多维度巧解以圆为背景的最值问题

蒋敏 李鲜

摘 要：在解析几何中，圆是一类重要的考察载体.通过以圆为背景的最值问题的解题教学，能够很好的培养学生独立思考能力、自主探究能力、精准解题能力，达到“通一题、会一类、透一片”，进一步渗透学科核心素养.

关键词：多维度;巧解;圆;最值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0062-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：蒋敏（1983.11-），男，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

李鲜（1986.3-），女，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：本文系四川省数学会第一届数学教育规划立项课题“校本教研在推动数学教学中的作用”（项目编号2020SXHJY010）阶段性研究成果.[FQ）]

圆是一类特殊的几何图形，它形式简洁，图形优美，生活中随处可见，具有高度的对称性.以圆为背景，考察最大值、最小值，取值范围等等，是解析几何中常见的一类题型.它涉及的学科知识内涵丰富，解题构思常常巧妙灵活，能够很好的锻炼学生的数学思维能力，进一步渗透数学学科核心素养.在课堂教学中，结合学生实际，教师积极引导，学生自主探究，以微专题的形式，多维度巧解以圆为背景的最值问题，让解题教学的育人目标能够顺利达成、落地生根.

一、以斜率、截距、距离的几何意义为视角巧解最值

例1 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求：

（1） yx的最大值和最小值;

（2 ） y-x的最小值;

（3） x2+y2的最大值和最小值.

图1

解析 （1）如图1，方程x2+y2-4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.

设yx=k，即y=kx，则圆心（2，0）到直线y=kx的距离为半径时直线与圆相切，

斜率取得最大、最小值.由|2k-0|k2+1=3，解得k2=3，所以kmax=3，kmin=-3.

（2）设y-x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2-0+b|2=3，

即b=-2±6，故（y-x）min=-2-6.

（3）x2+y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=|OC′|2=（2+3）2=7+43，（x2+y2）min=|OB|2=（2-3）2=7-43.

點评 将yx、y-x 、x2+y2等表达式分别赋予斜率、截距、距离等几何意义，然后利用数形结合来求解.“联想生智慧，构造定乾坤”，善于联想所求式子的几何意义是求最值的一种重要方法.

类题巩固1 已知（x-2）2+（y-1）2=1，求（x-1）2+y2的最值.

解析 令（x-1）2+y2=r2是以（1，0）为圆心，半径为r的同心圆，问题转化为求在（x-2）2+（y-1）2=1条件下，半径r的最值.

显然，外切时r最小，r2min= （2-1）2，内切时r最大，r2max=（2+1）2.

类题巩固2 若P（x，y）在圆（x-2）2+y2=3上运动，则y+2x-2的取值范围为.

解析 由题可知，y+2x-2为经过（2，-2）和圆上的点的直线斜率，当直线与圆相切或相交时，圆心到直线的距离小于等于为半径，即

|2k-2k-2|1+k2≤3，故k∈（-∞，-33]∪[33，+∞）.

例2 设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）.

A.[-1，1] B.[-12，12]

C.[-2，2]D.[-22，22]

图2

解析 点M（x0，1）在直线y=1上，而直线y=1与圆x2+y2=1相切.据题意可设点N（0，1），如图，则只需∠OMN≥45°即可，此时有tan∠OMN=|ON||MN|≥tan45°，得0<|MN|≤|ON|=1，即0<|x0|≤1，当M位于点（0，1）时，显然在圆上存在点N满足要求，综上可知-1≤x0≤1. 故选A.

点评 由题易知，随着N点在圆上的移动，∠OMN的大小在变化，只有N点运动到让MN是圆的切线时，∠OMN最大.结合图形可知当∠OMN≥45°，则圆上就存在满足条件的点.

类题巩固2 已知圆C：x2+y2=4，点P（x0，y0）在直线x-y-4=0上，O为坐标原点，若圆C上存在点Q，使∠OPQ=30°，则x0的取值范围为.

解析 过点P作圆C的切线，切点为D，连结CD，则CD⊥PD，若∠DPC=30°，则PC=2CD=4;

若PC≤4，则圆C上存在点A，使∠APC=30°，

由x20+y20≤42，即x20+（x0-4）2≤16，即x20-4x0≤0，得0≤x0≤4.

类题巩固4 已知圆C：（x-2）2+y2=4，点P（x0，y0）在直线y=x+2上，若圆C上存在两点A、B，使PA=3PB，求x0的取值范围.

解析 由PA=3PB知|AB|=2|PB|，而|AB|≤2r，则点P到圆上的点B的最小距离应该小于或等于半径，所以（x0-2）2+y20-2≤2，又因为点P在直线y=x+2上，所以y0=x0+2，即（x0-2）2+（x0+2）2-2≤2，解得-2≤x0≤2.

二、以构造函数法的视角来巧解最值

例3 设P，Q分别为圆x2+（y-6）2=2和椭圆x210+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）.

A.52 B.46+2 C.7+2 D.62

解析 设圆心为点C，则圆x2+（y-6）2=2的圆心为C（0，6），半径r=2.

设点Q（x0，y0）是椭圆上任意一点，则x2010+y20=1，即x20=10-10y20，

|CQ|=10-10y20+（y0-6）2=-9y20-12y0+46=-9（y0+23）2+50，當y0=-23时，|CQ|有最大值52，则P，Q两点间的最大距离为52+r=62.选择D.

点评 根据条件列出关于所求目标函数的关系式，然后转化为函数求最值.这是求圆中最值的常用方法.同时，解答中尤其要结合变量的取值范围.

类题巩固3 在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则PM·PN的最大值为.

解析 易知M（2，0），N（0，-2），设P（2cosθ，2sinθ）θ∈[0，2π），则PM=（2-2cosθ，-2sinθ），PN=

（-2cosθ，-2-2sinθ），则有PM·PN=4cos2θ-4cosθ+4sin2θ+4sinθ=4+42sin（θ-π4），所以PM·PN的最大值为4+42.

类题巩固6 在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），动点D满足|CD|=1，则|OA+OB+OD|的最大值是.

解析 由|CD|=1，得动点D在以C为圆心，半径为1的圆上，故可设D（3+cos α，sin α），所以OA+OB+OD=（2+cos α，3+sin α），所以OA+OB+OD2=（2+cosα）2+（3+sinα）2=8+4cosα+23sin α=8+27sin （α+φ），

所以（|OA+OB+OD|2）max=8+27，

即|OA+OB+OD|max=7+1.

三、以常用的不等式性质的视角来巧解最值

例4 在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线

mx-y-2m-1=0（m∈R）

相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.

解析 由题意得，半径等于|m+1|m2+1=（m+1）2m2+1=1+2mm2+1≤1+2|m|m2+1≤2，当且仅当m=1时取等号，所以半径最大为r=2，故所求圆的标准方程为（x-1）2+y2=2.

点评 当所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值. 同时需注意“一正、二定、三相等”的限制.

类题巩固4 直线2ax+by-2ab+6=0（a>0，b>0）平分圆（x-1）2+（y-2）2=4的面积，则ab的最小值等于.

解析 由题知，直线2ax+by-2ab+6=0（a>0，b>0）过圆的（x-1）2+（y-2）2=4圆心（1，2），所以2a+2b-2ab+6=0，即a+b-ab+3=0（a>0，b>0），又因为a+b≥2ab（当且仅当a=b时取等号），即ab-2ab-3≥0，所以

ab≥3，ab≥9.

类题巩固8 设m，n∈R，若直线l：mx+ny-1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值.

解析 由题意知A（1m，0），B（0，1n），d2=r2-12=4-1=3，所以d=3，即圆心到直线的距离d=-1m2+n2=3，所以m2+n2=13.S=121m·1n=12mn，又S=12mn≥1m2+n2=3，当且仅当m=n=16时取等号，所以最小值为3.

参考文献：

[1]刘绍学.普通高中课程标准试验教科书·数学必修2（必修A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]王怀学，肖斌.高考数学经典题型与变式[M].拉萨：西藏人民出版社，2016.

[责任编辑：李 璟]