摘 要:本文根据斜率是平移变换下的不变量,举例示范如何利用坐标轴巧妙平移解决斜率和(或积)为定值问题.
关键词:坐标轴平移;圆锥曲线;定点;定值
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)34-0008-02
收稿日期:2021-09-05
作者简介:刘大鹏(1971.10-),男,辽宁省黑山人,本科,中学高级教师,从事高中数学教学研究.[FQ)]
一、用坐标轴平移解已知斜率和为定值问题
定理1 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1,a>0,b>0,定点A(x0,y0)∈C,(点A不是双曲线顶点),动点
Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若kAP+kAQ=γ,①当γ=0时,kPQ=-b2x0a2y0为定值,且等于双曲线在点A处切线斜率的相反数;②当γ≠0时,则直线PQ恒过定点D,且Dx0-2y0γ,-y0+2b2x0a2γ.
證明 以Ax0,y0为原点,建立新坐标系X′O′Y′,联立新坐标系下的方程
x′+x02a2-y′+y02b2=1,mx′+ny′=1,所以b2x′2-a2y′2+2x0b2x′-2y0a2y′mx′+ny′=0-a2+2ny0a22+2nb2x0-2ma2y0+b2+2mb2x0=0.
1°当k1+k2=2nb2x0-2ma2y0a2+2ny0a2=0时,kPQ=-mn=-b2x0a2y0,把双曲线方程两边对x求导,得2xa2-2yy′b2=0.所以y′=b2x0a2y0.
2°当k1+k2=2nb2x0-2ma2y0a2+2ny0a2=γ时,n=a2γ+2ma2y02b2x0-2a2γy0,PQ在新系下的方程mx′+a2y0b2x0-a2γy0y′+a2γ2b2x0-2a2γy0y′-1=0,直线过定点D-2y0γ,2b2x0a2γ-2y0,点D在原坐标系的坐标为x0-2y0γ,-y0+2b2x0a2γ.
二、用坐标轴平移解已知斜率积为定值问题
定理2 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1,a>0,b>0,定点A(x0,y0)∈C,动点Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若
kAP·kAQ=γ,①当γ=-b2a2时,kPQ=-y0x0为定值;②当γ≠-b2a2时,则直线PQ恒过定点D,且Da2γ-b2a2γ+b2x0,-a2γ+b2a2γ+b2y0.
证明 由定理1的证明,得-a2+2ny0a22+2nb2x0-2ma2y0y′x′+b2+2mb2x0=0.
①当k1k2=-b21+2mx0a21+2ny0=-b2a2时,kPQ=-mn=-y0x0;
②当k1k2=-b21+2mx0a21+2ny0=γ≠-b2a2时,n=-b2+a2γ+2mb2x02y0γa2,直线PQ在新系下的方程:
mx′-b2x0y0γa2y′=a2γ+b22y0γa2y′+1,过定点D-2b2x0a2γ+b2,-2y0γa2a2γ+b2,点D在原坐标系下的坐标为a2γ-b2a2γ+b2x0,-a2γ+b2a2γ+b2y0.
三、用坐标轴平移解结论为斜率和是定值问题
定理3 已知定点Pa,0,Qa,-mm≠0,经过点Q的动直线l与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于M,N两点,则直线PM与直线PN的斜率的和为定值2b2am.
证明 以Pa,0为原点,建立新坐标系X′O′Y′,联立新坐标系下的方程x′+a2a2+y′2b2=1,y′=kx′-m,所以b2x′2+a2y′2+2ab2x′kx′-y′m=0.
所以a2y′x′2-2ab2my′x′+b2+2akb2m=0.所以k1+k2=2b2ma为定值.
四、用坐标轴平移解结论为斜率的倒数和为定值问题
定理4 已知定点P0,b,Q-m,bm≠0,经过点Q的动直线l与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于M,N两点,则直线PM,PN的斜率的倒数之和为定值2a2bm.
证明 以P0,b为原点,建立新坐标系X′O′Y′,联立新坐标系下的方程x′2a2+y′+b2b2=1,x′=ty′-m,所以b2x′2+a2y′2+2a2by′ty′-x′m=0.所以b2x′y′2-2a2bmx′y′+a2+2a2tbm=0.所以1k1+1k2=2a2mb为定值.
五、强化训练
1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1,a>b>0定点A(x0,y0)∈C,(点A不是椭圆顶点),动点Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若kAP+kAQ=γ,①当γ=0时,kPQ=b2x0a2y0为定值,且等于椭圆在A点处切线斜率的相反数;②当γ≠0时,则直线PQ恒过定点D,且Dx0-2y0γ,-y0-2b2x0a2γ.
证明见文[3].
2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1,a>b>0 定点A(x0,y0)∈C,(点A不是椭圆顶点),动点Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若kAP·kAQ=γ,①当γ=b2a2时,kPQ=-y0x0为定值,②当γ≠b2a2时,则直线PQ恒过定点D,且Da2γ+b2a2γ-b2x0,-a2γ+b2a2γ-b2y0.
证明见文[4].
3.已知抛物线C:y2=2px,定点A(a,b)∈C,,动点Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若kAP+kAQ=γ,①当γ=0时,kPQ为定值,且等于抛物线在A点处切线斜率的相反数;
②当γ≠0时,则直线PQ恒过定点D,且
D b22p-2bγ,2pγ-b.
4.已知抛物线C:y2=2px,定点A(x0,y0)∈C,,动点Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若kAP·kAQ=γ,则直线PQ恒过定点D,且Dx0-2pγ,-y0.
5.已知定点P-a,0,Q-a,-mm≠0,经过点Q的动直线l与椭圆x2a2+y2b2=1
(a>b>0)交于M,N两点,则直线PM与直线PN的斜率的和为定值-2b2am.
6.已知定点P0,-b,Q-m,-bm≠0,经过点Q的动直线l与椭圆x2a2+y2b2=1
(a>b>0)交于M,N两点,则直线PM,PN的斜率的倒数之和为定值-2a2bm.
更多的练习题见文[5].
参考文献:
[1]刘大鹏.斜率和(或积)为定值条件下圆锥曲线的性质[J].中学数学研究(华南师范大学版),2020(05):44-45.
[2]耿晓红,郭守静.基于数学抽象核心素养,引导学生变式探究——以一类圆锥曲线定值问题探究为例 [J].中学数学教学参考,2019(10):60-63.
[3]徐道.一道高考题思考后的思考[J].数学教学,2010(09):46-48.
[4]刘大鹏. 对2020年高考山东22题的推广与解法的研究[J].数理化学习(高中版),2021(03):8-10.
[5]姚良玲,杨列敏.一个优美结论的再推广[J]. 中学数学教学参考(上旬),2018(19):54-55.
[责任编辑:李 璟]