基于MISQP算法的长缸压力容器结构优化设计

伍广召,刘永霞,符纯明,陈瑶瑶

(南华大学 机械工程学院,湖南 衡阳 421001)

0 引 言

长缸压力容器在现实生产和生活之中有着广泛的应用，比如说用来储存天然气，在化工领域用来储存一些特殊化工制品。正是因为其特殊用途，对长缸压力容器进行研究就具有与众不同的意义。在对压力容器优化设计中，使用代理模型和优化算法或者仅用优化算法来优化也是比较多的。如由刘豆豆等提出的基于有限元的压力容器开孔接管区的应力分析及优化设计[1]，在保证安全使用的前提下，对结构进行了有效优化。由伍能和提出的基于智能算法的压力容器关键部件结构优化方法研究[2]，使下封头中心接管结构得到有效优化。由Q.Zhou等提出的基于多保真模型的鲁棒优化方法[3]，由J.Yi等提出的基于多级筛选策略的在线变保真度代理辅助协调搜索算法[4]这两种方法能够很好的优化长缸压力容器的结构并可以应用于其他结构优化。

使用代理模型和优化算法或者仅用优化算法来进行机械结构优化也是很多的。由汤澍等提出的基于粒子群算法的万向联轴器叉头结构优化设计[5]，有效提升了叉头承载能力。由孙奇等提出的基于混合优化方法的大口径主镜结构设计[6]，有效提高了主镜轻量化。由李同庆等提出的基于萤火虫算法的横梁式货架结构优化设计[7]，有效实现了结构轻量化。

本文对长缸压力容器结构尺寸进行了优化。首先是根据结构尺寸等进行模型构建，然后进行代理模型构建和优化并选取合适的优化算法，最后进行优化结果分析和论证。优化结果表明，在满足应力条件和体积条件的情况下，耗材量降低了29.41%。

1 模型构建

1.1 长缸压力容器

长缸压力容器的类型和种类各异，不同的类型会有不同的结构特点和工作状态。图1是本文所使用的长缸压力容器的示意图和横截面图，从图中可以看出长缸压力容器的结构特点和工作状态，根据图1来构建长缸压力容器的几何模型。

图1 压力容器的示意图和横截面图Fig.1 Schematic and cross-sectional view of the pressure vessel

1.2 长缸压力容器结构模型

模型的建立可以在ansys workbench自带的design modeler geometry模块中实现，也可以在别的三维建模软件中完成，考虑到模型的参数化和兼容性等问题，选择直接在design modeler geometry模块中建立，这样参数化和兼容性问题能够很容易的解决。各个结构尺寸如表1所示。由于模型尺寸较大，只展示一半模型如图2，分析模型时是采用的整个模型。

表1 结构尺寸和材料参数Table 1 Structure size and material parameters

模型建好之后，需要知道压力容器的耗材量和其体积，便于后续优化过程中使用。根据文献[8]可知其耗材量f的公式和压力容器的体积V的公式。后续优化设计过程中要保证耗材量和体积满足一定条件，即耗材量尽可能的小而体积大于等于0.63 m3。令m=cr+r1，n=cb+b1耗材量f和体积V公式如下：

图2 模型建立Fig.2 Model building

1.3 网格划分

网格划分在有限元分析的过程中起着至关重要的作用，而选取合适的网格大小又是重中之重。当网格选择20.00 mm的时候，精度不够，采用15.00 mm的时候能够得到很好的结果。而采用12.00 mm网格时和15.00 mm网格精度相差不多，但是运算量增加许多，结果如表2所示，故直接采用全局15.00 mm大小的网格。网格划分结果如图3所示，节点数是191 952个，网格数是34 848个。网格类型采用的是六面体网格,六面体网格的精度一般情况高于四面体网格。

1.4 载荷和约束条件

载荷和约束条件视具体工况而定，根据长缸压力容器的工况，其内部均匀分布23.00 MPa的压力，两端固定。而且在整个优化过程中，都要保证压力容器的体积大于等于0.6 m3。所以载荷和约束施加如图4所示，其中pressure表示均匀分布23.00 MPa的压力，fixed support表示两端固定约束。

表2 不同网格大小计算结果比较Table 2 Comparison of calculation results of different grid sizes

图3 网格划分结果Fig.3 Meshing result

图4 载荷和边界条件Fig.4 Loads and boundary conditions

2 代理模型构建

2.1 实验设计

代理模型构建之前，要进行实验设计。合适的实验设计是构建代理模型的关键。实验设计方法有多种：拉丁超立方[9]，全因子设计[10]，中心复合设计[11]，D-最优设计[12]，正交设计[13]和均匀设计[14]等。

本文采用的设计方法是中心复合设计即(center composite design，CCD)，具体使用的是面心立方设计(face-centered cubic design,CCF)。中心复合设计在响应面设计当中,可以回归模拟出一阶、二阶模型或更高阶模型。以三因子的CCD为例子，简单介绍CCD。如图5所示，它总共由三个部分组成：第一个部分就是带有参数α的2k个轴向点(图中星点所在位置)；第二个部分就是析因部分，是一个立方体的2k个顶点或者这些顶点的一部分(图中几何体顶点)；第三个部分就是一系列中心点(图中各个图形中心点)[15]。

图5 CCD组成部分示意图Fig.5 Schematic diagram of CCD components

本文使用的CCD包括1个中心点，2N(N为变量数)轴点和2N-f(f为阶乘数)个阶乘点，样本点数等于三者相加。当输入变量为5时，f=1，所需样本点的数量为27个。经过CCD所产生的实验样本点如表3所示。

表3 实验样本点Table 3 Experimental sample point

2.2 代理模型

代理模型是一种通过代理方法对离散数据进行处理，进而拟合得到的一种数学模型。代理模型的种类大致有以下几种，多项式响应面[15]，克里金模型[16]，径向基函数[17]等。

而对于最为常用的二阶多项式响应面近似模型[15]，表达式基本形式如下：

(3)

2.3 检验代理模型

响应面代理模型形成以后，其准确性验证是必不可少的。检验方法有许多，但比较直观地有两种，一种是R2检验，另外一种是相对均方根误差(root mean squared error,Rmse)检验[18]。定义如下：

相对均方根误差(Root Mean Squared Error)

(4)

R2判定系数

(5)

经计算本文的响应面代理模型的R2=0.95，Rmse=0.036。说明响应面的精度达到要求。

3 MISQP优化方法

现如今优化算法的种类有很多，常用的算法有多目标遗传算法(multi objective genetic algorithm,MOGA)[19],粒子群算法[20]，MISQP等等。每一种优化算法都有其特点与优势，都有其应用的特定场合。MISQP是一种高效的梯度优化算法，利用函数的导数、梯度等数学特征来确定迭代方向和步长，当目标函数在设计空间内满足连续、单峰特征时，该算法能够沿最快的下降方向求取问题的最优解。故本文优化使用的算法是MISQP。

为了描述MISQP算法最基本思想引入史春生论文混凝土系杆拱桥非线性混合整型变量优化研究的相关公式[21]。首先引入连续模型实例，得到以下式子：

minf(x)

gj(x)=0,j=1,…,me

gj(x)≥0,j=me+1,…,m

x∈R

(6)

这里假设目标函数f(x)和约束函数gj(x)在x∈R要连续可微。

用一个近似值或者二阶模型来进行新迭代就是置信域方法的思想。信赖半径Δk来限制步长，k是表示第k次迭代。变化率rk根据罚函数确定，信赖半径变大或者变小取决于rk和1的差距。如果rk和1很接近甚至大于1了，Δk增大；相反rk非常小，Δk减小；rk在中间水平，Δk保持不变。

目标函数的f(x)的拉格朗日方程为

(7)

精确的罚函数的定义如下

pσ(x)=f(x)+σ‖g(x)-‖

(8)

在这里把所有的约束条件组成一个向量，g(x)=(g1(x),…,gm(x))T,而且

(9)

其中j=1,…,m，σ>0表示的是惩罚参数，必须要够大,对算法适用。罚函数用来加强收敛。为了获得一个序列二次规划方法，朝着下一下迭代执行一次判别可以通过下面公式来实现。

(10)

这个规划的最优解用dk来表示，σk和Δk是最优参数。

置信域方法的第二个关键部分是为下一次的迭代预测一个新半径，可以通过下式实现：

(11)

另一方面，如果rk小于0，那么Δk也要相应减小，惩罚因子也要重新更新。最后用合适方法来估算出Lagrangian函数和Hessian矩阵。

4 优化过程及论证

4.1 优化方案制定

优化方案对优化结果影响极大，所以要根据实际问题采用合适的优化方案。表4是设计变量及其范围。

基于上述相关分析，本文采用的优化方法是响应面优化方法。响应面优化的前提是实验设计。它的作用就是用最少的采样点来尽可能获得充足的信息。本文采用的实验设计算法是CCD(central composite design)，能够在整个设计空间里面随机进行采样。然后基于实验设计所得的结果来建立响应面。建立好响应面后，需要插入一定数量的验证点，在精度达到一定的要求后，采用MISQP进行基于处理好的响应面模型的全局优化。

表4 参数范围Table 4 Parameter range 单位：mm

4.2 优化结果

通过使用上述MISQP算法得到优化后结果如表5所示。可以看出，最后生成了三个优化解，通过最终的分析比对，最后选择了第一个优化解。最终的优化结果与原尺寸对比如表6所示,由表格可以清晰的看出，优化的结果都是符合要求的，耗材的量减少了0.05 m3。在保证安全和体积的前提下对减少和控制成本具有很大的意义。

表5 优化结果Table 5 Optimization Results

表6 优化结果与原尺寸对比Table 6 Comparison of optimization results and original size

4.3 验证结果

最后为了结果的可靠性，进行了优化结果模型的搭建来进行验证。并进行了应力分析，验证结果和优化结果对比如表7所示，分析结果图如图6。误差在1%以内，结果是可靠的。

表7 优化与验证结果对比Table 7 Comparison of optimization and validation results

图6 应力分析图Fig.6 Stress analysis chart

5 结 论

本文通过多项式响应面和MISQP算法进行了长缸压力容器的结构优化，最终得到了一组优化数据，这组数据在保证最大应力σmax小于等于287.5 MPa和压力容器的容积大于等于0.63 m3的同时，使耗材量减少了0.05 m3比原来降低了29.41%。又通过搭建相应优化数据的具体模型进行分析，验证优化结果。