T型裂纹梁的自振特性分析

张 姗，周 叮，韩慧璇，张建东，胡朝斌

(1. 南京工业大学 土木工程学院，南京 211816；2. 江苏科技大学 土木工程与建筑学院，镇江 212000)

工程实际中，结构长期承受不规则荷载作用，导致梁式构件带裂纹工作。裂纹的存在成为结构安全的一大隐患，裂纹会导致结构刚度的降低，不仅会影响结构的动力学特性，甚至可能导致结构整体性破坏(如梁板开裂、桥面断裂等)。T型梁作为实际工程一种常见的结构，分析裂纹对其动力学特性的影响，对结构的安全性具有重要意义。

国内外一些学者对裂纹梁的损伤展开了研究。Chondros等[1]基于一维裂纹梁理论，提出一种求解裂纹梁动力特性的双线性方法，对含呼吸裂纹简支梁的横向振动进行了分析。Chondros等[2]进一步基于断裂力学理论，将裂纹影响等效为连续变化的梁柔度，提出了一种求解裂纹梁振动的方法。Kim等[3]利用弹簧模拟梁的任意边界条件，用柔度系数的逆表示裂纹处的连续刚度。吴宁祥等[4]建立集中柔度模型，利用无质量弹性铰模拟裂纹引起的局部柔度变化，分析了Eluer梁的裂纹无效位置点。张炜等[5]采用无质量扭转弹簧，结合递推法求解了各种边界条件下含任意条裂纹的梁的振动特性。Ricci等[6]使用线弹簧代替裂纹，利用裂纹尖端奇异应力分布计算裂纹的强度因子，采用动刚度矩阵法研究了含裂纹T型梁的弯扭耦合振动。Zeng等[7]利用有限元法，对含不同类型裂纹的悬臂梁进行了动力特性分析。马辉等[8]进一步基于有限元法，分析了含斜裂纹悬臂梁的非线性振动特性。蒋杰等[9-10]基于能量法，利用Ritz法研究了端部含裂纹悬臂梁的振动特性。杨鄂川等[11]基于等效刚度法建立裂纹梁分析模型，用求解变截面梁振动的半解析法分析了含裂纹Timoshenko梁的振动特性。Lee等[12]采用边界元法求解了裂纹梁的固有频率，利用牛顿迭代法分析了裂纹位置、裂纹深度的影响。Zhang等[13]采用修正傅里叶级数法对含多个横向裂纹的Timoshenko梁进行了研究，将求解裂纹梁的固有频率转化为一标准的线性特征方程问题。上述研究大多是基于Euler梁理论或Timoshenko梁理论对矩形截面梁进行分析，尚未见有对含裂纹的T型截面梁进行研究。

为获取精确的动力学解，本文基于弹性力学理论分析T型梁的自振特性。利用转化截面法，将T型梁等效为具有不同材料性能的两层矩形截面梁，并将等效后的裂纹矩形梁划分为四个子域，通过Chebyshev-Ritz[14]法分别求得各子域的特征方程，再由各子域层间交界处的位移连续条件得到等效后的T型裂纹梁的总体特征方程。

1 T型裂纹梁模型

1.1 简化T型梁模型

如图1所示，利用转换截面法，根据应变相同且总内力不变原则，将T型梁翼缘折算成与腹板宽度一致的矩形截面。即等效前后翼缘的拉压刚度EA和弯曲刚度EI均保持不变，翼缘等效前后弹性模量关系满足

(1)

(1) 原截面

式中：E为等效前T型梁的弹性模量;E1为翼缘等效后的弹性模量;b、b1分别为腹板和翼缘的宽度。

在对结构进行动力学分析时，考虑惯性力的因素，需对T型梁翼缘的材料密度也进行等效，保证等效前后翼缘质量不变，即：

(2)

式中：ρ为等效前T型梁的材料密度;ρ1为等效后T型梁翼缘的材料密度。

1.2 T型裂纹梁的分析模型

考虑开口型裂纹，即在荷载作用下梁底部的裂纹不闭合。等效的T型裂纹梁被离散为四个子域，如图2所示。建立直角坐标系，分别对每段子域进行独立分析。假设含单裂纹T型梁长l，高h，腹板宽b，T型梁翼缘厚度为h1,宽为b1，梁底端l3处有一开口裂纹，深度为h3，梁腹板上表面至裂纹尖端距离为h2。梁的材料属性分别为：泊松比为μ，子域q(q=1,2,3,4)的弹性模量为Eq，子域q的材料密度为ρq。

图2 含单裂纹T型梁子域模型Fig.2 T-beam sub-domains model with single crack

2 子域分析

2.1 子域能量表达式

基于精确的二维弹性力学理论，对于平面应力问题，子域q的应力-应变关系满足

(3)

相应地，由几何方程，子域q的应变-位移关系满足

(4)

各子域的应变能Vq、动能Tq可表示为

(5)

(6)

式中：t为时间；lq和hq分别为子域q的长度与高度。

2.2 子域自由振动方程

为简化计算，对笛卡尔坐标进行无量纲化处理，即令：

(7)

根据分离变量法，子域q的自由振动位移方程可表达为振型函数与时间函数乘积的形式，即：

uq(x,z,t)=Uq(ξq,ζq)ejωt,

wq(x,z,t)=Wq(ξq,ζq)ejωt

(8)

将式(8)代入式(5)、(6)中，可分别得到子域q的最大弹性应变能Vmax,q和最大动能Tmax,q，分别为：

(9)

(10)

式中，λq=hq/lq。

在Ritz法中，构造Uq、Vq合适的试函数是非常重要的，不同形式的试函数，其准确性和收敛性是不同的。Chebyshev多项式的正交完备性可保证构造的试函数获得高收敛性的Ritz解[9-10]，故本文将各子域的试函数表示为几何边界特征函数与第一类Chebyshev多项式乘积的形式，利用边界特征函数分量来满足边界约束条件。即子域q的位移函数可表示为

Uq(ξq,ζq)=

Wq(ξq,ζq)=

(11)

Ps(χ)=cos[(s-1)arccos(χ)]

(s=1,2,3…)

(12)

为确保位移函数式(8)满足结构的几何边界条件，需寻找相应的边界特征函数。表1给出了几种经典边界条件下边界特征函数分量的表达式。

表1 经典边界条件下边界特征函数分量Tab.1 The characteristic boundary function components of various classical boundary conditions

2.3 子域振动特征方程

利用Ritz法建立子域q的振动特征方程。由最小势能原理，满足位移边界条件的各种状态中，真实位移需使结构的总势能取极小值。因此，对未知系数Aij,q、Bmn,q求极值，导出子域q的振动特征方程。

子域q的能量泛函Πq为

Πq=Vmax,q-Tmax,q

(13)

要求最小泛函有

(14)

将式(9)、(10)代入式(13)、(14)中，得子域q的振动特征方程

([Kq]-Ω2[Mq]){Xq}=0

(15)

式中：Ω为无量纲固有频率；[Kq]和[Mq]分别为子域q的刚度矩阵和质量矩阵；{Xq}为Aij,q、Bmn,q构成的列向量。式(15)中

(16)

(17)

(18)

(19)

{Aq}=

{A11,qA12,q…A21,qA22,q…Ai1,q…Aij,q}T

(20)

{Bq}=

{B11,qB12,q…B21,qB22,q…Bi1,q…Bij,q}T

(21)

矩阵元素为

(22)

其中，

γq=hqlq/hl

(23)

3 T型裂纹梁的自振特征方程

将各子域刚度矩阵、质量矩阵进行总合得到整个梁的振动特征方程，其表达式为

([K]-Ω2[M]){X}=0

(24)

其中，

(25)

(26)

(27)

由切比雪夫多项式性质，可知：

Pn(1)=1,Pn(-1)=(-1)n-1

(28)

(29)

考虑相邻子域界面处的位移相等，故子域1与子域2，子域2与子域3、4在界面上有如下关系式

U1(ξ1,-1)=U2(ξ2,1),W1(ξ1,-1)=W2(ξ2,1),

U2(ξ2,-1)=U3(ξ3,1),W2(ξ2,-1)=W3(ξ3,1),

U2(ξ2,-1)=U4(ξ4,1),U2(ξ2,-1)=U4(ξ4,1),

ξ2=ξ1,-1≤ξ1≤1

(30)

将位移函数式(11)代入式(30)，作切比雪夫多项式展开，得到：

(31)

其中，

(32)

(33)

将式(33)代入式(24)，消去因位移连续性导致的未知系数线性组合后，T型裂纹梁特征方程转化为

(34)

4 算例分析

对两端固支含裂纹T型梁的振动特性进行分析。梁材料性能参数取值为：弹性模量E=210 GPa，材料密度ρ=7 800 kg/m3，泊松比μ=0.3，翼缘宽度与梁高b1=h=0.5 m，腹板宽b=0.25 m，翼缘厚度与梁高比h1/h=0.2。

4.1 收敛性分析

考虑裂纹深度为h3/h=0.2，裂纹位于跨中(l3/l=0.5)，研究不同高跨比(h/l=0.1、0.25、0.5)和不同级数项下T型裂纹梁前8阶无量纲频率参数Ω的收敛性。为简便起见，各子域位移函数Uq,Wq(q=1,2,3,4)选取相同数量的级数项，计算结果如表2所示。

表2 不同级数项下两端固支T型梁无量纲频率参数Ω的收敛性Tab.2 Convergence of non-dimensional frequency parameters Ω of fixed at two ends T-beam in term of different series terms

由表2可见，结构无量纲频率参数随着级数项的增加而减小，级数项在坐标x方向对频率参数的影响远大于z方向上的级数项，这说明梁在厚度方向的级数项对结构频率参数的影响相对较小。当项数级达到50×10时，频率参数的精度可达到三位有效位数。

从表2可以看出，随着结构高跨比的增大，梁各阶无量纲频率参数随之增加。

4.2 有限元解比较

为验证本文方法的正确性，将本文解与等效前后两模型的有限元ANSYS解进行比较。等效前原裂纹梁选用8节点SOLID185单元进行模拟，共计97 890个单元；等效后的裂纹梁选用PLANE183单元进行模拟，划分为6 250个单元。对比分析高跨比为h/l=0.1，裂纹位于跨中(l3/l=0.5)，不同裂纹深度(h3/h=0.2、0.4、0.6、0.8)下，裂纹梁的前3阶无量纲频率参数值，如表3所示。从表3可知，本文解与有限元解之间的相对误差具有良好的吻合性，与等效前比，最大误差为5.64%(0.165 5对0.175 4)；与等效后比，最大误差仅为0.71%(0.493 1对0.496 6)，证明转换截面模型保持了较好的准确性。

表3 固支裂纹梁本文解与等效前后有限元解的对比 (h/l=0.1,l3/l=0.5)Tab.3 Comparison of present solutions and FE solutions equivalent for fixed cracked beam

4.3 裂纹深度及裂纹位置对振动模态的影响

4.3.1 裂纹深度及裂纹位置对固有频率的影响

计算高跨比为0.1的T型裂纹梁在不同裂纹参数下的无量纲频率，分析裂纹参数对固有频率的影响。

从图3可知，裂纹梁固有频率随裂纹深度的增加而下降。当裂纹位于跨中(l3/l=0.5)时，一阶固有频率随裂纹深度增加下降明显，二阶固有频率随裂纹深度变化较小；当裂纹位于0.2l及0.8l时，裂纹对一阶固有频率的影响较小；裂纹位于0.3l及0.7l时，二阶固有频率随裂纹深度增加下降明显。

4.3.2 裂纹深度及裂纹位置对振型的影响

计算高跨比为0.1时，不同裂纹参数下T型裂纹梁与无裂纹梁上下表面的竖向位移(W)，图4给出了裂纹位于跨中时，不同裂纹深度(h3/h=0、0.2、0.5、0.8)下梁的前两阶振型，图5给出了裂纹深度为h3/h=0.5，不同裂纹位置(l3/l=0.1、0.3、0.5)下梁的前两阶振型，其中，TS表示裂纹梁上表面的振型；LS表示裂纹梁下表面的振型。

(a) 一阶频率

(a) 一阶振型

(a) 一阶振型

由图4可知，裂纹会增大梁上下表面振型的差异；裂纹梁的振幅随裂纹加深而增大，当裂纹位于跨中时对二阶振型的影响很小。由图5可知，裂纹位置对振型有影响，在其裂纹附近，振型会发生较为明显的改变。

5 结 论

本文基于二维弹性力学理论，利用Chebyshev-Ritz法研究含裂纹T型梁的自振特性，分析了裂纹参数(裂纹深度、裂纹位置)对T型裂纹梁振动特性的影响。与有限元计算结果对比吻合良好。研究数据表明：

(1) 裂缝的出现会导致梁各阶自振频率降低和各阶振型增大。

(2) 不同位置裂纹对T型梁振动特性的影响不相同，当裂纹位于跨中时，裂纹深度对一阶频率的影响最大，对二阶频率的影响不明显。

(3) 梁的振型在裂纹附近变化较为明显。