指对跨阶“同构法”求解不等式恒成立问题

摘 要：本文主要通过实际案例，研究了同构法在不等式恒成立中的应用.

关键词：同构法;导数;不等式;恒成立

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0074-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：杨瑞强（1979-），男，湖北省黄冈人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，可构造函数，利用函数的单调性进行处理，找这个函数模型的方法就是同构法.例如若F（x）≥0能等价变形为能等价变形为能等价变形为fg（x）≥fh（x），然后利用f（x）的单调性（如递增），再转化为g（x）≥h（x）.在遇到“指数函数和对数函数”同时出现的试题时，我们可考虑采用“同构”的方法变形转化，构造函数，从而达到化难为易，删繁就简的功效.

一、积型aea≤blnb同构

三种同构途径：①同左aea≤（lnb）elnb，构造函数f（x）=xex;②同右ealnea≤blnb，构造函数f（x）=xlnx;③取对数a+lna≤lnb+ln（lnb），构造函数f（x）=x+lnx.

例1 若对任意的实数x≥1，不等式ekx-lnxk≥0恒成立，则正数k的取值范围是.

解析 因为x≥1，k>0，所以ekx-lnxk≥0kekx≥lnx（kx）ekx≥xlnx.

解法1 （構造同左aea≤（lnb）elnb形式）（kx）ekx≥xlnx（kx）ekx≥（lnx）elnx.

令f（t）=tet，t≥0，f ′（t）=（t+1）et>0，即f（t）在[0，+SymboleB@）上单调递增，则x≥1，ekx-lnxk≥0f（kx）≥f（lnx）kx≥lnxk≥lnxx.

令g（x）=lnxx，x≥1，g′（x）=1-lnxx2，10，x>e时g′（x）<0，所以g（x）在（1，e）上递增，在（e，+SymboleB@）上递减，x=e时g（x）max=1e，即k≥1e.故正数k的取值范围是1e，+SymboleB@.

解法2 （构造同右ealnea≤blnb形式）（kx）ekx≥xlnxekxlnekx≥xlnx.

令f（x）=tlnt，t≥1，f ′（t）=1+lnt>0，即f（x）在[1，+SymboleB@）上单调递增，则x≥1，ekx-lnxk≥0f（ekx）≥f（x）ekx≥xk≥lnxx.下同解法1.

解法3 （取对数a+lna≤lnb+ln（lnb）形式）（kx）ekx≥xlnxkx+ln（kx）≥lnx+ln（lnx）.

令f（x）=t+lnt，t>0，f ′（x）=1+1t>0，即f（t）在（0，+SymboleB@）上单调递增，则x≥1，ekx-lnxk≥0f（kx）≥f（lnx）kx≥lnxk≥lnxx. 下同解法1.

评析 为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需要对已知的指对式进行“改头换面”，常见的同构变形有：x=elnx=lnex，xlnx=elnx·lnx， xex=elnx+x=ex·lnex，exx=ex-lnx等. 在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知.

二、商型eaa≤blnb（或aea≤lnbb）同构

三种同构途径：①同左eaa≤elnblnb（或aea≤lnbelnb），构造函数f（x）=exx（或f（x）=xex）;②同右ealnea≤blnb（或lneaea≤lnbb），构造函数f（x）=xlnx（或f（x）=lnxx）;③取对数a-lna≤lnb-ln（lnb）（或lna-a≤ln（lnb）-lnb），构造函数f（x）=x-lnx（或f（x）=lnx-x）.

例2 若对任意的实数0

解析 由已知可得a>0.

当a≥1时，不等式左边小于0，右边大于0，不等式显然成立.

当0

解法1 lnxx

设g（t）=tet（t<1），则g′（t）=et-tete2t=1-tet>0，g（t）在（-SymboleB@，1）单调递增.

因为0lnx-x在（0，1）上恒成立.

令h（x）=lnx-x（00，所以h（x）在（0，1）单调递增，于是lna≥h（1）=-1，即1e≤a<1.

综上所述，实数a的取值范围是1e，1.

解法2 lnxx

令g（t）=lntt（00，所以g（t）在（0，e）单调递增.

原不等式等价于g（x）xexlna>lnx-x在（0，1）上恒成立.下同解法1.

评析 本题利用lnxx

三、和差型ea±a≤b±lnb同构

两种同构途径：①同左ea±a≤elnb±lnb，构造函数f（x）=ex±x;②同右ea±lnea≤b±lnb，构造函数f（x）=x±lnx.

例3 已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna，若f（x）≥1，求a的取值范围.

解析 将f（x）≥1按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：

由f（x）=aex-1-lnx+lna≥1，移项得aex-1+lna≥

lnx+1，即elna+x-1+lna≥lnx+1，两边同时加（x-1）得elna+x-1+x+lna-1≥lnx+x，即elna+x-1+x+lna-1≥lnx+elnx.

设g（x）=x+ex，则g′（x）=1+ex>0，所以g（x）单调递增，所以lna+x-1≥lnx，即x-lnx+lna-1≥0.

设h（x）=x-lnx+lna-1，则h′（x）=1-1x，所以h（x）在（0，1）单调递减，在（1，+SymboleB@）单调递增，

所以h（x）min=h（1）=lna≥0，故a≥1.

评析 本题先把已知不等式变形为elna+x-1+x+lna-1≥lnx+elnx，从而具备ea±a≥elnb±lnb的同构形式，构造函数g（x）=x+ex ，然后利用导数法求解结果，而此处难点在于将原不等式同解变形成左右两边具有相同“结构”的不等式. 对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，有时也需要对两边同时加、乘某式等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，再根据“相同结构”构造辅助函数.

练习 1.已知函数f（x）=aeax+1-lnx+1，且对任意x>1，f（x）>0恒成立，则a的取值范围是（）.

A.1e2，+SymboleB@ B.1e，+SymboleB@

C.0，1e2D.-SymboleB@，0∪1e2，+SymboleB@

2.若关于x的不等式ex-alnx≥a恒成立，则实数a的取值范围为.

3.对于任意实数x>0，不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立，求实数a的取值范围是.

参考答案：1.A;2.[0，e];3.a≥12e

同构法构造函数是高中数学解题的一种常见方法，在解题实践过程中，若能通过观察、分析、整理等变形手段，看清题中函数结构的共性或等式（或不等式）两侧同构，则可轻松构造函数，巧妙利用函数单调性解题.指数和对数混合的导数题，直接使用同構的题目并不多，许多情况下，需要凑出同构的形式来，因为指数和对数之间可以互相转换，尽量转换为常见的aea≤blnb，eaa≤blnb，ea±a≤b±lnb 三种同构形式.

参考文献：[1]杨瑞强.“端点效应”破解不等式恒成立问题[J].中学数学教学，2019（06）：33-35.

[责任编辑：李 璟]