圆锥曲线的焦半径公式的简单运用

摘 要：本文举例说明了椭圆和双曲线焦半径公式的简单运用.

关键词：椭圆;双曲线;焦半径;运用;探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0013-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：武增明（1965.5-），男，云南省易门人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

在圆锥曲线问题中若涉及焦半径，如果想到应用焦半径公式来求解，有时会使求解过程十分简捷.下面举例说明，供大家参考.

下面我们先看椭圆和双曲线的第二定义.

椭圆的第二定义 若动点M（x，y）与定点F（c，0）（F（-c，0）或F（0，c）或F（0，-c））和它到定直线l：x=a2c（x=-a2c或y=a2c或y=-a2c）的距离的比是常数e=ca（a>c>0），则这个动点M（x，y）的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.

双曲线的第二定义 若动点M（x，y）与定点F（c，0）（F（-c，0）或F（0，c）或F（0，-c））和它到定直线l：x=a2c（x=-a2c或y=a2c或y=-a2c）的距离的比是常数e=ca（c>a>0），则这个动点M（x，y）的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.圆锥曲线上任意一点M与其一个焦点F的距离|MF|叫做圆锥曲线的焦半径.

为了便于理解，快速推导出椭圆和双曲线的焦半径公式，下面以表格的形式给出椭圆和双曲线的主要性质.

椭圆和双曲线的焦半径公式没有必要刻意记忆，根据解题需要，由椭圆和双曲线的第二定义可快速推导出来.

例1 （2019年高考全国Ⅲ卷文T15，理T15题）设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则点M的坐标为.

解析 不妨设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，由点M在第一象限，△MF1F2为等腰三角形，知|F1M|=|F1F2|=8.设M（x0，y0），则由椭圆的焦半径公式，得|F1M|=a+ex0.所以|F1M|=6+23x0.于是6+23x0=8，解得x0=3.又x2036+y2020=1，y0>0，所以y0=15.从而M（3，15）.

评注 此题解法较多，笔者认为，应用椭圆的焦半径公式来求解速度较快.

例2 （2019年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试题第11题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F.过椭圆C上一点A作椭圆的切线，与y轴交于点Q，O为坐标原点.若∠QFO=45°，∠QFA=30°，则椭圆的离心率为.

解析 设A（x0，y0），则过点A的切线方程为x0xa2+y0yb2=1，从而Q（0，b2y0）.由椭圆的焦半径公式，得|FA|=a+ex0.

又FQ·FO=（c，b2y0）·（c，0）=c2，FQ·FA=（c，b2y0）·（x0+c，y0）=cx0+a2，所以由向量的数量积公式，得cos∠QFOcos∠QFA=FQ·FOFQ·FA·|FQ||FA||FQ||FO|=c2cx0+a2·ex0+ac=ca·ex0+aex0+a=e.

故椭圆的离心率为e=cos∠QFOcos∠QFA=cos45°cos30°=63 .

评注 此题具有一般性结论：设F为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点.过椭圆C上的一点A（A不是椭圆的顶点）作椭圆的切线交y轴于点Q，O为坐标原点，该椭圆的离心率为e.若∠QFO=α，∠QFA=β，则e=cosαcosβ.

例3 （2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题第9题）已知过点P（3，0），斜率为k的直线l与双曲线C：x2-y23=1的右支交于A，B两点，F为双曲线C的右焦点，且|AF|+|BF|=16，求k的值.

解法1 （应用两点间的距离公式） 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=k（x-3），则x21-y213=1，x22-y223=1.

因为F（2，0），所以由两点间的距离公式，得|AF|=（x1-2）2+y21=x21-4x1+4+3x21-3=（2x1-1）2=2x1-1.同理，可得|BF|=2x2-1.

所以由|AF|+|BF|=16，得2（x1+x2）=18.

由y=k（x-3），x2-y23=1，得（k2-3）x2-6k2x+9k2+3=0，所以x1+x2=6k2k2-3 .

依题意，得Δ>0，x1+x2>0，x1x2>0，

即36k4-4（k2-3）（9k2+3）>0，6k2k2-3>0，9k2+3k2-3>0， 解得k2>3.

故2·6k2k2-3=18，由此得k=±3，且满足k2>3，于是k=±3.

解法2 （应用双曲线的焦半径公式） 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=k（x-3），则由双曲线的焦半径公式，得|AF|=2x1-1，|BF|=2x2-1.以下同解法1.

评注 从上述解法2我们可以看出，直接应用双曲线的焦半径公式求解，思路清晰，过程简捷，求解速度快.

通过上述几例的解答，我们发现，焦半径公式充分体现了数学中的化归思想，通过它可将二个变量x，y问题化归为一个变量x或y来处理，体现了数学中的消元思想，减少了运算量，优化了解题过程.所以我们在平时的教学中，值得重视圆锥曲线的焦半径公式的运用.

参考文献：

[1]中国数学会普及工作委员会及数学奥林匹克委员会.高中数学联赛备考手册（2020）（预赛试题集锦）[M].上海：华东师范大学出版社，2020.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科書（选修）数学2-1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]刘刚.一道2018年高考椭圆试题的探究[J].数理化学习，2018（08）：9-11.

[4]周春霞.焦半径与2000年高考解几试题[J].中学教研（数学），2000（10）：26-27.

[责任编辑：李 璟]