数形结合在小学数学课堂的三种有效应用

张仰发

【摘要】本文以《加法运算定律》一课为例，论述数形结合思想在小学数学课堂的应用，具体提出以形释数、以数化形及数形互变三种应用方式，目的是提高学生分析问题及解决问题的能力。

【关键词】小学数学 数形结合 《加法运算定律》

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）45-0081-02

“数”与“形”是数学学科中最基本的两个研究对象，在一定条件下二者可以互相转化。数形结合思想就是利用“数”“形”互变的特点，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，既分析其代数含义，又揭示其几何意义。数形结合思想的应用大致可分为“以形释数”“以数化形”“数形互变”等几种形式，其应用目的是使复杂抽象的问题趋于简单化和具体化。在小学数学教学中，学科的抽象特征和小学生的思维特点决定了数形结合教学策略的优势，其将代数和几何等不同领域相互关联，帮学生构筑起更加紧密的数学知识体系。以下，笔者以人教版数学四年级下册《加法运算定律》一课为例，尝试运用上述三种数形结合形式进行教学，帮助学生提高分析问题和解决问题的能力，优化学习效果。

一、以形释数，发现计算规律

学生在探究与数量有关的数学问题时，尤其面对某些较为抽象复杂的数量关系时，很难从中发现和把握计算规律。此时，教师可以利用数字之间的结构特征，将数量关系设计成直观、形象的几何图形，利用“形”化繁为简。这样，学生在观察图形时，更容易发现其中蕴含的计算规律，使问题迎刃而解。在教学《加法运算定律》一课时，笔者针对“理解加法交换律和结合律”这一教学重点，详细介绍加法交换律，先出示两条不同颜色的线段，然后提问：“如果第一条线段长度为12cm，第二条线段长度为19cm，现在把它们的位置互换，总长发生什么变化？”（见图1）学生审题时发现这两条线段只是互换位置，没有发生长度的变化，认为其总长没有发生变化。根据学生看法，笔者出示了互换位置的图示。（见图2）

以上两个图示直观地呈现了两条线段的位置与长度，算式为：12+19=19+12，结论则为：两条线段位置互换后，总长度不变。基于此，笔者再次提问：“经过刚才的试验，我们得到了一个猜想——两个数相加，交换加数的位置，和不变。我们要怎么验证这一猜想呢？”学生讨论了片刻，提出“可以再举出一些加法算式，把两个加数交换，看看前后两个结果有没有改变，只要不变，就证明这个猜想是正确的”，并相应列举了一些加法算式来证明，如2+5=5+2，18+25=25+18等。笔者追问：“我们能举完所有的算式吗？”学生齐答“不能”。于是笔者提出新的问题：“如果要用一个简单的式子来表示所有的情况，你会怎么做？”学生一时陷入沉默，笔者提示：“可以利用符号或字母来代替数字。”部分学生受到启发，马上列举出诸如“△+○=○+△”“a+b=b+a”等式子。至此，猜想的正确性获得证实，具有概括性和理论性的加法交换律表达形式也被概括出来。

在以上的教学过程中，教师先用简洁的图形解释加法交换律，让学生初步感受数形结合的数学思想;接着教师引导学生从图形中总结经验，提出猜想，并鼓励学生开展自主探究，证实猜想的正确性。学生通过自主探究概括表达形式，认识到在解决数字问题时，图形、符号与数字之间存在相通之处和内在联系，无形中经历了探寻“算理”和“算法”的过程，这是法则学习更进一步的延伸拓展。所谓“算理”，就是计算过程中的道理，是解决“为什么这样算”的理论，而“算法”则是计算的方法，解决“怎么算”的问题。算理是算法的理论依据，只有充分理解“算理”，才能根据需要正确使用、灵活选择“算法”。在上述内容中，用列举单一算式的方式来表现加法交换律，学生的思维认知囿于数字层面，认识的是计算方法，而图形、符号与数字相比具有更大的融合性和普适性，能够概括和揭示无数算式中所包含的“算理”，使其显性化、直观化，确保学生既“知其然”，又“知其所以然”，在理解算理的基础上牢固掌握计算方法，并养成利用符号、画图等方式解决问题的良好习惯。

二、以数化形，建构抽象模型

虽然利用图形这一形象化的表示方法，能够更好地解释数学概念、简化数学问题，但图形缺乏精确的定量，在实际应用中仍需要借助代数的计算，以确保能准确表现数学问题的特点，表达出题目隐藏的信息。因此，教师应当充分利用图形特点与已知条件之间的关系，以数化形，将“形”正确表现为“数”的形式，帮助学生理解概念、精确计算。在教学加法结合律时，笔者仍然采用数形结合的方式，先出示了三条长度不等的线段，要求学生将其以首尾相接的形式组合起来。学生采用了不同的组合顺序，发现无论是先将前两条线段组合起来，还是先将后两条线段组合起来，最终获得的线段均为相同形式的一条线段。但由于这三条线段没有量化，学生在拼接的过程中不能真切体会加法结合律“先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变”的含义。因此，笔者对线段进行了赋值，第一条线段长12cm，第二条线段长5cm，第三条线段长19cm，并提问：“先组合前两条线段，和先组合后两条线段，其总长会变吗？”学生根据提问分别列出算式：（12+5）+19=36cm，12+（5+19）=36cm，最后得出“无论组合怎么变化，组合后线段的总长度均不受影响”的结论。在此基础上，笔者对教学做了进一步延伸，将线段增加到四条、五条，并赋予不同的值，要求学生自由组合，然后观察计算结果。学生发现无论哪两个数先相加，最终的和都没有变化，与之前的情况并无不同。通过实践，学生深刻体会加法结合律的含义，并能自发利用符号或字母将计算方法概括表达为（△+○）+□=△+（○+□）或（a+b）+c=a+（b+c）等式子。

考虑到小学生的思维方式以形象思维为主，笔者仍以图形为切入点，利用图形直观的特点演示不同相加顺序这一条件，帮助学生理解加法结合律的运算形式。在随后的教学中，笔者给图形赋予明确的数字信息，将原本具体的图形内容抽象化，同时利用增减线段的方式将具有特殊性的具体图例一般化、普遍化，用以论证加法结合律的正确性。这一环节承接加法交换律的知识经验，以学生熟悉的图形为开端，利用具体数据对图形进行转化，引导学生从具体数据的讨论上升到对规律的发现和总结，最终形成具有高度抽象化和普适性的数学模型，充分诠释数形结合思想中以“数”化“形”的思想，这一过程增强了学生对知识的理解，拓宽了学生的学习视角，使其更牢固地掌握从具体内容中总结规律、构建数学模型的方法，形成严谨而具有逻辑性的数学思维。

三、数形互变，解决数学难题

小学生对直观图形感受能力较强，对抽象问题的理解则存在一定的难度，因此教师应当致力于顺应小学生的认知特点，将数形结合思想与学生的已有知识及生活经验紧密联系起来，让学生能循着认知基础与生活经验认识数学问题，解决数学难题。

当完成上述两个运算定律的学习后，笔者请学生举出一些生活中的实例，并选择适合的加法运算定律来解决问题。例如：小A同学计划买2双单价为127元的跑鞋，2本单价为19元的书，2把单价为33元的玩具枪，以及2条单价为11元的毛巾，他必须快速判断出手上的400元钱是否够用，请问应当如何解决？学生观察数字后，按顺序列出算式：127+127+19+19+33+33+11+11=127+33+127+33+19+11+19+11=380，这个计算过程，实际上是先利用加法交换律调整数字前后位置，再利用加法结合律进行“凑整法”简便计算。那么，为了使算式看起来更简洁明了，可以指导学生把一个加法结合数视为一个整体，即“127+33”为△，代表160元，“19+11”为○，代表30元，根据题意计算△+△+○+○，可迅速得出“380元”的结果。本例来自学生熟悉的现实生活，先从实物提取数字信息，再将其化为更易理解的数学图形，赋值后进行计算，迅速解决了问题。这一过程是对加法交换律和加法结合律的实际运用，不仅能帮助学生迅速便捷地解决问题，同时也使学生加深理解数学之于生活的意义。总的来说，掌握数形互变的方法，对发展学生的思维灵活性，以及提高学生分析问题、解决问题的能力，都有明显的促进作用。

综上所述，在小学数学教学中引入数形结合思想，能够将抽象的數量关系具体化、形象化，同时能够丰富表象、拓宽思路、引发联想、训练思维，帮助学生快速找到解题思路。因此，小学数学教师应当重视数形结合思想的应用，积极地通过以形辩数、以数化形、数形互变等方式，帮助学生提升分析问题及解决问题的能力，提高数学综合素养。

（责编 黄健清）