用坐标轴平移妙解斜率和(或积)为定值问题

摘 要：本文根据斜率是平移变换下的不变量，举例示范如何利用坐标轴巧妙平移解决斜率和（或积）为定值问题.

关键词：坐标轴平移;圆锥曲线;定点;定值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0008-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：刘大鹏（1971.10-），男，辽宁省黑山人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

一、用坐标轴平移解已知斜率和为定值问题

定理1 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1，a>0，b>0，定点A（x0，y0）∈C，（点A不是双曲线顶点），动点

Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=γ，①当γ=0时，kPQ=-b2x0a2y0为定值，且等于双曲线在点A处切线斜率的相反数;②当γ≠0时，则直线PQ恒过定点D，且Dx0-2y0γ，-y0+2b2x0a2γ.

證明 以Ax0，y0为原点，建立新坐标系X′O′Y′，联立新坐标系下的方程

x′+x02a2-y′+y02b2=1，mx′+ny′=1，所以b2x′2-a2y′2+2x0b2x′-2y0a2y′mx′+ny′=0-a2+2ny0a22+2nb2x0-2ma2y0+b2+2mb2x0=0.

1°当k1+k2=2nb2x0-2ma2y0a2+2ny0a2=0时，kPQ=-mn=-b2x0a2y0，把双曲线方程两边对x求导，得2xa2-2yy′b2=0.所以y′=b2x0a2y0.

2°当k1+k2=2nb2x0-2ma2y0a2+2ny0a2=γ时，n=a2γ+2ma2y02b2x0-2a2γy0，PQ在新系下的方程mx′+a2y0b2x0-a2γy0y′+a2γ2b2x0-2a2γy0y′-1=0，直线过定点D-2y0γ，2b2x0a2γ-2y0，点D在原坐标系的坐标为x0-2y0γ，-y0+2b2x0a2γ.

二、用坐标轴平移解已知斜率积为定值问题

定理2 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1，a>0，b>0，定点A（x0，y0）∈C，动点Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若

kAP·kAQ=γ，①当γ=-b2a2时，kPQ=-y0x0为定值;②当γ≠-b2a2时，则直线PQ恒过定点D，且Da2γ-b2a2γ+b2x0，-a2γ+b2a2γ+b2y0.

证明 由定理1的证明，得-a2+2ny0a22+2nb2x0-2ma2y0y′x′+b2+2mb2x0=0.

①当k1k2=-b21+2mx0a21+2ny0=-b2a2时，kPQ=-mn=-y0x0;

②当k1k2=-b21+2mx0a21+2ny0=γ≠-b2a2时，n=-b2+a2γ+2mb2x02y0γa2，直线PQ在新系下的方程：

mx′-b2x0y0γa2y′=a2γ+b22y0γa2y′+1，过定点D-2b2x0a2γ+b2，-2y0γa2a2γ+b2，点D在原坐标系下的坐标为a2γ-b2a2γ+b2x0，-a2γ+b2a2γ+b2y0.

三、用坐标轴平移解结论为斜率和是定值问题

定理3 已知定点Pa，0，Qa，-mm≠0，经过点Q的动直线l与椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于M，N两点，则直线PM与直线PN的斜率的和为定值2b2am.

证明 以Pa，0为原点，建立新坐标系X′O′Y′，联立新坐标系下的方程x′+a2a2+y′2b2=1，y′=kx′-m，所以b2x′2+a2y′2+2ab2x′kx′-y′m=0.

所以a2y′x′2-2ab2my′x′+b2+2akb2m=0.所以k1+k2=2b2ma为定值.

四、用坐标轴平移解结论为斜率的倒数和为定值问题

定理4 已知定点P0，b，Q-m，bm≠0，经过点Q的动直线l与椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于M，N两点，则直线PM，PN的斜率的倒数之和为定值2a2bm.

证明 以P0，b为原点，建立新坐标系X′O′Y′，联立新坐标系下的方程x′2a2+y′+b2b2=1，x′=ty′-m，所以b2x′2+a2y′2+2a2by′ty′-x′m=0.所以b2x′y′2-2a2bmx′y′+a2+2a2tbm=0.所以1k1+1k2=2a2mb为定值.

五、强化训练

1.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，a>b>0定点A（x0，y0）∈C，（点A不是椭圆顶点），动点Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=γ，①当γ=0时，kPQ=b2x0a2y0为定值，且等于椭圆在A点处切线斜率的相反数;②当γ≠0时，则直线PQ恒过定点D，且Dx0-2y0γ，-y0-2b2x0a2γ.

证明见文[3].

2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，a>b>0 定点A（x0，y0）∈C，（点A不是椭圆顶点），动点Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP·kAQ=γ，①当γ=b2a2时，kPQ=-y0x0为定值，②当γ≠b2a2时，则直线PQ恒过定点D，且Da2γ+b2a2γ-b2x0，-a2γ+b2a2γ-b2y0.

证明见文[4].

3.已知抛物线C：y2=2px，定点A（a，b）∈C，，动点Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=γ，①当γ=0时，kPQ为定值，且等于抛物线在A点处切线斜率的相反数;

②当γ≠0时，则直线PQ恒过定点D，且

D b22p-2bγ，2pγ-b.

4.已知抛物线C：y2=2px，定点A（x0，y0）∈C，，动点Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP·kAQ=γ，则直线PQ恒过定点D，且Dx0-2pγ，-y0.

5.已知定点P-a，0，Q-a，-mm≠0，经过点Q的动直线l与椭圆x2a2+y2b2=1

（a>b>0）交于M，N两点，则直线PM与直线PN的斜率的和为定值-2b2am.

6.已知定点P0，-b，Q-m，-bm≠0，经过点Q的动直线l与椭圆x2a2+y2b2=1

（a>b>0）交于M，N两点，则直线PM，PN的斜率的倒数之和为定值-2a2bm.

更多的练习题见文[5].

参考文献：

[1]刘大鹏.斜率和（或积）为定值条件下圆锥曲线的性质[J].中学数学研究（华南师范大学版），2020（05）：44-45.

[2]耿晓红，郭守静.基于数学抽象核心素养，引导学生变式探究——以一类圆锥曲线定值问题探究为例 [J].中学数学教学参考，2019（10）：60-63.

[3]徐道.一道高考题思考后的思考[J].数学教学，2010（09）：46-48.

[4]刘大鹏. 对2020年高考山东22题的推广与解法的研究[J].数理化学习（高中版），2021（03）：8-10.

[5]姚良玲，杨列敏.一个优美结论的再推广[J]. 中学数学教学参考（上旬），2018（19）：54-55.

[责任编辑：李 璟]