“自感”中疑难问题的理论分析与实验突破*

吴爱兄

(北京市陈经纶中学 北京 100020)

王 军

(北京市朝阳区教育研究中心 北京 100000)

“自感”是电磁感应这一章的重要内容，对于它的理解会用到电磁感应定律、楞次定律、能量守恒定律、闭合电路欧姆定律多方面的知识，对学生的综合理解能力要求较高．很多内容的深入理解还要用到微元与积分的知识，所以很多教师在教学时选择了规避这些问题，只告诉学生是什么而没有引导学生深入分析为什么，加之我们现行教材中提供的演示实验存在着一些弊端，很多问题学生也不能通过实验直接找到答案，这使得许多学生在学完本部分知识后还存在着很多疑惑．本文将从理论上对这些问题做深入的分析，并在教学中设计有效实验突破这些难点．

问题1：为什么流过线圈的电流不突变？

理论分析：

(1)从能量的角度分析

电感线圈是一个储能设备，其储存的磁场能与自感系数L和通过线圈的电流I的关系为

设电路中消耗电能的快慢即热功率为P．从数学定量角度可做如下分析

其中LI=ΨL，ΨL为线圈的自感磁链，是一个常量．由此可知

(2)从电流变化的角度分析

通断电自感现象是一个RL电路的暂态过程．在通电自感实验中(图1)，闭合开关的瞬间，线圈中产生的自感电动势与电源电动势E方向相反，使得线圈支路的电流增长需要一定时间，这是一个暂态过程．在断电自感实验中(图2)，断开开关的瞬间，线圈与小电灯A形成新的回路，此时电路中的电流开始减小，线圈中产生自感电动势，并由自感电动势维持电流，这使得电流的衰减也需要一定时间，这也是一个暂态过程．当回路中的电阻R和线圈的自感系数L恒定时，i是依照时间t的指数函数规律变化的．

以上规律表明：由于自感电动势阻碍电流的变化，所以自感线圈具有使闭合电路中保持原有电流不变的作用(实际上还是发生变化而是用一段时间逐渐变化)，我们把电感元件的这种特点称为电流不突变．

实验突破：

通过前面的理论分析我们发现自感现象中的电流变化复杂，用到的理论知识高中学生并没有学过，因而很难引导学生通过理论探究理解电流不突变的特性．所以要突破这一难点就要借助实验，而旧教材中提供的自感现象的两个演示实验如图1和图2所示，主要实验仪器是电灯，而通过观察电灯的亮度很难分析通电断电瞬间电流的变化情况，这也是学生产生疑惑的重要原因．

图1 通电自感电路图

图2 断电自感电路图

新教材引入了传感器实验，所以在教学中我们将传统实验与传感器实验两者有效结合．让学生在观察传统实验的基础上猜想电流的变化，再借助传感器来观察通电瞬间和断电瞬间电流的变化(其电路图如图3所示，其中的线圈我们可以选用中学实验室里的J2425型变压器中的800匝线圈，注意线圈要套在闭合铁芯上，如图3所示).通过电流的变化曲线理解线圈中电流的不突变现象(图4)，进而理解电流的惯性现象.

图3 传感器演示通电断电自感电路图

图4 通电断电瞬间电流的变化图

问题2：什么时候可以观察到断电自感时灯泡闪亮的现象？

理论分析：

(1)电阻对电流的影响

断电自感中电灯的“闪亮”是在特定条件下发生的，不具有普遍现象．出现闪亮的关键是线圈的电阻比灯泡电阻小得多．下面我们以图2所示的断电自感电路进行分析，为了使问题简化，设灯泡电阻R为定值，线圈的电阻为r，接通开关S，电路中电流稳定后，通过线圈的电流为I1，通过灯泡的电流为I2．突然切断S，原来通过灯泡的电流I2立即消失，此时线圈与灯泡成为一个闭合回路，通过前面的分析我们知道流过线圈的电流不会突变，所以此时回路中电流i将以I1为初始值，逐渐减小．而要想观察到电灯的闪亮，灯丝的热功率应该大于原来的热功率，这就要求断开开关前电流I1>I2，即r

那么满足r

因此不仅在初始时刻(t=0)，而且在其后一段不太短的时间(上例为0.20 s)内，通过灯泡的暂态电流i都大于原来的电流I2，从而能够在灯丝上产生和积累足够的热量．其次还有灯丝热容的作用，原来发光灯丝的温度在断电的瞬间尚未有急剧的下降．以上两方面的原因才会使灯丝温度在原有的基础上进一步升高，发光亮度增加而出现闪亮．

如果r虽然小于R，但相差不多或者线圈的自感系数L相当小，那么在突然切断电源后，虽然也有暂态电流通过灯泡，但是持续的时间太短，就不会使其亮度增加，更难以看到暂态电流的衰减过程了．通过分析可知断电时要想看到灯的闪亮现象,不但要满足r

(2)自感系数对电流的影响

断电后一段时间内，自感电动势和线圈回路电流均满足闭合电路欧姆定律，即

即

E自=i(R+r)

其中μ0为真空中的磁导率，是一个常量，这表明L取决于线圈本身的尺寸和匝数，与电流无关．当线圈中有铁芯时，由于铁磁物质被磁化，其磁导率要比真空中大出千百倍，所以线圈的自感系数将增大很多．但是铁磁物质的磁导率与电流有关，其磁滞回线为非线性，所以此线圈的自感系数与通过的电流有关，而不是恒量．

而与P=i2(R+r)联立，有

断电瞬间i=I0，有

实验突破：

学生对电灯的闪亮问题困惑点有3方面：

(1)是不是所有断电自感都有闪亮现象；

(2)是不是满足r

(3)增大线圈的自感系数可不可以观察到电灯的闪亮现象．

而通过理论分析可知观察到灯的闪亮需要满足两个条件：一是断电后流过电灯的电流比原来大，二是电流衰减的时间不能太短．条件一可以帮助学生解决困惑一，这一点我们可以引导学生从理论的角度探究寻找答案，而条件二的理论探究对学生来说比较困难，就需要借助有效实验帮助学生突破困惑二和困惑三．

实验一：借助传感器，改变电路中的电阻，观察电流变化曲线.

传感器实验最大的优点是可以直观观察电流的变化规律，我们可以借助上文中图3的实验电路和实验仪器，其中J2425型变压器800匝线圈的电阻约为66 Ω，我们可以调节电阻箱的阻值使其分别等于150 Ω，66 Ω，22 Ω时观察3种情况下的电流变化曲线，如图5、图6、图7所示.

图5 电流变化曲线1

图6 电流变化曲线2

图7 电流变化曲线3

以上3图元件的参数分别为：图5为滑动变阻器阻值为150 Ω，线圈电阻为66 Ω时电路通电与断电时的电流变化图，图6为滑动变阻器阻值为66 Ω，线圈电阻为66 Ω时电路通电与断电时的电流变化图，图7为滑动变阻器阻值为22 Ω，线圈电阻为66 Ω时电路通电与断电时的电流变化图．

通过这组比较实验，学生可以直观观察到电阻是影响电路中电流的主要因素．只有线圈中的电阻小于滑动变阻器的电阻时断电后流过电阻箱的电流才会增大．

实验二：借助传统实验调节滑动变电阻器的阻值观察电灯的闪亮情况.

通过上面实验一的传感器实验学生已经可以分析出在图1的实验中断电瞬间也有自感现象．进一步追问学生，那么我们可以在这个实验中观察到断电时电灯的闪亮现象吗？你没有观察到灯“闪亮”的原因是什么呢？学生可能会分析到与滑动变阻器的电阻有关，这时我们就可以做这样的实验，调节滑动变阻器的电阻使电路稳定以后图1中灯A1的亮度大于灯A2的亮度，此时断开电源，流过灯A2的电流会增加，让学生观察断开电源两个灯的亮度变化，这时我们并没有观察到灯的闪亮现象．借助这个实验我们再结合理论一的分析就可以使学生理解电流增大只是我们观察到电灯闪亮的一个条件，也能理解为什么在教材中我们要用两个实验分别演示通电与断电自感现象了．

实验三：借助传感器，改变自感线圈的自感系数观察电流变化曲线.

对于自感系数对电路中电流的影响，我们可以做这样的实验．在前文中图3的电路中我们选择的是中学实验室里的J2425型变压器中800匝线圈，这种变压器的铁芯是可拆的，在前面的实验中我们用的是闭合铁芯．在这个实验中我们可以改变铁芯的闭合程度，分别观察铁芯闭合和不闭合时电路断开时的电流随时间变化的图像，如图8和图9所示，通过实验我们发现两种情况断开电源电流都不发生突变，都从原来的电流逐渐减少，两种情况线圈的电阻没有变化，但是线圈的自感系数变了，断电以后的电流却相同说明增大自感系数不能增大电流，也不能观察到电灯的闪亮现象．通过图像分析我们还会发现两种情况电流衰减的快慢也不相同，自感系数大的电流衰减得慢，自感系数小的电流衰减得快．

图8 铁芯闭合时的电流-时间图

图9 铁芯不闭合时的电流-时间图

问题3：断电自感的电动势到底可以多大？

理论分析：

(1)自感现象中能量关系

和电场一样，磁场也是具有能量的，例如一个线圈与直流电源接通，在电流由零增大到恒定值I的过程中，电源除了提供线圈中产生焦耳热外，还需要反抗自感电动势EL做功．后者就转化为磁场的能量．

具体的计算是这样的：如图10所示，一电阻为R，自感为L的线圈与一个电动势为E的直流电源连接成闭合电路．

图10 分析自感现象中的能量关系电路图

当开关闭合后，由于自感电动势EL与外加电压方向相反，线圈中的电流从零逐渐增大到恒定值I的过程中，设某一时刻的电流为i，忽略电源的内阻，则有

E-EL=iR

整理可得E=EL+iR，并将其两边同乘以i，可得

iE=iEL+i2R

式中iE为该时刻电源的电功率，i2R为电路中热功率，iEL为线圈因建立磁场而消耗的电功率，也就是单位时间内产生的磁场能．

(2)自感电动势的决定因素

实验突破：定性感知与定量测量相结合

通过前面的理论分析可知，断电时自感电动势的大小与断电时回路的总电阻有关，断电时电阻越大，自感电动势也越大．所以在课堂教学中可以先让学生通过“千人震”实验(图11)体会断电时自感电动的大小，再将M，N两点靠得很近但又不接触，如图12所示，断开开关，这时在M和N两点间可以看到火花．如果在M和N两点间接入数字电压表(注意数字电压表要选择频率大于50 Hz的．在这个实验中由于自感现象是一个暂态过程，断电时电流是从原电流逐渐减小的，所以我们每一次采集的数据可能不同，但都远大于1.5 V),一节干电池在断电瞬间我们采集到的断电自感电动势大小可以达到100 V以上．通过这样的定性感知和定量测量学生就会对断电时自感电动势的大小有深刻的认识．

图11 千人震实验

图12 两点不接触