摘 要:本文举例说明了椭圆和双曲线焦半径公式的简单运用.
关键词:椭圆;双曲线;焦半径;运用;探究
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)34-0013-02
收稿日期:2021-09-05
作者简介:武增明(1965.5-),男,云南省易门人,本科,中学高级教师,从事高中数学教学研究.[FQ)]
在圆锥曲线问题中若涉及焦半径,如果想到应用焦半径公式来求解,有时会使求解过程十分简捷.下面举例说明,供大家参考.
下面我们先看椭圆和双曲线的第二定义.
椭圆的第二定义 若动点M(x,y)与定点F(c,0)(F(-c,0)或F(0,c)或F(0,-c))和它到定直线l:x=a2c(x=-a2c或y=a2c或y=-a2c)的距离的比是常数e=ca(a>c>0),则这个动点M(x,y)的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率.
双曲线的第二定义 若动点M(x,y)与定点F(c,0)(F(-c,0)或F(0,c)或F(0,-c))和它到定直线l:x=a2c(x=-a2c或y=a2c或y=-a2c)的距离的比是常数e=ca(c>a>0),则这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率.圆锥曲线上任意一点M与其一个焦点F的距离|MF|叫做圆锥曲线的焦半径.
为了便于理解,快速推导出椭圆和双曲线的焦半径公式,下面以表格的形式给出椭圆和双曲线的主要性质.
椭圆和双曲线的焦半径公式没有必要刻意记忆,根据解题需要,由椭圆和双曲线的第二定义可快速推导出来.
例1 (2019年高考全国Ⅲ卷文T15,理T15题)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则点M的坐标为.
解析 不妨设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,由点M在第一象限,△MF1F2为等腰三角形,知|F1M|=|F1F2|=8.设M(x0,y0),则由椭圆的焦半径公式,得|F1M|=a+ex0.所以|F1M|=6+23x0.于是6+23x0=8,解得x0=3.又x2036+y2020=1,y0>0,所以y0=15.从而M(3,15).
评注 此题解法较多,笔者认为,应用椭圆的焦半径公式来求解速度较快.
例2 (2019年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试题第11题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F.过椭圆C上一点A作椭圆的切线,与y轴交于点Q,O为坐标原点.若∠QFO=45°,∠QFA=30°,则椭圆的离心率为.
解析 设A(x0,y0),则过点A的切线方程为x0xa2+y0yb2=1,从而Q(0,b2y0).由椭圆的焦半径公式,得|FA|=a+ex0.
又FQ·FO=(c,b2y0)·(c,0)=c2,FQ·FA=(c,b2y0)·(x0+c,y0)=cx0+a2,所以由向量的数量积公式,得cos∠QFOcos∠QFA=FQ·FOFQ·FA·|FQ||FA||FQ||FO|=c2cx0+a2·ex0+ac=ca·ex0+aex0+a=e.
故椭圆的离心率为e=cos∠QFOcos∠QFA=cos45°cos30°=63 .
评注 此题具有一般性结论:设F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点.过椭圆C上的一点A(A不是椭圆的顶点)作椭圆的切线交y轴于点Q,O为坐标原点,该椭圆的离心率为e.若∠QFO=α,∠QFA=β,则e=cosαcosβ.
例3 (2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题第9题)已知过点P(3,0),斜率为k的直线l与双曲线C:x2-y23=1的右支交于A,B两点,F为双曲线C的右焦点,且|AF|+|BF|=16,求k的值.
解法1 (应用两点间的距离公式) 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-3),则x21-y213=1,x22-y223=1.
因为F(2,0),所以由两点间的距离公式,得|AF|=(x1-2)2+y21=x21-4x1+4+3x21-3=(2x1-1)2=2x1-1.同理,可得|BF|=2x2-1.
所以由|AF|+|BF|=16,得2(x1+x2)=18.
由y=k(x-3),x2-y23=1,得(k2-3)x2-6k2x+9k2+3=0,所以x1+x2=6k2k2-3 .
依题意,得Δ>0,x1+x2>0,x1x2>0,
即36k4-4(k2-3)(9k2+3)>0,6k2k2-3>0,9k2+3k2-3>0, 解得k2>3.
故2·6k2k2-3=18,由此得k=±3,且满足k2>3,于是k=±3.
解法2 (应用双曲线的焦半径公式) 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-3),则由双曲线的焦半径公式,得|AF|=2x1-1,|BF|=2x2-1.以下同解法1.
评注 从上述解法2我们可以看出,直接应用双曲线的焦半径公式求解,思路清晰,过程简捷,求解速度快.
通过上述几例的解答,我们发现,焦半径公式充分体现了数学中的化归思想,通过它可将二个变量x,y问题化归为一个变量x或y来处理,体现了数学中的消元思想,减少了运算量,优化了解题过程.所以我们在平时的教学中,值得重视圆锥曲线的焦半径公式的运用.
参考文献:
[1]中国数学会普及工作委员会及数学奥林匹克委员会.高中数学联赛备考手册(2020)(预赛试题集锦)[M].上海:华东师范大学出版社,2020.
[2]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科書(选修)数学2-1(A版)[M].北京:人民教育出版社,2007.
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[4]周春霞.焦半径与2000年高考解几试题[J].中学教研(数学),2000(10):26-27.
[责任编辑:李 璟]