孙维刚的数学教育观与启示

刘艺 赵思林

【摘 要】 孙维刚对数学教育做出了卓越贡献.孙维刚的数学教育观可归结为数学教育的哲理观、“五育”并举的教育观、结构主义的教学观和自组织的学习观.孙维刚的数学教育观对当下数学教育有不少启示：提升教育境界，做到“五育”并举;运用“结构教学”，培养核心素养;渗透数学德育，促进持续发展.

【关键词】 孙维刚;数学教育观;结构主义;启示

数学教育理念是教师对数学教育理想和数学教育观念的统称.孙维刚（1938～2002）（以下简称孙先生）的教育理想是发展和提高学生的智力素质，造就强大的数学头脑，让学生越来越聪明;孙先生的教育观念是指学生通过学习，把外在的知识结构变成内在的认知结构，进而内化为自身的经验结构，最后形成数学核心素养，即把学生培养成“三会”的数学头脑.孙先生的教育观点完全符合当下《中学教师专业标准》的教育理念.孙先生实行的六年教育大循环取得的教育效果从实践上证明其教育观念的先进性和可行性.研究和借鉴孙先生的数学教育观，对数学“五育”和数学核心素养培养都是有益的.

1 孙先生简介

孙先生对数学教育做出了卓越贡献，荣获全国首届苏步青基础教育奖，他曾是北京市第二十二中学的著名特级教师.他致力于数学教学改革和学生核心素养培养，进行了三轮从初一年级至高三年级的大循环教学实验[1]，成效特别显著.三轮实验班近40%的学生考进清华和北大[2].孙先生为什么能成功？他除了高尚师德外，还得益于他有深厚的教育情怀以及以科学、系统、先进的数学教育观念为指导.

2 孙先生的数学教育观

2.1 数学教育的哲理观2.1.1 用哲学的眼光看数学和数学教学哲学是用最普遍的方法思考和研究问题，属于最高级的思维形式，对数学教学和数学学习具有居高临下的指导意义.孙先生善于运用哲学的眼光思考数学和数学教学的问题，他曾说过：“某些与数学看似毫不相干的知识其实和数学以及其他学科都有着深刻的联系，所谓同出一辙.”[3]因为他教的学生学会了举一反三和触类旁通，懂得哲学的思想和智慧，懂得具有普遍性学习方法[4]和解题方法，因此他还通过教数学让学生领悟物理学、化学、生物、语文等其他学科的学法，他的学生不仅获全国数学竞赛大奖，而且也获得化学、物理的全国大奖.孙先生的教学理论有两个假设：一是各学科的思维起点几乎是相同的，如质疑或问题;二是各学科的思维结构、思维规律和思维方法等是相似或相通的.据此可提炼出4种基本学习能力模型：发现研究对象的能力，选择研究角度的能力，认识知识联系的能力，建构知识网络并制作知识联系导图的能力[5].“建构知识网络并制作知识联系导图”实质上是学生形成了相关学习内容的认知结构.因此，这4种学习能力可简化为：发现研究对象（问题），选择研究角度（探究），建构知识网络（知识），形成认知结构（经验）.这4种学习能力也是一种数学思维经验的生成路径，即从发现研究对象的过程中捕捉问题，由问题引发对数学问题的多角度探究，由探究获得知识进而建构知识网络，最终把形成的认知结构变为自己思维的经验.从而，此生成路径可简化为“问题—探究—知识—经验”.用哲学的眼光看，这个生成路径其实包含了数学知识和数学经验的生成模式.

2.1.2 用辩证唯物主义的观点看数学和数学教学辩证唯物主义有四大观点：“世界是物质的”（物质性），“物质是运动的”（运动性），“运动是有规律的”（规律性），“规律是可认知的”（认知性）.辩证唯物主义这四大观点用到数学里，就得到“世界的物质性”对应于“数学起源于现实”，因为数学是对现实世界的抽象;“物质的运动性”对应于“数学里变量、函数变化观点”;“运动的规律性”对应于“数学思维的规律性”和“数学关系的规律性——公理、定理、公式、法则等”;“规律的认知性”对应于“数学是可认知、可探究、可发现的”.如果把辩证唯物主义观点用到数学教学里，则可得到数学教学应基于现实情境或问题，教学过程是一个多变量参与的、复杂的动态系统，数学教学应遵循教学规律、学习规律和认知规律，数学教学应提倡认知学习、自主学习、探究学习和发现学习.孙先生在教学中适时地把一些辩证唯物主义观点介绍给学生，其目的是让学生了解数学与辩证唯物主义的内在联系，提升数学思维的境界和品质.孙先生认为，学生若从系统、变化、联系、规律、认知的观点看数学，学生就会把数学的知识、方法、思想看成“森林”中充满生命活力的“树木”.这样一来，数学的知识、方法、思想就像“树木”和“森林”一样迸发生命活力.“森林”即系统，数学亦即系统，数学教学仍是系统.因此，数学教学是系统的教学，数学学习是系统的学习.对数学中每个概念、定理、公式等我们都站在系统的高度来教、来学，这样就易教、易学了.由数学的统一性、和谐性知，数学中的不同知识、方法、思想往往具有“普遍联系性”，数学的发展一般是先发现事物的特殊结论，然后给予论证，再将得到的结论去推广、认识事物的一般情况.2.1.3 用“方法论”看待和处理数学和数学教学中的问题方法论是关于方法的学问，是“按规律办事”的规律，是通式通法.孙先生因为总是站在哲学和“方法论”的高度进行数学思考和数学教学，所以他能够教授数学中的通用方法，并能掌握数学教学的普遍规律.孙先生重视方法论的教学，善于讲方法的方法，讲普遍、通用、朴实、自然的数学方法，不太看重一招一式，也不拘限于一招一式，非常重视数学思想方法的渗透，一直强调对知识的深刻理解代替反复练习[6].孙先生认为，教学要反映知识间的联系和规律，世界上各种事物的内部和外部都存在着各种各样的联系，人类归纳、总结这些联系和联系中的规律，就得到了知识结构[7].因此，孙先生常给学生创造“发现问题”“敢提问题”“会提问题”的机会，并让学生学会“向知识提问”“向数学方法提问”的方法.他把中学数学的全部知识和解题方法总结为4个大规律、15个中规律、30个小规律[4]，真是把整个中学数学讲“薄”了、学“薄”了，这显然有利于学生理解、掌握和运用这些规律去解决问题，积累解决问题的经验.孙先生指出：“真正可靠的解题思考规律的形成，应当是在‘多解歸一基础上，即在挖出一道题目的不同解法的共同点的基础上，再比较一批题目各自的共同点，发现它们的共同点的一致性，从而形成普适性的解题思考规律.”[8]他为学生指明了数学解题的“三求”境界：“求熟悉（一题多解），求共性（多解归一），求规律（多题归一）”.

2.2 “五育”并举的教育观

“教”与“学”是手段与目的的关系，教是手段，学是目的，教为学服务.“教学”与“教育”也是手段与目的的关系，教学是手段，育人是目的，教学为教育服务.教学和教育的本质都是育人.孙先生不为教学而教学，而是以教育为目的，并真正落实“五育”（德智体美劳），让学生在品德素养、智力素养、身心素养、艺术素养、劳动素养等方面得到全面而优异的发展.

孙先生认为德育居“五育”之首，具有统领“五育”之作用，并用自己高尚师德“润物细无声”地影响着学生，秉持“先做人，再做学问”的育人原则，致力于把学生培养成品德高尚、学问优良的人.孙先生当班主任确立的建班方针是“做诚实、正派、正直的人;做有远大理想（为人民多做贡献）的人;做有丰富感情（使别人生活得更幸福）的人.”[9]关于智育，孙先生认为知识是需要的，但更需要的是驾驭知识的能力，其本质是高超的思维水平，是智力素质[10].他将课堂作为发展学生智力素质的主渠道，从以知识为目标转移到造就一个强大的头脑，把不聪明的孩子变聪明起来，让聪明的更加聪明[11].孙先生的教学自始至终是将学生思维的发展和培养放在首位，他经常说：聪明的头脑要有高水平的思维，高水平的思维是在传输和汲取人类智慧结晶的知识的教与学中形成的[4].孙先生特别重视体育，他用数学、物理学等知识教同学们游泳、打篮球、打排球和练田径的技术和原理，组织班内小组间的篮球赛、带全班去游泳，每天放学后女生要跑800米，男生跑1500米.美育方面，孙先生讲音乐理论，演奏器乐，教大家唱歌、排练合唱，每年举行文艺演出等[12].孙先生每天和学生一起扫地、擦桌子，大扫除就抢着干脏活，带动学生积极参与劳动、师生抢着劳动，逐步形成了劳动光荣、热爱劳动的良好风尚.由此可见，孙先生是实践“五育”的典范.

2.3 结构主义的教学观

数学教学的重要目的在于让学生建构良好的以数学“四基”为素材的认知结构.数学是一个严谨的体系和完整的结构.“数学是研究结构的科学”，数学的主要研究对象是代数结构、序结构、拓扑结构.孙先生的教学注重站在系统的高度，揭示知识的本质与联系，强调学习以知识为载体，把思维能力的提高、数学素养的发展和完善作为根本目的，以造就数学的头脑.孙先生由多年教学改革实验总结提炼出“结构教学法”——使知识规律和学生认知规律得到融洽结合，使知识学习和能力培养、素养发展得到同步向前的教学结构[7].“结构教学法”可提炼为结构主义的教学观.

学生从外在知识结构通过教与学获得认知结构，需要通过同化或顺应过程.把知识变成学生的认识，一定要符合学生的认知规律.从知识结构到认知结构，需要遵循教学逻辑、学习逻辑和认知逻辑.教学逻辑在照顾学情的前提下，以相关的教学理论、教学模式、教学方法指导教学目标的达成;学习逻辑和认知逻辑应体现主体参与、操作感知、意义建构、认知理解、知识迁移、形成图式等大脑内部加工过程.因此，教学逻辑和学习逻辑的遵守需要考虑认知冲突的设计、学习动机的激发和学生深度思维的参与，还要考虑学习材料的组织及呈现的时机和方式.

数学认知结构是个体经历心智操作和心力操作后获得的数学经验系统.数学经验是指个体理解并记住了的数学信息[13].数学学习是新旧经验互动、调适、内化并增值成数学素养的过程[14].数学核心素养是个体对数学经验系统的反思、改造、完善的结果.数学核心素养形成的标志是在数学经验系统基础上生成“三会”素养结构.“三会”素养概括了数学核心素养的精髓：会用数学的眼光（即抽象、一般性地看问题）观察世界;会用数学的思维（即逻辑思维和非逻辑思维）思考世界;会用数学的语言（即数学话语系统，包括数学模型）表达世界.其实就是一个人看问题、思考问题、解决问题的习惯，这些是学生经历数学思维活动之后的积淀[15].

在结构主义教学观指导下，孙先生不搞题海战术，不搞猜题押题，不加课，不占用双休日，甚至不给学生留书面家庭作业，而是充分体现了李大潜院士推崇的“少慢精深”的教学观.“少”，即由多化少，由薄到厚;“慢”，即细咽慢嚼，反复思考;“精”，即精讲精练，吸收精华;“深”，即深度学习（思维），深入浅出.孙先生往往在一节课里只讲一道题，这道题是他先下“题海”，即先做10道题，从中精选出一道思维价值高、代表性强、精彩纷呈的“好题”，要求学生想出尽可能一题多解，达到熟练;然后再带领学生发掘不同解法的共同本质和必经之路，即多解归一;最后总结一些题目的共同特点，抽象出思考规律，即多题归一[4].对于讲题，孙老师认为要讲出解题步骤是“怎么想出来的”，否则对提高学生的解题能力效果不大，甚至起消极作用[5].孙先生经常采用“一题多解、多解归一、多题归一”的教学方式.如“一元一次方程的应用”的教学，孙先生只用了一个例题，并对此例题采用多种角度的思考，得到9种解法;引导学生认识：发现代数的方法（列方程的方法）包含了算术的方法，将算术法和代数法很好地结合起来;此外，在他的例题中还自然而然地列出了分式方程[10].在教学中，孙先生还鼓励学生对任何细节都追根溯源，并使其成为根深蒂固的习惯.如，有学生问“为什么要给整数和分数的总体起名为‘有理数”时，他会耐心、科学的解释到“这是历史上日本人的一个错误翻译，rational number中的rational应该译它的第二个意思：能写成两个整数之比的，而不应译作合理的，因此整数和分数的整体名为‘可比数更令人信服.”孙先生不仅没有扼杀学生的思维，而且抓住了爱国主义教育机会[3].很多教师会认为，上述“错误翻译”与数学无关;但孙先生认为，这样做可以加深学生对数学概念的理解，并能收到数学育人的效果.

此外，孙先生把初中数学和高中数学看成一个整体，视为一个更大的结构，并对初、高中数学大循环系统做了无缝衔接.孙先生在推进素质教育难以前进的大背景下，统筹整个中学数学教材，鼓足承担教学改革风险的勇气，实施了初一到高三的大循环教学，使得初、高中數学上下贯通，有机衔接.用半年多一点儿的时间，学完初中三年全部数学，同年参加中考数学，班平均成绩超各校初三班级平均分12分之多;还在初中提前学完高中课程，在高中还讲了不少大学数学知识.这是典型的不只是为考试而教，而是为学生今后有更大发展而教的先进理念.

2.4 自组织的学习观

“自组织”是大自然最普遍的规律之一.从而，“自组织”也是学习之“道”.人的学习需要“他组织”，但从本质上讲更需要“自组织”，或者说最需要“自组织”.人类的学习是一个“熵减”的过程.系统论认为，“自组织”是个体学习数学达到“熵减”目的的最好方法之一.孙先生科学地运用了这一学习之“道”.其具体做法是，强调激发学生的内部学习动机;引导学生主动探索并发现课本上没有的知识、方法和规律，并利用各种条件给学生创造自主学习、合作探究的机会;逐渐形成学生“想”在老师前面、“做”在老师前面、“说”在老师前面、“写”在老师前面的自主学习的学风;逐渐养成自我管理、自主学习、自我监督的良好习惯.

通过理想信念教育，激发学生的学习动机.“远大理想将产生刻苦学习的强大动力;反过来智力素质提高，使人看得远，有助于形成正确的人生观，提高思想品德素质.”[5]孙先生认为，让学生把“要我学”变为“我要学”能有效激发内部学习动机，进而养成自主学习的良好习惯.孙先生每接手一个新班都会花一周左右时间进行入学教育，其重点是让学生树立“为人民多做贡献”的理想和信念，因为这是让学生产生自信力、意志力、行动力、坚持力的不懈动力源泉.

给学生创造自主探索的机会，指导学生们自己动手去发现、归纳、证明、总结、完成.在教学中孙先生想尽办法培养和激发学生学习的欲望和探索精神，让学生积极参与教学，充分思考;鼓励学生勇于探索、求异创新、发散思维、各抒己见，锻炼多向思维;又在求异思维的基础上，注意概括，锻炼求同思维[5]，促进了学生之间才智的相互欣赏和借鉴.孙先生对学生有两个要求：一是超前思维，向老师挑战.他要学生时时抢在老师前面，猜想定理的结果.如果师生之间有分歧或想法与教材有分歧，就要试着去推翻老师或教材的结论.二是不做只会摘取果实的人.对每个定理、每个公式都要求自己动手归纳、推导、证明，经历过程，熟知坎坷.孙先生坚持学生自己去解每道例题，自己证明每个定理，自己推导每个公式.这实质上是让学生“自组织”地学习、思考和解决问题.

3 思考与启示

3.1 提升教育境界，做到“五育”并举

教学和教育的本质都是育人.因此，“为育人而教”“为育人而学”是数学教学应有之道.育人的目的在于“五育”，即修德、启智、强体、善劳、爱美.“五育”就像五支“火箭”，能够提升学生的品位、品质和德性，助推学生全面、协调、可持续地发展.通过发展学生的数学素养，去激活学生“五育”的慧根.用系统的观点和方法去建构数学的知识结构、认知结构、经验系统和素养系统，让学生会用系统的眼光看数学、看“五育”，会用系统的思维思考数学之道、思考“五育”之术，真正做到“五育”协调发展、共同进步.

3.2 运用“结构教学”，培养核心素养

“结构教学法”对当下的课改和教学仍具指导意义和可操作性.孙先生的“结构教学法”实质上是以知识结构为起点、以认知结构和经验系统为内在心理机制为中介、以素养生成为目标的教学，形成了“知识结构→认知结构→经验系统→‘三会素养”的“结构教学法”.其中，“知识结构”不是一个一个知识点的简单（机械）堆砌，而是以“核心知识”“基本技能”“通用方法”“普适思想”为支柱构建的“知识结构”.“认知结构”是外在“知识结构”与个体内部“数学经验”互动、融合的结果，并且“认知结构”遵循“四重逻辑”（即“知识逻辑”“教学逻辑”“学习逻辑”“认知逻辑”）的约束.即是说，理想的数学教学应在数学的严谨性（系统性）与“学生的学习能力、认知加工能力及可接受性”之间把握好平衡.布鲁纳的“结构教学”和孙先生的教学实践（实验）都表明，结构教学法有利于让学生系统地理解数学知识，系统地掌握数学方法，学会用系统的眼光和系统的思维去分析问题、解决问题，最终生成数学核心素养即“三会”素养.

3.3 渗透数学德育，促进持续发展

只有通过“德育”，才能坚定理想信念，才能确立人的正确发展方向，才能给人的长远发展提供不懈动力.“德育”居“五育”之首，具有统领其他“四育”的作用，即是说，“德育”是其他“四育”的“推动机”.反之，其他“四育”是实现“德育”的载体.事实上，“德育”里面讲要晓之以“理”，这个“理”包括哲理、数理、物理、生理、心理和地理，當然也包括各门学科中的理论、道理和规律，由于“道”和“德”都是研究并揭示万事万物的普遍规律或特殊规律的，因此，如果不懂得这些“理”，那么就难以或无法得到“道”和“德”.“德育”强调身心健康，重视修身养心，这实质上就是完善的体育.“德育”重视劳动教育，提倡体力劳动与脑力劳动相结合，数学正好可以做到体力劳动与脑力劳动的结合.“德育”提倡以美育德，以美育人.“德育”的实施需要良好方法，显然各学科的教学就是渗透德育的有效途径.渗透数学德育，对学生增强持久学力和持续健康发展是必要的、可行的.教师具有高尚师德是“身教”的必要条件，教师从各个方面（包括数学及教学）修德获德，就能让学生“明明德”，就能起到修德的楷模作用，就能潜移默化地影响和教化学生.

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