基于深度学习的教学设计——以《椭圆的定义》为例

（深圳市华中师范大学龙岗附属中学 广东·深圳 518172）

我们这个时代是人工智能的时代，人工智能理论中的重要理论就是机器学习，如何让机器像人一样学习，深度学习是机器学习的一种。在高中数学的教学中，我们不可能像训练机器一样去训练学生，但是深度学习的理念对数学教学有指导性的意义。笔者在《圆锥曲线》这一章的教学中尝试用深度学习的理念设计课堂，取得一定的效果。

1 为什么引入深度学习理念

所谓的深度学习，是个体发展认知素养、人际素养和内向素养，逐步能够将某一情境中所学知识应用到新情境中（迁移）的过程。深度学习更加关注对知识的理解、解释、释义、运用、洞察、移情和自我认识，这样的学习才能真正体现知识的价值。深度学习强调知识的迁移和应用，把知识应用到具有挑战性的内容中去，这是符合我们这个时代的要求，学以致用。

在过去的教学中，我们一直围绕培养学生对知识的知道、领会、应用，学生一直遨游在抽象的数学世界里，学到的东西同真实生活割裂开来，知识难以迁移。在这种情况下，学生经常会问，“我们学到这些知识有什么用？”这种学习模式下，学生的学习是浅层的，是很难进行深层次的知识学习、理解与应用的。

《普通高中数学课程标准》（2017年版）对高中数学的课程目标和价值这样描述：“通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提高创新意识，认识数学的科学价值、应用价值和审美价值。”这和深度学习的价值理念联系紧密，深度学习可以成为实现学生核心素养的目标达成的重要途径。但是对于如何借助于深度学习理念改变目前课堂教学的方式的研究很少，老师受过去教学传统的影响很深，实现转变需要时间；同时用深度学习理论设计的课堂结构的设计还处于探索阶段，亟待设计一套把深度学习理念和高中数学教学传统深度融合的课堂教学方法。

2 利用深度学习观点设计《椭圆的定义》的课程目标

2.1 《椭圆的定义》学习目标

（1）通过查找数学史资料了解椭圆的实际背景和应用，总结椭圆的不同形成过程，思考不同形成过程之间的关系，感受椭圆的发现之美；

（2）尝试应用课本定义制作椭圆画法实验装置，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义；

（3）尝试改变实验参数，观察椭圆的变化情况，利用控制变量的方法分析各参数对椭圆的影响；

（4）利用已有图形构建形成椭圆的装置，从不同的图形形成椭圆，并思考所形成图形的合理性；

（5）探索圆锥与椭圆的关系，尝试证明圆锥形成的椭圆与椭圆定义所形成椭圆具有相同的性质。

2.2 课堂过程预设

3 课堂过程展示

3.1 深度学习的课前准备过程

（1）阅读网络资料和书籍，了解椭圆与圆锥的关系。阅读《古今数学思想》和阿波罗利斯《圆锥曲线论》相关内容，读数学史知识，发现知识之间的关联和演变过程，思考圆锥与椭圆的关系，为后面发现和推演椭圆的定义作准备。

（2）准备实验仪器，可以参照课本，也可以自主设计画出圆锥曲线的装置，演示椭圆的画法。准备实验仪器，为开展实验准备，同时锻炼学生动手能力，激发学生参与的热情，鼓励学生发现和发明。

（3）思考数学实验背后所蕴含的原理，思考椭圆画法中数学特性，用数学语言表述，开展数学研究，发现实验现象的本质。

3.2 课堂实录

环节（1）：分享课前准备成果。

师：同学们，我们今天来学习圆锥曲线这个章节，先请同学们展示课前准备的有关圆锥曲线的知识。

活动：学生展示课前学习的成果，回答同学们的问题。

深度解读：深度学习第一步，深度拓展视野。开展深度学习前提是知识的储备，设计此环节就是锻炼学生的检索资料的能力，借助已有资料开展课前深度研究。知识的学习中，不仅仅学习书本知识，更要对课本以外的知识了解和研究，知道知识从哪里来，如何发展，已经有的成果。

环节（2）：在圆锥上发现椭圆。

师：通过刚才的分享，我们发现椭圆在现实生活中的用处很大。今天我们重点研究椭圆，椭圆和圆锥有怎样的关系？

生：观察课本前面挂图，我们会发现用一个平面去截圆锥会得到一条曲线，这条曲线是椭圆。

师：这位同学非常善于观察和联想，发现知识的关联。现在请思考具有什么样的特性的曲线是椭圆？

环节（3）：利用实验装置画出椭圆。

师：下面大家可以展示你设计的实验装置，演示完成后请说明设计实验的设计的原理和灵感。

活动：学生展示实验装置，并对实验装置进行说明，为同学们答疑解惑。

深度解读：深度第二步，深度实验研究。通过实验展示数学的原理，在操作中学习和思考，在简单的动手实验体会知识生成过程，锻炼学生动手能力，也为后面探究提供实物装置，把抽象的探究具体化，加深学生学习印象，激发学生学习的兴趣。

环节（4）：实验条件探究。

师：在这些装置中最容易实现的是利用一动点和两定点距离之和为定值，我们把这样形成的曲线称为椭圆，下面我们探究这个装置中能够形成椭圆的条件。

生：在点运动的过程绝大多数情况下动点和两定点能形成三角形，这样才能画出椭圆，所以要形成椭圆，必须满足定值大于两定点间的距离。

师：若定值等于两点间的距离时，这时点在什么地方运动？

生：这样的点在两定点间的线段上运动

师：若定值小于两点间的距离时，这时点在什么地方运动？

生：这样的点不存在。

师：在满足轨迹是椭圆的条件下，也就是定值大于定点间的距离时，决定椭圆的形状的因素有哪些？可以改变实验装置中的量，再重新画图试试，然后总结规律。

生：椭圆的形状决定于定值和定点间的距离。

深度解读：深度第三步，深度分析思考。实验的过程的呈现只是内在知识具体表现，如何科学利用实验装置发现背后隐含的数学知识，会让实验教学大放异彩。

环节（5）：探究椭圆的生成方法。

师：刚才大家用实物演示椭圆的形成过程，对于形成椭圆大家还能找到其他方式么？即使实物没条件完成，能否利用数学图形形成椭圆？

生：可以在圆当中形成椭圆，请看图形的展示。

生：还可以用两个圆形成椭圆……

深度解读：深度第四步，深度关联应用。完成知识构建后，需要进一步发现已有知识和新学知识的关联，这样就会避免出现“知识孤岛”的现象，孤立的知识会很快地被遗忘。理解新学习的知识后需要把知识应用到更加广泛的领域，发挥知识的价值，这是最好的学习的知识的方式。

环节（6）：椭圆形成的同一性研究。

生：同学们用不同的数学图形形成椭圆，其本质都是椭圆的定义。但是椭圆的定义与圆锥曲线中形成椭圆的方式有什么样联系？它们是一样的椭圆么？圆锥曲线中截面边缘的曲线是椭圆，这个椭圆上点到哪两个点的距离之和为定值？

师：这位同学提出的问题非常有价值，这个问题是数学史上一个伟大的问题，历史有一位数学家用几何构图的方式找到这样两点并成功地完成证明，请看证明过程。

深度解读：深度第五步，深度联想质疑。学生在这里会有这样的问题：椭圆的定义得出的椭圆和圆锥上的形成的椭圆之间有什么联系？两个“椭圆”是都是“椭圆”么？能从圆锥上发现椭圆的性质么？解决疑问最好的办法是研究性质之间的关联，给出证明，这个证明是历史非常有名的令数学界惊叹的Dandein证明。

4 课后反思

过去在学习《圆锥曲线》章节的第一节的时候，老师们会根据课本结构，先给出定义，然后解析定义，建立坐标系，最后推导出椭圆的方程，应用椭圆的方程，这是现在最受欢迎的教学方式。每次完成这个教学后老师们都觉得很累，发现时间不够，需要完成的环节很多，学生掌握的知识不牢靠，教的深度不够，学的效果不好。重新设计后，虽然上课的内容不多，但是对椭圆定义的挖掘更加深刻，形成椭圆的过程更加的多样化，更有利于调动学生参与。

教学设计前教师的知识储备，助力深度课堂教学设计。笔者参考数学史中椭圆知识的发展过程和深度学习理论，开展本次教学设计，目的就是打破常规，另辟蹊径，改变以前教学所面临的局面。新一轮课改要求落实核心素养，这对我们目前的教学提出了新的要求，课堂教学设计“呼唤”新的教学方式和策略，这些方式需要教师不断地学习和拓展自己的眼界，推陈出新。

科学引导学生进行课前知识储备，助力深度学习开展。设计良好的课前准备，让学生在浩瀚的知识中寻找与现在学习有关的知识的关联，为学生学习新知识做铺垫。现在社会获取知识的方式很多，但是学生不习惯于用他们手中的工具来学习，或者是不擅长阅读分析知识的结构，创造性的铺设学习和展示的平台，学生收获了课堂展示所获得“快感”，有利于激发学生主动获取知识的积极性。本堂课中，学生在展示自己获取知识的环节中，充分表现自我，激活学习的动力。

多层次多角度实验探究，在操作中实现深度学习。本堂课设计了课前科学实验，实验改进，抽象实验设计，实验贯穿于课堂的始终。学生经历准备实验，操作实验，实验探究，实验改进，实验反思，理想化实验等流程。在实验中领略数学知识的魅力和博大，在操作中发现。

时代呼唤深度学习，教学需要重视学习的深度。让学生的学习有深度，需要教师课堂设计有深度。科学设计深度课堂，更有利于提升数学学科素养。