推理题中的幂运算

庄严

学习了“幂的运算”之后，同学们对同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法的运算法则已经掌握，并能很好地运用。但当遇到和算理相关的计算推理题时，有些同学还是会不知所措。针对“幂的运算”中的代数推理题，我们结合例题进行分析，希望可以帮助同学们加深理解。

一、演绎推理题

例1 课堂上，我们发现am·an=[a·a…·am个]·[a·a…·an个]=[a·a…·am+n个]=am+n，从而得到同底数幂的乘法法则。请用两种方法计算am·an·ap（m、n、p是正整数）。

【分析】（1）观察算式am·an·ap（m、n、p是正整数），我们不难看出，此题属于同底数幂的乘法运算，和算式am·an的不同之处在于多了个因式ap，但并不影响法则的运用，计算可以依据同底数幂的乘法法则进行。（2）此题要求用两种方法计算，那么除了运用同底数幂的乘法法则计算外，我们还可以回到乘方的定义进行计算。乘方是特殊的乘法运算，所谓特殊，是指每一个因式都相同。如果我们将am·an·ap还原成乘法运算，再根据乘方的定义进行转换也是可以的。（3）此题还可以尝试用符号表示若干个同底数幂相乘的法则。

解：（方法1） am·an·ap=am+n·ap=am+n+p。

（方法2） am·an·ap=[a·a…·am个]·[a·a…·an個]·[a·a…·ap个]=[a·a…·am+n+p个]=am+n+p。

二、合情推理题

例2 在“8.2幂的乘方与积的乘方”中，我们探索得到了积的乘方的法则：（ab）n=anbn（n是正整数）。请类比该法则的推导过程，解决下列问题：（1）计算（[ab]）n（n是正整数）;（2）尝试用文字表述第（1）小题中得到的结论。

【分析】（1）回顾探索积的乘方法则的过程，利用乘方的定义和乘法的交换律、结合律得出（ab）n=anbn（n是正整数）的结论。根据已有的事实，我们进行观察、比较、联想、归纳、类比，最终提出（[ab]）n=[anbn]的猜想。根据已有的经验，我们尝试将[ab]改成a·[1b]，即将除法化归成乘法，然后用积的乘方法则、乘方的定义和乘法结合律解决问题。（2）有了积的乘方法则的文字语言表述的经验，类比它们的相同点和不同点，尝试用文字语言表述商的乘方的法则。

解：（1）（[ab]）n=（a·[1b]）n=an·（[1b]）n=an·（[1b·1b…·1bn个]）=an·[1bn]=[anbn]。

（2）文字语言表述：商的乘方等于把被除数和除数分别乘方，再把所得的幂相除。

（作者单位：江苏省南京市文枢初级中学）