摘 要:本文主要通过实际案例,研究了同构法在不等式恒成立中的应用.
关键词:同构法;导数;不等式;恒成立
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)34-0074-02
收稿日期:2021-09-05
作者简介:杨瑞强(1979-),男,湖北省黄冈人,中学高级教师,从事高中数学教学研究.[FQ)]
把一个等式或不等式通过变形,使左右两边结构形式完全相同,可构造函数,利用函数的单调性进行处理,找这个函数模型的方法就是同构法.例如若F(x)≥0能等价变形为能等价变形为能等价变形为fg(x)≥fh(x),然后利用f(x)的单调性(如递增),再转化为g(x)≥h(x).在遇到“指数函数和对数函数”同时出现的试题时,我们可考虑采用“同构”的方法变形转化,构造函数,从而达到化难为易,删繁就简的功效.
一、积型aea≤blnb同构
三种同构途径:①同左aea≤(lnb)elnb,构造函数f(x)=xex;②同右ealnea≤blnb,构造函数f(x)=xlnx;③取对数a+lna≤lnb+ln(lnb),构造函数f(x)=x+lnx.
例1 若对任意的实数x≥1,不等式ekx-lnxk≥0恒成立,则正数k的取值范围是.
解析 因为x≥1,k>0,所以ekx-lnxk≥0kekx≥lnx(kx)ekx≥xlnx.
解法1 (構造同左aea≤(lnb)elnb形式)(kx)ekx≥xlnx(kx)ekx≥(lnx)elnx.
令f(t)=tet,t≥0,f ′(t)=(t+1)et>0,即f(t)在[0,+SymboleB@)上单调递增,则x≥1,ekx-lnxk≥0f(kx)≥f(lnx)kx≥lnxk≥lnxx.
令g(x)=lnxx,x≥1,g′(x)=1-lnxx2,1
解法2 (构造同右ealnea≤blnb形式)(kx)ekx≥xlnxekxlnekx≥xlnx.
令f(x)=tlnt,t≥1,f ′(t)=1+lnt>0,即f(x)在[1,+SymboleB@)上单调递增,则x≥1,ekx-lnxk≥0f(ekx)≥f(x)ekx≥xk≥lnxx.下同解法1.
解法3 (取对数a+lna≤lnb+ln(lnb)形式)(kx)ekx≥xlnxkx+ln(kx)≥lnx+ln(lnx).
令f(x)=t+lnt,t>0,f ′(x)=1+1t>0,即f(t)在(0,+SymboleB@)上单调递增,则x≥1,ekx-lnxk≥0f(kx)≥f(lnx)kx≥lnxk≥lnxx. 下同解法1.
评析 为了实现不等式两边“结构”相同的目的,需要对已知的指对式进行“改头换面”,常见的同构变形有:x=elnx=lnex,xlnx=elnx·lnx, xex=elnx+x=ex·lnex,exx=ex-lnx等. 在对“积型”进行同构时,取对数是最快捷的,同构出的函数,其单调性一看便知.
二、商型eaa≤blnb(或aea≤lnbb)同构
三种同构途径:①同左eaa≤elnblnb(或aea≤lnbelnb),构造函数f(x)=exx(或f(x)=xex);②同右ealnea≤blnb(或lneaea≤lnbb),构造函数f(x)=xlnx(或f(x)=lnxx);③取对数a-lna≤lnb-ln(lnb)(或lna-a≤ln(lnb)-lnb),构造函数f(x)=x-lnx(或f(x)=lnx-x).
例2 若对任意的实数0 解析 由已知可得a>0. 当a≥1时,不等式左边小于0,右边大于0,不等式显然成立. 当0 解法1 lnxx 设g(t)=tet(t<1),则g′(t)=et-tete2t=1-tet>0,g(t)在(-SymboleB@,1)单调递增. 因为0 令h(x)=lnx-x(0 综上所述,实数a的取值范围是1e,1. 解法2 lnxx 令g(t)=lntt(0 原不等式等价于g(x) 评析 本题利用lnxx 三、和差型ea±a≤b±lnb同构 两种同构途径:①同左ea±a≤elnb±lnb,构造函数f(x)=ex±x;②同右ea±lnea≤b±lnb,构造函数f(x)=x±lnx. 例3 已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范围. 解析 将f(x)≥1按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形: 由f(x)=aex-1-lnx+lna≥1,移项得aex-1+lna≥ lnx+1,即elna+x-1+lna≥lnx+1,两边同时加(x-1)得elna+x-1+x+lna-1≥lnx+x,即elna+x-1+x+lna-1≥lnx+elnx. 设g(x)=x+ex,则g′(x)=1+ex>0,所以g(x)单调递增,所以lna+x-1≥lnx,即x-lnx+lna-1≥0. 设h(x)=x-lnx+lna-1,则h′(x)=1-1x,所以h(x)在(0,1)单调递减,在(1,+SymboleB@)单调递增, 所以h(x)min=h(1)=lna≥0,故a≥1. 评析 本题先把已知不等式变形为elna+x-1+x+lna-1≥lnx+elnx,从而具备ea±a≥elnb±lnb的同构形式,构造函数g(x)=x+ex ,然后利用导数法求解结果,而此处难点在于将原不等式同解变形成左右两边具有相同“结构”的不等式. 对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数、系数升指数等,有时也需要对两边同时加、乘某式等,把不等式转化为左右两边是相同结构的式子,再根据“相同结构”构造辅助函数. 练习 1.已知函数f(x)=aeax+1-lnx+1,且对任意x>1,f(x)>0恒成立,则a的取值范围是(). A.1e2,+SymboleB@ B.1e,+SymboleB@ C.0,1e2D.-SymboleB@,0∪1e2,+SymboleB@ 2.若关于x的不等式ex-alnx≥a恒成立,则实数a的取值范围为. 3.对于任意实数x>0,不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立,求实数a的取值范围是. 参考答案:1.A;2.[0,e];3.a≥12e 同构法构造函数是高中数学解题的一种常见方法,在解题实践过程中,若能通过观察、分析、整理等变形手段,看清题中函数结构的共性或等式(或不等式)两侧同构,则可轻松构造函数,巧妙利用函数单调性解题.指数和对数混合的导数题,直接使用同構的题目并不多,许多情况下,需要凑出同构的形式来,因为指数和对数之间可以互相转换,尽量转换为常见的aea≤blnb,eaa≤blnb,ea±a≤b±lnb 三种同构形式. 参考文献:[1]杨瑞强.“端点效应”破解不等式恒成立问题[J].中学数学教学,2019(06):33-35. [责任编辑:李 璟]