍不足12分时,答题结束,淘汰出局.
已知甲同学回答1, 2, 3三个问题正确的概率依次为 , , ,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)求甲同学能进入下一轮的概率.
(2)用X表示甲同学本轮答题结束时的累计分数,求X的分布列和数学期望.
21.(本小题满分12分)已知椭圆C∶ + =1(a>b>c)的左、右焦点分别为F1, F2,P为椭圆上任意一点,△PF1F2面积的最大值为3 ,且|PF1|·|PF2|的最大值为12.
(1)椭圆C的左顶点为A1,过椭圆右焦作直线交椭圆于A, B,试求三角形A1 AB面积的最大值,并求面积最大时直线AB的方程.
(2)椭圆C 的左、右焦点分别为F1, F2,在椭圆C上是否存在点H,使 , , 成等差数列?若存在,求出HF1与HF2值. 若不存在,说明理由.
22.(本小题满分12分)已知函数 f(x)= (a≠0),g(x)= +2ln(x+2),
(1)若 f(x)在区间(-2,+∞)上的最大值为e,求a的值.
(2)若a>1,是否存在x1,x2∈[- ,-a],使 f(x1)>g(x2).
(3)若P是曲线g(x)上任意一点,求P到直线8x+y+15=0的最小距离,并求此时的点的坐标.
参考答案
一、选择题
1. D. 由x2-6x+8<0,得2 又B={x∈N│y= }={x∈N│x≤3}={0,1,2,3}. 那么A∩B={3}. 2. D. 由z=1- i,得 -z-1= - = - = - . 3. C. 若b>0,则a>b?圳a3>b2b. 若b=0,则a>b?圳a3>b2b. 若b<0,则a>b?圳a3>b2b. 故a>b是a3>b2b的充要条件.
4. A. 由图像可知A=2,T=7-(-1)=8,
又由 =8,得?棕= ,得f(x)=2 sin( +?准)
结合f(-1)=0,即2 sin(- +?准)=0,得?准=
那么f(x)=2 sin( + ).
5. C. 以A为原点,AB为x轴,AD为y建立直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1),设E(x,1),F(2,y),则 =(x,1), =(2,y),由 · =6得2x+y=6, =(x-2,1), =(2,y-1),则 · =2(x-2)+y-1=2x+y-5=1.
6. A. 根据线面垂直的性质可知①正确. ②中,当a⊥b时,也有可能为a?奂α,所以②错误. ③垂直于同一直线的两个平面平行,所以正确. ④中的结论也有可能为b?奂β,所以错误,所以命题正确的有①③,选A.
7. B. 由 +a+ =1,a+5× = ?圯a= ,b= ?圯b-a= .
8. B. 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),a3=8,a1a7=a23=64,即(8-2d)(8+4d)=64也就是(4-d)(2+d)=8?圯2d-d2=0又d≠0故d=2.
故样本数据为:4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,平均数为 = =13,中位数为 =13,故选B.
二、多选题
9. ABCD. 由f(1)=0可得a+b+c=0,若a≤0,由a>b>c,得a+b+c<0,这与a+b+c=0矛盾,故a>0.
又3a+c>2a+b+c=a>0.
若c≥0,由a>b>c,得a+b+c>0,这与a+b+c=0矛盾,所以c<0成立.
因为a2+[f(m1)+f(m1)]a+f(m1)·f(m1)=0,所以(a+f(m1))(a+f(m2))=0,所以m1,m2是方程f(x)+a=0的两个根,所以△=b2-4a(a+c)=b(3a-c)≥0,而a>0,c<0,所以3a-c>0,所以b≥0.
10. ABD. 因为地球的中心是椭圆的一个焦点,
并且根据图像可得m=a-c-R,n=a+c-R(*)∴a-c=m+R,故A正确. a+c=n+R,故B正确.
(*)两式相加m+n=2a-2R,可得2a=m+n+2R,故C不正确.
由(*)可得m+R=a-cn+R=a+c,两式相乘可得(m+R)(n+R)=a2-c2,
a2-c2=b2,∴b2=(m+R)(n+R)?圯b= ,故D正确.
11. ABD. 可推得A1D⊥平面ABC1D1,所以A1D⊥C1P,所以A正确.
因为过A的平面AB1C与BD1垂直,平面AB1C与BD1的交点P恰好三等分BD1,所以B正确.
当 = 时,P为球心,设球半径为a,则AP=PC= a,AC= a.
由cos∠APC= =- <0,∴∠APC是钝角,所以C错误.
要使△PAC为锐角三角形,只需判断∠APC是锐角. 考虑∠APC是直角的情形:当∠APC是直角时,求得AP=a,∵ cos∠ADP= ,在⊿ADP中,用余弦定理求得D1P= a或 .
所以BP> 时,△PAC为锐角三角形,所以 ∈( ,1),D正确.
12. ABC. 对于A,因f(-?仔)≠f(?仔),故A错误;对于B,假设存在x0∈R,使得f(x)的最小值为-1,则方程x2+1=2x cos x有解,即x+ =2 cos x有解,当x>0时,x+ ≥2,当且仅当x=1时取“=”,当x=1时,2cos 2<2,故方程无解,故B错误;对于C,问题等价于方程x=2 cos x有3个解,作出函数y=x,y=2 cos x的图像,可知方程只有1个解,故C错误;对于D,f ′(x)=2x-2(cos x-x sin x)=2x(1+sin x)-2 cos x,由f ′(x)=0,得x= = = = ,由函数y= -1与y=tan 的图像有无数交点,知f(x)有无数个极值点.
三、填空題
13. 2. 由f(x)=2021asinx+2022bx3+x?圯f ′(x)=2021acosx+3×2022bx2可以看出f ′(x)为偶函数,于是f(-2022)+f ′(-2022)=0.
而f(x)-1=2021asinx+2022bx3为奇函数,
于是f(2021)-1+f ′(-2021)-1=0?圯f(2021)+f ′(2021)=2.
故f(2021)+f ′(2021)+f(-2022)+f ′(-2022)=2.
14. [ , 5]. 如图6,阴影部分为可行域,由于z=x2+y2表示区域内的点到原点距离的平方
于是可以看出其最大值由A点原点的距离产生,最小值由原点到直线x+2y-2=0的距离产生,因为A的坐标为(1, 2)
故( )2≤x2+y2≤12+22?圯 ≤x2+y2≤5.
15. - . 由bsinA=4得asinB=4,由atanB= 与asinB=4两式相除,有cosB= >0.
又通过atanB= 知:tanB>0,则cosB= ,sinB= ,tanB= .
则a=5. 由S= acsinB,得到c=5. ∴A=C.
由cos4C=2cos22C-1=2cos2(A+C)-1=2cos2B-1=2×( )2-1= - .
16. y2=8x. 由题意,如图7可得 =cos30°及DF=2p?圯BF= ,从而AF= ,由抛物线的定义知点A到准线的距离也为 ,因为?驻ABC的面积为 ,即
× × = ?圯p=4,故抛物线的方程为y2=8x.
四、解答题
17.(1)f(x)=mn=(sinx,- )·(1,cosx)=sinx- cosx=2sin(x- )
∵ f(x)= ,∴sin(x- )= .
又x∈(0, ),∴x- ∈(- , ),cos(x- )= .
所以sinx=sin[(x- )+ ]= · + · = .
(2)因为f(A+ )= csinB,所以2sinA= csinB,即4sinA=csinB.
由正弦定理可知4a=bc,又a=4所以bc=16.
由已知?驻ABC的面积 bcsinA=4 ,可得sinA= ,又A∈(0, ).
∴ A= .
由余弦定理得b2+c2-2bccosA=1,故b2+c2=32,从而(b+c)2=64.
所以?驻ABC的周长为12.
18.(1)设等差数列的的首项为a1,公差为d,
则5a1+ d=55,( )2=(a1+d)(a1+3d-9)?圯a1=7,d=2或a1=11,d=0.(舍去)
故数列 {an} 的通项公式为an=7+2(n-1)即an=2n+5.
(2)由(1) an=2n+5,得bn= = = ( - ),
那么Sn=b1+b2+…+bn= [(1- )+( - )+( - )+…+( - )]= (1+ - - )= - ( + )> .
19.(Ⅰ)∵平面A′DE⊥平面DBCE,A′D⊥DE,
∴ A′D⊥平面DBCE,∴ A′D⊥BE.
∵ D,E分别为中点,
∴ DE= BC= ,BD= AB=2.
在直角三角形DEB中,∵ tan∠BED= = ,tan∠CDE = = ,
1-tan∠BED·tan∠CDE=0,
∴∠BED+∠CDE=90°得BE⊥DC.
∴ BE⊥平面A′DC,又BE?奐平面FEB,
∴平面FEB⊥平面A′DC.
(Ⅱ)作FG⊥DC,垂足为G,则FG⊥平面DBCF,
设BE交DC于O点,连OF,
由(Ⅰ)知,∠FOG为二面角F-BE-C的平面角
由FG∥A′D, = = ,∴ FG= A′D=2 .
同理,得CG= CD,DG=(1- )CD=2 (1- ).
∵DO= = ,∴OG=DG-DO=2 (1- )- .
在Rt?驻OGF中,由tan∠FOG= = =1,
得, =1- .
方法2:以D为坐标原点DB,DE,DA′分别为OX,OY,OZ轴建立空间直角坐标系,各点坐标分别为D(0, 0, 0), A′(0, 0, 2), B(2, 0, 0), C(2, 2 , 0),E(0, , 0).
(Ⅰ) =(-2, ,0), =(2,2 ,0), =(0, 0, 2)
∵ · =-4+4=0,∴BE⊥DC,∵ · =0,∴BE⊥DA′.
又DC∩DA′=D,∴BE⊥平面A′DC,又BE?奂平面FBE,
所以平面FBE⊥平面A′DC.
(Ⅱ)设 = ∴ = (-2,2 ,2) ∴F(2-2 ,2 -2 , 2 ).
設平面BEF的法向量为 =(x, y, z),
∵ =(-2, , 0), =(-2 , 2 -2 , 2 ),
-2x+ y=0,-2 ·x+(2 -2 )·y+2 ·z=0,取 =( , ,3 -2).
又∵平面BEC的法向量为 =(0,0,1),
∴ cos45°= = 得3 2-6 +2=0.
解得 =1± ,又∵ 0< <1,∴ =1- .
20.(1)设事件A表示“甲同学问题1回答正确”,事件B表示“甲同学问题2回答正确”,事件C表示“甲同学问题3回答正确”,则P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,
记“甲同学能进入下一轮”为事件D,则D,
P(D)=P(A C+AB+ BC)=P(A C)+P(AB)+P( BC),
P(A)P( )P(C)+P(A)P(B)+P( )P(B)P(C)= × × + × + × × = .
(2)X可能的取值是6, 7, 8, 12, 13.
P(X=6)=P( )= × = ,P(X=7)=P(A )= × × = ;
P(X=8)=P( B )= × × = ,P(X=12)=P(A C)= × × = ;
P(X=13)=P(AB+ BC)= × + × × = .
∴ X的分布列为:
X的数学期望EX=6× +7× +8× +12× +13× = .
E(X)=6× +7× +8× +12× +13× = .
21. 由|PF1|·|PF2|≤( )2=a2,由题意得a2=12.
又 ·2c·b=3 ?圯b2(a2-b2)=27?圯b2(12-b2)=27?圯b2=3,
故椭圆C的方程为 + =1.
(1)设椭圆左、右焦点分别为F1,F2由(1)知椭圆的右焦点坐标为F2(3,0)
①若直线AB垂直于x轴时,直线AB的方程为x=3,由x=3, + =1?圯x=3,y=± .
此时,三角形A1AB面积为:
S = ·A1F2· = ×(2 +3)× = .
②若直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k,A(x1, y1), B(x2, y2), 直线AB的方程为y=k(x-3).
由y=k(x-3), + =1?圯(1+4k2)y2+6ky-3k2=0.
则|y1-y2|= =
= ,当 = - ?圯k=± 时 |y1-y2| 最大,其值为2.
由于S = ·A1F2·|y1-y2|≤ ×(2 +3)×2=2 +3> .
故三角形A1AB面积的最大值为2 +3,
此时,直线AB的方程为y=± (x-3).
(2)假设存在点T满足题设,由 + =1可知,|HF1|+ |HF2|=4 ,|F1F2|=6结合 = + ,得|HF1|·|HF2| =12.
由|HF1|+|HF2|=4 ,|HF1|·|HF2|=12?圯|HF1|2-4 |HF1|+12=0?圯|HF1|= 2 ,此时点H为椭圆的上(或下)顶点.
故点H存在,且|HF1|=|HF2|=2 .
22.(1)由f(x)= ?圯f ′(x)=
若a<0,则当x∈(-2,-1)时,f ′(x)>0此时函数递增. 当(-1,+∞)时,f ′(x)<0此时函数递减. 于是,当x=-1时,函数有最大值f(-1),由题意得f(-1)=-e,即ae=-e,从而得a=-1.
若a>0,则当x∈(-2,-1)时,f ′(x)<0此时函数递减. 当(-1, +∞)时,f ′(x)>0此时函数递增. 于是,函数f(x)在区间(-2, +∞)上有最小值无最大值,与题意不符.
故f(x)在区间(-2, +∞)上的最大值为-e,则a的值为-1
(2)当a>1时,由(1)可知,当x∈(-2,-1)时,f(x)递减. 因此,x∈[- ,-a]时,f(x)递减,由此可得x∈[- , -a]时,f(x)的值域为x∈[ , ].
由g(x)= +2ln(x+2)?圯g′(x)=- + = .
显然,当x∈(-2,- )时,g′(x)<0,函数g(x)递减. 当x∈(- ,2)时,g′(x)>0,函数g(x)递增. 因此,x∈[- ,-a]时,g(x)遞增,由此可得x∈[- , -a]时,g(x)的值域为x∈[2-2ln2, +2ln(2-a)].
若存在x1,x2∈[- , -a],使f(x1)>g(x2),
则只需 >2-2ln2即a> .
由于a>1,故必存在x1, x2∈[- , -a],使f(x1)>g(x2).
(3)设与直线8x+y+20=0平行且与g(x)相切的切点坐标为(x0,y0).
由于g′(x)=- + ,则k=- + =-8?圯x0=- 或x0=- (舍去)得切点坐标为(- ,4(1-ln2)).
此时,切线方程为y-4(1-ln2)=-8(x+ )即y=-8x+4(1-ln2)-14.
令r(x)=g(x)-y= +2ln(x+2)-[-8x+4(1-ln2)-14],
则r′(x)=- + +8= = ,由于函数r(x)的定义域为(-2,+∞),于是当x∈(-2, - )时,r′(x)<0,函数r(x)递减. 当x∈(- , +∞)时,r′(x)>0,函数r(x)递增. 那么,当x=- ,r(x)有极小值,其实也是最小值,其值为r(- )=0,故g(x)的图像恒在直线y=-8x+4(1-ln2)-14的上方.
那么点(- , 4(1-ln2))到直线8x+y+15=0的距离即为P到直线8x+y+15=0的最小距离,于是得 = .
责任编辑 徐国坚