摘 要:椭圆的参数方程形式简单,利用它可以使有些难解的问题简单化,但椭圆中的离心角与旋转角两个概念易混淆,容易产生错误.本文通过一道题目为例,辨识椭圆的离心角与旋转角.
关键词:椭圆;参数方程;离心角;旋转角
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)34-0034-03
收稿日期:2021-09-05
作者简介:林国红(1977-),男,广东省佛山人,本科,中学高级教师,从事高中数学教学研究.[FQ)]
在一次调研考试中,发现学生对一道解析几何题的两种不同解法分辨不清,说明学生对相关概念模糊,认识不到位,从而产生错误,并且这种错误在学生中普遍存在,非常有代表性.笔者对此特意成文,供大家参考.
一、试题的呈现与解答
题目 已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点到左顶点的距离为1+2,且椭圆Γ的离心率为22.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆Γ交于A,C与B,D,求四边形ABCD的面积的最小值.
(1)x22+y2=1,过程略.
(2)解法1 根据题意,可知四边形ABCD的面积S=12|AC|·|BD|.
当直线AC与BD中有一条的斜率不存在时,可得
|AC|,|BD|分别是椭圆的长轴长与短轴长,所以S=12×22×2=22.
当直线AC与BD的斜率都存在时,可设直线AC的方程为y=kx,则直线BD的方程为y=-1kx.
由y=kxx22+y2=1,得(2k2+1)x2-2=0,于是xA+xC=0,xAxC=-22k2+1,所以|AC|=1+k2×(xA+xC)2-4xAxC=22(k2+1)2k2+1.
同理,可得|BD|=22(k2+1)k2+2.
所以S=12|AC|·|BD|=12×22(k2+1)2k2+1×22(k2+1)k2+2=4(k2+1)2(2k2+1)(k2+2)=42k4+5k2+2k4+2k2+1=42+1k2+1k2+2≥42+12+2=83,
当且仅当k=±1时取等号.
综上,四边形ABCD的面积的最小值为83.
解法2 由题可得AC⊥BD,且四个顶点在椭圆x22+y2=1上,可设A(2cosα,sinα),B(2cos(α+90°),sin(α+90°)),其中0≤α<2π.
则四边形ABCD的面积
S=12|AC|·|BD|=4×12|OA|·|OB|=22cos2α+sin2α×2cos2(α+90°)+sin2(α+90°)=
2(1+cos2α)(1+sin2α)=22+14sin22α≥22,当且仅当sin2α=0,即α=0或α=π时等号成立.所以,四边形ABCD的面积的最小值为22.
评注 问题(2)中的两种解法,是学生解答中的普遍做法,太多数学生认为解法2比解法1更为简单,容易求最值,同时认为解法1也正确,所以无法判断那一种解法有误.
一题两个不同結果,孰对孰错?实际上,解法2是错误的.原因在于应用椭圆的参数方程解题时,未能理解参数的几何意义,没有准确把握椭圆参数方程中离心角与旋转角的区别与联系,从而产生误解,导致错误.
二、椭圆离心角与旋转角的概念及其关系
1.椭圆参数方程的推导
如图,以原点O为圆心,a,b(a>b>0)为半径分别作两个同心圆.设A为大圆上的任一点,连接OA,与小圆交于点B.过点A,B分别作x轴,y轴的垂线,两垂线交于点M.求当半径OA绕点O旋转时,点M的轨迹的参数方程.
图1 图2
设∠AOx=α(0≤α<2π),∠MOx=θ(0≤θ<2π),M(x,y),则点A的横坐标为x,点B的纵坐标为y.由于点A,B均在角α的终边上,由三角函数的定义,有x=|OA|cosα=acosαy=|OB|sinα=bsinα.
当半径OA绕点O旋转一周时,就得到了点M的轨迹,它的参数方程是x=acosαy=bsinα(α为参数,0≤α<2π).消去参数可得x2a2+y2b2=1,这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆.
2.椭圆的离心角与旋转角及其关系
由图可以看出,参数α是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角),不是OM的旋转角,θ才是OM的旋转角.
当点A绕着点O转动时,离心角α和旋转角θ的大小都在发生变化:在第一象限时,α>θ;在第二象限时,α<θ;在第三象限时,α>θ;在第四象限时,α<θ;当点A在坐标轴上时,α=θ.
那么离心角α与旋转角θ有什么关系呢?由椭圆的参数方程可知,当焦点在x轴上时,椭圆上除短轴上的顶点外,任意一点M(acosα,bsinα)与原点O连线的斜率tanθ=yx=bsinαacosα=batanα,即旋转角θ与离心角α正切比等于ba;当焦点在y轴上时,椭圆上除长轴上的顶点外,任意一点M(bcosα,asinα)与原点O连线的斜率tanθ=yx=asinαbcosα=abtanα,即旋转角θ与离心角α正切比等于ab.
三、解法2的错因分析与解法修正
1.错因分析
原题目的条件AC⊥BD,实际上是指点A与点B的旋转角相差90°,而解法2用的是点A与点B的离心角相差90°.两者是否一致?
只需要验证OA与OB是否垂直即可.若设A(2cosα,sinα),B(2cos(α+90°),sin(α+90°)),则kOA=sinα2cosα,kOB=sin(α+90°)2cos(α+90°)=cosα-2sinα,所以
kOA·kOB=-12,也就是说解法2中的OA与OB在一般情况下并不垂直.
可见当旋转角θ增加90°时,离心角α不一定增加90°,所以在应用椭圆的参数方程时,必须理解参数的几何意义,分清离心角与旋转角.
2.解法2 的修正
设A(2cosα,sinα)(0≤α<2π).
当α=kπ2(k=0,1,2,3)时,由解法1可知,四边形ABCD的面积S=12×22×2=22.
当α≠kπ2(k=0,1,2,3)时,kOA=sinα2cosα=22tanα,因为OA⊥OB,所以kOB=-1kOA=-2cotα,则直线OB的方程为y=-2cotα·x,联立y=-2cotα·xx22+y2=1,求得B(2tan2αtan2α+4,-2cotα2tan2αtan2α+4)或
B(-2tan2αtan2α+4,
2cotα2tan2αtan2α+4).
于是
|OA|=2cos2α+sin2α=2cos2α+sin2αsin2α+cos2α=2+tan2α1+tan2α
|OB|=2tan2αtan2α+4+2cot2α×2tan2αtan2α+4=2tan2α+4tan2α+4
所以四边形ABCD的面积
S=12|AC|·|BD|
=4×12|OA|·|OB|
=22+tan2α1+tan2α×2tan2α+4tan2α+4
=22tan4α+8tan2α+8tan4α+5tan2α+4
=22-2tan2αtan4α+5tan2α+4
=22-2tan2α+4tan2α+5
≥22-24+5
=83
当且仅当tanα=±2时取等号.
综上,四边形ABCD的面积的最小值为83.
评注 显然,解法2修正后的结果与解法1的一致,对比之下,解法1较易理解,运算量也稍少.
四、其它解法
解法3 以原点O为极点,x轴为极轴建立极坐标系,则椭圆x22+y2=1的极坐标方程为ρ2cos2θ2+ρ2sin2θ=1,即ρ2=2cos2θ+2sin2θ.
由于OA⊥OB,可设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π2)(0≤θ<2π),則ρ21=2cos2θ+2sin2θ=21+sin2θ,ρ22=2cos2(θ+π2)+2sin2(θ+π2)=2sin2θ+2cos2θ=21+cos2θ.
于是四边形ABCD的面积S=12|AC|·|BD|=4×12|OA|·|OB|=2|ρ1ρ2|=221+sin2θ×21+cos2θ =4(1+sin2θ)(1+cos2θ)
=42+sin2θcos2θ=42+14sin22θ≥42+14=83,
当且仅当sin22θ=1,即θ=π4或θ=3π4时等号成立.
所以,四边形ABCD的面积的最小值为83.
评注 从上述三种解法可看出,解法3所用的极坐标法运算量少,最为简单.
五、巩固练习
最后提供三题作为练习,以加深椭圆参数方程中离心角与旋转角的理解.
(1)过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆x22+y2=1交于A,C与B,D,求四边形ABCD的面积的最大值.
(2)已知A,B是椭圆3x2+5y2=1上的两个动点,O是坐标原点,且满足∠AOB=90°,则|OA|2+|OB|2=( ).
A.8B.18C.815D.无法确定
(3)已知A,B是椭圆3x2+5y2=1上的两个动点,O是坐标原点,且满足∠AOB=90°,则1|OA|2+1|OB|2=( ).
A.8B.18C.815D.无法确定
答案:(1)22;(2)D;(3)A.
参考文献:
[1]林国红.同心圆锥曲线中两个定值命题的证明[J].中学数学研究(华南师范大学版),2019(12):27-29.
[2]林国红.探究让考题更精彩——一道学考题的探究与思考[J].中学教研(数学),2019(4):24-26.
[责任编辑:李 璟]