用联系的观点看“幂的运算”

黄秀旺

一、为什么要学幂的运算？

回顾研究有理数运算的过程，我们经历了有理数的加法、减法，然后是乘法、除法，最后是乘方的学习。因此类似的，在学习了整式的加减运算后，也应当学习整式的乘法、除法，乃至乘方。

整式是单项式与多项式的统称，我们可以设想整式的乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。其中，多项式乘多项式较为复杂，比如（3x+2y）（2x-3y），我们可以把（3x+2y）看成一个字母A，则（3x+2y）（2x-3y）=A·（2x-3y）=A·2x-A·3y=（3x+2y）·2x-（3x+2y）·3y=3x·2x+2y·2x-3x·3y-2y·3y（还需继续计算）。这其实就是利用分配律将多项式乘多项式转化为单项式的乘积之和，再利用乘法交换律、结合律进行单项式乘单项式的运算。所以，上述三种基本类型的乘法，是以单项式乘单项式为基础的。而单项式的乘积有三种基本类型：同底数幂的乘法am·an，幂的乘方（am）n，积的乘方（ab）n。只要我们知道了它们的运算法则，就可以用乘法的交换律、结合律以及这些法则进行单项式的乘法运算了。

因此，学幂的运算就是为了进一步学习整式的乘法运算。

二、如何理解幂的运算与有理数运算之间的关系？

我们知道有理数的运算涉及的是具体的数，而幂的运算涉及的既可以是具体的数，也可以是字母。当字母取一个确定的数时，其形式就是数的运算，因此，它们在运算的顺序上是一致的，举例如下。

例1 计算：-1+25÷22×（[-25]）-2。

解：原式=-1+25÷4×（[-25]）-2（先算乘方）

=-1+25×[14]×（[-25]）-2（化除法为乘法）

=-1-[52]-2（做乘法运算）

=[-112]。（最后做加减法）

有理数混合运算的运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减。如果有括号，先进行括号内的运算。

例2 计算：（-2x3）2·x3-（3x3）3。

解：原式=4x6·x3-27x9（先算乘方）

=4x9-27x9（然后做同底数幂的乘法）

=-23x9。（最后做减法）

观察以上两例，例1是有理数的混合运算，例2是幂的运算，它们都遵循了基本的运算顺序：先算乘方，后乘除，最后加减。也就是说，代数式的运算与数的运算在运算顺序以及運算律的应用上是一致的。

（作者单位：江苏省南京市江宁区教学研究室）