旋转目标的多星协同近距离姿轨耦合控制*

徐影 张进

（国防科技大学空天科学学院，长沙410073）

引言

以航天器救援与延寿、碎片清理等为代表的在轨服务［1-3］任务，是航天事业的重要发展方向，而近距离操作是在轨服务的关键环节.由多颗小卫星协同完成近距离操作，在完成任务效率、灵活性、故障风险等方面相对单服务星操作方式具有优势.在失效卫星或碎片的近距离操作任务中，目标有可能在进行高速旋转，给近距离操作带来了更大挑战.

对旋转目标的多星近距离快速绕飞与逼近吸附是实施上述操作的基础.短时间内对目标进行全方位观测，获取目标的三维立体图像并确定可吸附视线特征点，需要观测星进行快速绕飞，以此为后续逼近吸附提供保障.而旋转目标的逼近吸附作为在轨服务任务中一项非常关键的技术，不仅需要对逼近星的相对轨道进行控制，以接近目标吸附端口，而且由于目标旋转其吸附端口随本体运动，还需要对逼近星的相对姿态进行控制，使其对接端口始终对准目标吸附端口.由此可见，逼近星逼近吸附旋转目标的过程中，相对姿态和相对轨道是耦合的.

近年来，对于卫星近距离操作相对位置和姿态耦合的控制已有一定的研究，其中有部分专门针对单服务星姿轨耦合控制的研究，如刘昱晗［4］基于视线坐标系下的姿轨一体化动力学模型，将滑模变结构控制、反步设计法和界限Lyapunov函数相结合设计了滑模干扰观测器，能有效抵抗外界未知干扰提高系统鲁棒性；吴云华［5］等人在双星编队控制中，考虑初始和终端状态约束、物理结构约束和太阳规避约束等，结合最优控制和高斯伪谱法，将连续推力离散化转成非线性规划问题；刘将辉［6］考虑追踪器与失控翻滚目标的相对位置和姿态耦合作用，采用滑模控制与径向基函数网络方法，实现安全快速逼近翻滚目标；张庆展［7］等基于相对状态误差矢量，建立了姿轨耦合误差动力学模型，考虑未知有界干扰和对接装置的安装部位等因素，设计了相对姿轨一体化耦合控制律.也有专门针对多星轨道设计优化的研究，如许丹丹［8］针对空间目标绕飞详查问题，分析了6颗卫星分布在3个轨道上和4颗卫星分布在4个轨道上两种轨道设计方法，可实时全覆盖观测目标；张玉琨［9］对卫星编队的轨道设计进行了详细的研究，从编队飞行的动力学分析和运动学分析探讨了卫星编队的构成机理，同时分析了考虑摄动椭圆轨道上的编队轨道设计；赵照［10］基于地球同步轨道卫星的多星近距离接近任务，对与目标星异面的巡查星采用面内修正轨道方法，建立了基于共面机动的多星近距离接近任务规划模型.但是目前针对多星协同姿轨耦合控制的研究还较少，多星协同操作在带来更高效率与任务完成能力的同时，其组织与管理远较单航天器在轨操控复杂，其姿轨耦合控制、规划协调等技术更加困难，也有更高的要求，需要对其进行深入研究.

针对以上问题，本文考虑观测星的期望姿态指令由当前相对轨道位置决定的控制指令耦合关系（期望姿态随轨道的变化而变化），逼近星的期望姿态要求与旋转目标姿态同步，通过期望绕飞坐标系的建立，设计了适用于空间任意方位的期望绕飞平面.考虑多星协同近距离操作的轨迹安全性，分析设计了基于姿态误差反馈的比例-微分控制律，以及基于引力势函数与障碍物斥力势函数相结合的混合人工势场法，能够对旋转目标安全快速绕飞观测及同步逼近.通过数值仿真验证了所提方法的有效性.

1 动力学模型

假设目标模型为由一个立方体主体加两个薄的长方体形太阳帆板组成，观测星和逼近星均由一个立方体主体组成，如图1所示.obxbybzb为目标星本体坐标系，其中，目标星质心ob为坐标原点，obxb轴、obyb轴和obzb轴分别沿着目标星立方体主体的长、宽、高方向.obbxbbybbzbb为逼近星本体坐标系，其定义与目标本体系定义类似.

图1 目标星和观测（逼近）星几何模型Fig.1 The geometric model of target and observation（approaching）satellite

其余坐标系的定义如图2所示.OXYZ为地心赤道惯性坐标系，其中地心O为坐标原点，OX轴在赤道平面内由地心指向春分点方向，OZ轴垂直于赤道平面指向北极方向，OY轴由右手法则确定.ooxoyozo为目标星轨道坐标系，其中目标星质心oo为坐标原点，ooxo轴沿着目标星的地心失径r→t方向，oozo轴沿着目标星轨道动量矩矢量方向，ooyo轴由右手定则确定.ogbxgbygbzgb为观测星的本体坐标系，其定义与逼近星本体坐标系定义类似.

图2 坐标系统Fig.2 Coordinate system

1.1 相对轨道动力学模型

假设目标星轨道为近圆轨道，不考虑摄动力的影响，在目标星轨道坐标系中描述两卫星间的相对运动，线性化得到一组常微分方程，该方程称为Clohessy-Wiltshire（即C-W方程），具体表达式为［11］

式中，n为目标星的平均轨道角速度，[ax，ay，az]T为施加在卫星上的控制加速度在目标星轨道坐标系三轴方向上的分量.

定义相对运动状态矢量X=[r，v]T=[x，y，z，ẋ，ẏ，ż]T，式（1）可改写为

1.2 相对姿态动力学模型

卫星本体系由地心惯性坐标系按照3-2-1（即z-y-x）的转序旋转得到，欧拉角依次为偏航角ψ、俯仰角θ、滚转角ϕ.用欧拉角描述卫星姿态形象直观，然而在研究大角度姿态机动时却容易产生奇异，四元数则不会出现奇点，且表示的运动方程形式简单 .因此用四元数q=[q0，q͂]T=[q0，q1，q2，q3]T来描述卫星姿态，q0为四元数标部，q͂为四元数矢部，其姿态运动学方程为

式中，J为卫星的转动惯量，To为卫星所受的外界干扰力矩，Tg为卫星所受的重力梯度力矩，Td为施加在卫星上的期望控制力矩.

2 观测逼近协同任务设计

观测星与逼近星协同对旋转目标进行近距离绕飞与逼近的场景如图3所示.三颗观测星分布在三个绕飞轨道上，轨道平面夹角为45∘，两颗逼近星对称分布在目标星两侧.任务要求观测星观测设备视线轴始终指向目标星质心，且观测星在绕飞过程中成功躲避其它卫星防止碰撞保证安全性，逼近星在逼近旋转目标的过程中姿态保持与目标星同步，避免目标星旋转对逼近安全性造成的影响.

图3 观测逼近协同任务场景图Fig.3 Observation approximation cooperative mission scene graph

2.1 期望轨道

（1）快速绕飞

为便于设计期望绕飞平面，首先定义绕飞坐标系，如图4所示.绕飞坐标系orxryrzr由目标星轨道坐标系ooxoyozo按照3-2的转序旋转得到，旋转角依次为α、-β.因此从目标星轨道坐标系到绕飞坐标系的转换矩阵为

图4 绕飞坐标系Fig.4 Flying around coordinate system

假设卫星在绕飞平面内绕飞角速度不变，则绕飞相位角φ表示为

式中，φ0为初始绕飞相位角，ωr=2π/Tr为绕飞角速度只与绕飞周期Tr有关.绕飞平面内表示的期望相对位置单位矢量为

在目标星轨道坐标系中表示的期望相对位置矢量为

式中，ρd为期望绕飞半径.

（2）逼近吸附

与绕飞段求解期望轨道不同的是，逼近吸附段的期望相对位置矢量不再是可以设计的量，而是与旋转目标的姿态运动有关，逼近的目标表面视线特征点位置随目标的转动而不断变化.假设两个视线特征点关于目标星质心对称分布，在目标本体系下位置矢量为和.

惯性参考系到目标本体系的姿态转移矩阵为

式中，qt为目标星的姿态四元数.逼近星在目标轨道系的期望位置矢量表示为

式中，ρcd为逼近星与目标星期望的最终停止距离，=()T为目标本体系到轨道系的转移矩阵.

2.2 期望姿态

在绕飞过程中观测星姿态要求观测设备视线轴始终指向目标星质心，假设观测星观测设备视线轴和体坐标系x轴重合，则期望姿态本体系对应的三轴单位矢量在目标星轨道坐标系下表示为［12］

由目标星轨道坐标系到观测星期望姿态本体系的转移矩阵为

则由地心惯性系到观测星期望姿态本体系的转移矩阵为

联立式（9）和式（13）反解可得到观测星期望姿态四元数.

同时，由于目标星位于观测设备视场中，观测星自身也需旋转，其旋转角速度等于rd的旋转速度，由瞬时角速度的概念可得出期望的旋转角速度和角加速度：

3 控制方法

3.1 基于比例微分控制器的姿态控制

实际姿态四元数与期望姿态四元数的误差、实际姿态角速度与期望姿态角速度的误差是姿态反馈控制的关键.定义q为姿态本体系相对地心惯性系的姿态四元数，qd为期望姿态本体系相对地心惯性系的姿态四元数，qe为姿态本体系相对期望姿态本体系的误差四元数.由四元数运算法则可得误差四元数的表达式为［13］

式中，“⊗”为四元数运算算子.由式（15）可知，当姿态本体系与期望姿态本体系重合时，误差四元数qe=[±1，0，0，0]T，即控制目的是使误差四元数标量部分为±1，矢量部分为0.则由误差四元数可得期望姿态本体系到本体系的姿态转移矩阵为

式中，ω为当前姿态角速度，ωd为期望姿态角速度.由误差四元数和误差角速度可得期望控制力矩为

式中，KP为比例控制参数，KD为微分控制参数.

3.2 基于人工势场法的轨道控制

（1）引力加速度

引力加速度是由期望位置引力场产生的控制加速度，引导观测星从初始位置运动到终端期望位置.引力势函数及引力加速度的具体表达式详见参考文献［11］.

（2）斥力加速度

斥力加速度是由障碍物斥力场产生的控制加速度，目的是避免卫星与障碍物发生碰撞.当卫星与障碍物之间的距离小于安全距离时，斥力场产生斥力加速度迫使卫星远离障碍物.避撞控制区域及障碍物对卫星的斥力加速度求解见参考文献［11］.

4 仿真分析

假设目标星运行在圆轨道上，轨道半径为7158.140km，目标星与观测逼近星的尺寸参数设置如表1所示.目标卫星转动惯量为J=diag(1，1，1)× 103kg ⋅m2，三颗观测星和两颗逼近星有相同的转动惯量J=diag(8，8，8)kg ⋅m2，控制器参数KP=1.0，KD=-1.0.设定观测星绕飞周期为600s，绕飞半径为20m，逼近目标表面视线特征点位置为=[1，0，0]Tm，=[-1，0，0]Tm，逼近星最终停泊位置距目标1.2m，要求逼近星最大相对速度vmax≤1.0m/s，最大控制加速度amax≤0.1m/s2.仿真时间为700s，仿真步长为0.1s.各卫星的姿态参数设置如表2所示，轨道参数设置如表3所示.表中ObS代表观测星（Observation Satellite），OpS代表逼近星（Opproaching Satellite）.

表1 目标星与观测逼近星尺寸参数Table 1 Parameters of target and Obs(Ops)

表2 初始姿态参数Table 2 Initial attitude parameters

表3 初始轨道参数Table 3 Initial orbit parameters

设计观测星1对观测星2和观测星3进行避撞机动，观测星2对观测星3进行避撞机动，观测星3不对观测星1和观测星2进行避撞机动.三颗观测星与两颗逼近星的总体运行轨迹如图5所示，两颗逼近星单独的运行轨迹如图6所示.由这两幅图可知，三颗观测星由起始点出发平滑地过渡到期望绕飞平面上沿着预定轨迹运行，并且观测星1和观测星2能够成功躲避其它观测星避免碰撞.两颗逼近星对称逼近到目标表面期望停泊位置，由于目标旋转，逼近星轨迹为弧线.

图5 观测星与逼近星总体运行轨迹Fig.5 The overall trajectory of Obs and Ops

图6 逼近星运行轨迹Fig.6 The trajectory of Ops

图7-12为三颗观测星的相对位置及相对速度变化曲线.从这些图中可以看出，除初始阶段外，在100s～200s和400s～500s之间观测星1和观测星2相对速度有两处变化较大的地方，这两处正是由于避撞机动所产生的速度变化，而观测星3不施加避撞机动，因此相对位置和相对速度曲线相对平滑，与图5中观测星绕飞轨迹相吻合.

图7 观测星1相对位置变化曲线Fig.7 Relative position variation curve of Obs1

图8 观测星1相对速度变化曲线Fig.8 Relative velocity variation curve of Obs1

图9 观测星2相对位置变化曲线Fig.9 Relative position variation curve of Obs2

图10 观测星2相对速度变化曲线Fig.10 Relative velocity variation curve of Obs2

图11 观测星3相对位置变化曲线Fig.11 Relative position variation curve of Obs3

图12 观测星3相对速度变化曲线Fig.12 Relative velocity variation curve of Obs3

图13为绕飞过程中三颗观测星相互之间的距离，从图中可看出，三条曲线均在设定的安全线之上，说明运行过程中三颗观测星没有发生碰撞，证明了规避机动控制律的有效性.图14-16为三颗观测星的控制加速度变化曲线.观测星1和观测星2加速度曲线均有三处变化明显的地方，其中初始阶段观测星要捕获期望轨道，所以加速度变化迅速，中间两个时刻均为碰撞规避机动时产生的加速度.而观测星3只在初始捕获期望轨道时加速度较大，捕获到期望轨道后以较小的加速度运行，中间时刻没有避撞机动，所以加速度变化相对较小.

图13 观测星之间的距离Fig.13 The distance between different Obs

图14 观测星1控制加速度变化曲线Fig.14 Acceleration variation curve of Obs1

图15 观测星2控制加速度变化曲线Fig.15 Acceleration variation curve of Obs2

图16 观测星3控制加速度变化曲线Fig.16 Acceleration variation curve of Obs3

以观测星1为例展示姿态控制仿真结果.图17-图18为观测星1的姿态角和姿态角速度的跟踪曲线图，由图可知，在15s内，不论是姿态角还是姿态角速度实际值均能快速收敛到期望值，跟踪效果较好.

图17 观测星1姿态角变化曲线Fig.17 Attitude angle variation curve of Obs1

图18 观测星1姿态角速度变化曲线Fig.18 Attitude angular velocity variation curve of Obs1

图19-图20为观测星1误差四元数和误差角速度变化曲线，从图中可看出误差四元数标量部分迅速收敛到1并保持不变，同时矢量部分快速收敛到0，而误差角速度的三个分量均快速收敛到0，与图17和图18结果相吻合，说明姿态控制达到了期望的效果.图21为观测星1的控制力矩变化曲线，除初始时刻捕获期望姿态需要较大的控制力矩外，只在碰撞规避机动时有较小的变化幅值，其余时刻控制力矩均较小.

图19 观测星1误差四元数变化曲线Fig.19 Error quaternion variation curve of Obs1

图20 观测星1误差角速度变化曲线Fig.20 Error angular velocity variation curve of Obs1

图21 观测星1控制力矩变化曲线Fig.21 Control rejection variation curve of Obs1

图22-图23为逼近星1的相对位置和相对速度变化曲线图.从这两幅图中可以看出，在550s左右，逼近星相对位置三分量收敛到固定值并保持不变，逼近星相对速度三分量收敛到0，且在整个逼近过程中相对速度各分量均小于允许的最大相对速度1.0m/s，说明逼近星按照要求到达设定的目标表面视线特征点位置.

图22 逼近星1相对位置变化曲线Fig.22 Relative position variation curve of Ops1

图23 逼近星1相对速度变化曲线Fig.23 Relative velocity variation curve of Ops1

图24为逼近星相对目标星的距离变化曲线，逼近距离最终收敛到期望距离并保持稳定，与图22-图23结果相吻合.图25为逼近星1的控制加速度变化图，在初始时刻捕获期望轨道需要较大的加速度外，其余时刻均以较小的加速度逼近目标星，且逼近过程中加速度值小于允许的最大加速度值0.1m/s2满足要求.

图24 逼近星1逼近距离变化曲线Fig.24 Approaching distance variation curve of Ops1

图25 逼近星1控制加速度变化曲线Fig.25 Acceleration variation curve of Ops1

5 小结

本文主要对旋转目标的多星协同近距离绕飞观测与逼近吸附姿轨耦合控制问题进行了研究，采用基于误差反馈的比例-微分控制律进行相对姿态控制，采用基于人工势场法的控制律对相对轨道进行控制.仿真结果表明：

（1）在相对姿态的控制过程中，观测星与逼近星实际姿态角和实际姿态角速度均快速成功地跟踪上期望值，且跟踪效果较好.

（2）三颗观测星从非绕飞平面内的初始位置快速平滑地过渡到期望绕飞平面沿预定轨道运行，并且绕飞过程中成功躲避与其它卫星的碰撞，保证了轨迹的安全性；在观测星测量信息支持下，两颗逼近星对称逼近到目标表面特定位置，且逼近过程中相对速度和加速度始终满足允许的最大值要求.