思维可视化助力数学建模*——以“间隔排列”的教学为例

□ 陈 云

数学问题的解决常常是有“模”的，在小学数学课堂中建立的这个“模”，是宽泛意义上的模式，是学生在对一类现实问题观察和分析的基础上，利用直观的数学语言或工具，对问题进行恰当的抽象、提炼，并最终成为解决一类问题的模型。在建模的过程中，教师引导学生运用图示、表格、公式等数学语言，把思考方法、思考过程、思考结果表达出来，这个过程就是“思维可视化”。“可视化”方式让学生数学学习的心理过程清晰可见，助力学生对问题的分析、认识和解决，助力学生感知力、思维力、想象力的提升，更助力数学建模的完成。

数学模型并非现实问题的直接翻版，小学课堂中的数学建模常常要经历模型准备、模型假设、模型建立和模型分析的过程，也就是结合生活实际进行抽象—运用数学语言、数学方式描述—初步建立数学模型—应用于需要解决的问题。下面以苏教版三年级上册“间隔排列”的教学过程为例，来分析思维可视化在建模过程中的重要作用。

一、模型准备

在建模的准备过程中学生需要了解问题的实际背景，掌握对象的各种信息，特别是提炼出问题的精髓，进而用数学语言来描述问题。在“间隔排列”的教学过程中，当呈现教材主题情境图之后，教师首先引导学生用生活语言表述：小兔和小兔之间有一个蘑菇、木桩和篱笆一个接一个……接着进一步要求学生用数学语言描述问题，提示学生关注“数”的信息和“量”的特质，并选择合适的方式呈现出来。然后教师与学生一起，用表格的方式将信息进行整理。

小兔（）只蘑菇（）个木桩（）根篱笆（）块夹子（）个手帕（）块

使用表格便于信息的集中、观察和比较，是一种有数学特色的可视化“语言”，学生一看就知道接下来应该是会进行数量上的观察与比较。确实，建模的准备过程需要对大量的观测数据进行统计分析，以寻求规律，这就需要启发学生选择合适的“可视化”方式，把复杂的现实问题抽象成数学的信息，凸出“量”的特质，再辅以关键词，让学生对问题的把握一目了然。当然，问题的特点决定着采用什么样的“可视化”方式，静态的表格、图示，动态的场景重现、电化手段等，都不失为好方法。

二、模型假设

有了充分的准备，教师要根据实际问题的特征和建模的目的，引导学生对问题进行必要的简化，并用个性化的数学语言提出一些恰当的假设。“间隔排列”的教学中，学生观察了两种物体的数量，内心对两种物体的数量关系有了朦胧的认识，此时教师便可以启发学生提出模型的初步假设：能把你的发现写出来或者画出来吗？在问题驱动下，学生有了多种表达方式，有用文字表述的：一个物体的数量＝另一个物体的数量+1；有用字母抽象的：a=b+1；有用图形代替的多元的表达方式，是学生对问题个性化的理解。

“可视”的数量关系式使问题的主要方面凸显了出来，一方面表明学生已经在尝试用抽象的方式进行建模，另一方面也暴露出学生对“间隔排列”方式认识的单一性。在分析完问题后，学生会带着自己的认识，对存在的问题进行假设，尝试运用抽象法，把复杂的研究对象转化为数学的模式，经合理简化后，建立起数学关系式（或方程式），以揭示研究对象定量的规律性。这既是数学建模中很关键的一步，也是比较困难的一步，运用“可视化”的方式更利于呈现学生的学习心理，找到学生在问题认识上的得与失。

三、模型建立

在假设的基础上，学生进一步利用适当的数学工具来刻画各变量、常量之间的数学关系，建立相应的数学结构。例如，学生对“间隔排列”的模型有了初步假设之后，需要进一步对自己公式中的各个符号进行解释：这里的a和表示什么，b和又表示什么？如何便于相互间的沟通？为什么会出现一个物体比另一个物体多1 的现象？生活中的“间隔排列”现象都符合这个规律吗？随着生活中大量间隔排列现象的引入、比较、抽象，学生尝试更完整地把研究过程和研究结果呈现出来（如图1）。

图1

图2

至此，模型得以建立：

首尾相同：两端物体数量＝另一种物体数量+1；

首尾不同：物体a的数量＝物体b的数量。

从这里可以看到，图形、公式都是重要且简单的数学工具，运用这些“可视化”工具，能让学生的思维从抽象到具象再到抽象的过程有所依托，学生充分发挥想象力，借抽象的工具对自己的思路进行详细阐释，当模型与现实还没有完全契合时，会有其他同学思路的补充和完善，以充分考虑各种可能性，最终完成模型的建立。

四、模型分析

对所建立模型的思路进行阐述之后，学生还需将模型与生活实际联系起来，对所得的模型进行数学上的分析和检验，这是模型的运用过程，也是其数学价值的体现。在“间隔排列”模型建立之后，教师给学生提供了这样的生活情境：“体育课上，男生女生是间隔排列的，已知男生有18人，这个班最多多少人？最少多少人？”男女生的“间隔排列”会出现哪些情况？很多学生能像图1 那样用图形或文字代替男生、女生，逐一排列。当然也会有同学用更简洁的分析方式进行阐述（如图3），这虽然只是跨出了一小步，却可以看出学生对现实问题抽象、提炼的建模能力得到了有效提升。

图3

对模型的分析要分为两部分进行考虑，模型有哪些优点，又有什么缺点？很显然，完成图3 这样的分析是对模型的直接运用，是模型优点的展示。事实上，“间隔排列”可能出现的状况还有很多，譬如这里的学生围成一个圆会是多少人呢？如果不是排成一列，而是排成两列或三列呢？等等。当然对于模型的这些缺点该怎么改进，并不需要三年级学生立即去解决，但随着学生今后学习的深入，再遇到“间隔排列”问题时，就可以利用自己丰富的联想和想象对原有的模型进行改进和完善，以期更好地去解决实际问题，这正是模型评价的基本目的和方向。

学生用“可视化”的方式对抽象的数学问题进行相关信息的加工、重组、抽象和提炼，这种将思维过程形象化、具体化的呈现方式，可以助推学生把知识资源转化为知识资本，这是解决问题的重要基础，也是数学建模的必要途径。