辨识椭圆的离心角与旋转角

摘 要：椭圆的参数方程形式简单，利用它可以使有些难解的问题简单化，但椭圆中的离心角与旋转角两个概念易混淆，容易产生错误.本文通过一道题目为例，辨识椭圆的离心角与旋转角.

关键词：椭圆;参数方程;离心角;旋转角

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0034-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：林国红（1977-），男，广东省佛山人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

在一次调研考试中，发现学生对一道解析几何题的两种不同解法分辨不清，说明学生对相关概念模糊，认识不到位，从而产生错误，并且这种错误在学生中普遍存在，非常有代表性.笔者对此特意成文，供大家参考.

一、试题的呈现与解答

题目 已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点到左顶点的距离为1+2，且椭圆Γ的离心率为22.

（1）求椭圆Γ的方程;

（2）过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆Γ交于A，C与B，D，求四边形ABCD的面积的最小值.

（1）x22+y2=1，过程略.

（2）解法1 根据题意，可知四边形ABCD的面积S=12|AC|·|BD|.

当直线AC与BD中有一条的斜率不存在时，可得

|AC|，|BD|分别是椭圆的长轴长与短轴长，所以S=12×22×2=22.

当直线AC与BD的斜率都存在时，可设直线AC的方程为y=kx，则直线BD的方程为y=-1kx.

由y=kxx22+y2=1，得（2k2+1）x2-2=0，于是xA+xC=0，xAxC=-22k2+1，所以|AC|=1+k2×（xA+xC）2-4xAxC=22（k2+1）2k2+1.

同理，可得|BD|=22（k2+1）k2+2.

所以S=12|AC|·|BD|=12×22（k2+1）2k2+1×22（k2+1）k2+2=4（k2+1）2（2k2+1）（k2+2）=42k4+5k2+2k4+2k2+1=42+1k2+1k2+2≥42+12+2=83，

当且仅当k=±1时取等号.

综上，四边形ABCD的面积的最小值为83.

解法2 由题可得AC⊥BD，且四个顶点在椭圆x22+y2=1上，可设A（2cosα，sinα），B（2cos（α+90°），sin（α+90°）），其中0≤α<2π.

则四边形ABCD的面积

S=12|AC|·|BD|=4×12|OA|·|OB|=22cos2α+sin2α×2cos2（α+90°）+sin2（α+90°）=

2（1+cos2α）（1+sin2α）=22+14sin22α≥22，当且仅当sin2α=0，即α=0或α=π时等号成立.所以，四边形ABCD的面积的最小值为22.

评注 问题（2）中的两种解法，是学生解答中的普遍做法，太多数学生认为解法2比解法1更为简单，容易求最值，同时认为解法1也正确，所以无法判断那一种解法有误.

一题两个不同結果，孰对孰错？实际上，解法2是错误的.原因在于应用椭圆的参数方程解题时，未能理解参数的几何意义，没有准确把握椭圆参数方程中离心角与旋转角的区别与联系，从而产生误解，导致错误.

二、椭圆离心角与旋转角的概念及其关系

1.椭圆参数方程的推导

如图，以原点O为圆心，a，b（a>b>0）为半径分别作两个同心圆.设A为大圆上的任一点，连接OA，与小圆交于点B.过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M.求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程.

图1 图2

设∠AOx=α（0≤α<2π），∠MOx=θ（0≤θ<2π），M（x，y），则点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y.由于点A，B均在角α的终边上，由三角函数的定义，有x=|OA|cosα=acosαy=|OB|sinα=bsinα.

当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是x=acosαy=bsinα（α为参数，0≤α<2π）.消去参数可得x2a2+y2b2=1，这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆.

2.椭圆的离心角与旋转角及其关系

由图可以看出，参数α是点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角，θ才是OM的旋转角.

当点A绕着点O转动时，离心角α和旋转角θ的大小都在发生变化：在第一象限时，α>θ;在第二象限时，α<θ;在第三象限时，α>θ;在第四象限时，α<θ;当点A在坐标轴上时，α=θ.

那么离心角α与旋转角θ有什么关系呢？由椭圆的参数方程可知，当焦点在x轴上时，椭圆上除短轴上的顶点外，任意一点M（acosα，bsinα）与原点O连线的斜率tanθ=yx=bsinαacosα=batanα，即旋转角θ与离心角α正切比等于ba;当焦点在y轴上时，椭圆上除长轴上的顶点外，任意一点M（bcosα，asinα）与原点O连线的斜率tanθ=yx=asinαbcosα=abtanα，即旋转角θ与离心角α正切比等于ab.

三、解法2的错因分析与解法修正

1.错因分析

原题目的条件AC⊥BD，实际上是指点A与点B的旋转角相差90°，而解法2用的是点A与点B的离心角相差90°.两者是否一致？

只需要验证OA与OB是否垂直即可.若设A（2cosα，sinα），B（2cos（α+90°），sin（α+90°）），则kOA=sinα2cosα，kOB=sin（α+90°）2cos（α+90°）=cosα-2sinα，所以

kOA·kOB=-12，也就是说解法2中的OA与OB在一般情况下并不垂直.

可见当旋转角θ增加90°时，离心角α不一定增加90°，所以在应用椭圆的参数方程时，必须理解参数的几何意义，分清离心角与旋转角.

2.解法2 的修正

设A（2cosα，sinα）（0≤α<2π）.

当α=kπ2（k=0，1，2，3）时，由解法1可知，四边形ABCD的面积S=12×22×2=22.

当α≠kπ2（k=0，1，2，3）时，kOA=sinα2cosα=22tanα，因为OA⊥OB，所以kOB=-1kOA=-2cotα，则直线OB的方程为y=-2cotα·x，联立y=-2cotα·xx22+y2=1，求得B（2tan2αtan2α+4，-2cotα2tan2αtan2α+4）或

B（-2tan2αtan2α+4，

2cotα2tan2αtan2α+4）.

于是

|OA|=2cos2α+sin2α=2cos2α+sin2αsin2α+cos2α=2+tan2α1+tan2α

|OB|=2tan2αtan2α+4+2cot2α×2tan2αtan2α+4=2tan2α+4tan2α+4

所以四边形ABCD的面积

S=12|AC|·|BD|

=4×12|OA|·|OB|

=22+tan2α1+tan2α×2tan2α+4tan2α+4

=22tan4α+8tan2α+8tan4α+5tan2α+4

=22-2tan2αtan4α+5tan2α+4

=22-2tan2α+4tan2α+5

≥22-24+5

=83

当且仅当tanα=±2时取等号.

综上，四边形ABCD的面积的最小值为83.

评注 显然，解法2修正后的结果与解法1的一致，对比之下，解法1较易理解，运算量也稍少.

四、其它解法

解法3 以原点O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆x22+y2=1的极坐标方程为ρ2cos2θ2+ρ2sin2θ=1，即ρ2=2cos2θ+2sin2θ.

由于OA⊥OB，可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+π2）（0≤θ<2π），則ρ21=2cos2θ+2sin2θ=21+sin2θ，ρ22=2cos2（θ+π2）+2sin2（θ+π2）=2sin2θ+2cos2θ=21+cos2θ.

于是四边形ABCD的面积S=12|AC|·|BD|=4×12|OA|·|OB|=2|ρ1ρ2|=221+sin2θ×21+cos2θ =4（1+sin2θ）（1+cos2θ）

=42+sin2θcos2θ=42+14sin22θ≥42+14=83，

当且仅当sin22θ=1，即θ=π4或θ=3π4时等号成立.

所以，四边形ABCD的面积的最小值为83.

评注 从上述三种解法可看出，解法3所用的极坐标法运算量少，最为简单.

五、巩固练习

最后提供三题作为练习，以加深椭圆参数方程中离心角与旋转角的理解.

（1）过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆x22+y2=1交于A，C与B，D，求四边形ABCD的面积的最大值.

（2）已知A，B是椭圆3x2+5y2=1上的两个动点，O是坐标原点，且满足∠AOB=90°，则|OA|2+|OB|2=（ ）.

A.8B.18C.815D.无法确定

（3）已知A，B是椭圆3x2+5y2=1上的两个动点，O是坐标原点，且满足∠AOB=90°，则1|OA|2+1|OB|2=（ ）.

A.8B.18C.815D.无法确定

答案：（1）22;（2）D;（3）A.

参考文献：

[1]林国红.同心圆锥曲线中两个定值命题的证明[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（12）：27-29.

[2]林国红.探究让考题更精彩——一道学考题的探究与思考[J].中学教研（数学），2019（4）：24-26.

[责任编辑：李 璟]