直观想象素养下的试题命制——一道图形变换试题的命制与思考

福建省厦门外国语学校海沧附属学校(361026) 王 晴

“图形全等变换”既是一种数学知识,也是研究图形的一种方法,还是几何推理的依据.图形的全等变换的本质特征是只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,即变换前后的图形是全等关系.近4年福建中考数学试卷中均考查了图形全等变换的相关知识,因此本次区质检我们决定以图形全等变换为背景命制一道试题.

课标指出应注重发展学生的几何直观.几何直观可以帮助学生直观地理解数学,探寻解题方向.本道质检题正是基于直观想象素养,在图象中提出问题,从而命制试题.

1 命制过程

1.1 试题初稿

如图1,已知ΔABC,点E,F分别为BC,AC上一点,ΔABF沿BF折叠,使得点A刚好落在点E,AD//EF.

(1)求证: 四边形ADEF为菱形;

(2)如果∠ABC= ∠FAD,AB= 6,AD= 3,FC= 5,求CE.

图1

图2

本道题考查的背景是图形的全等变换中的轴对称.延续近几年中考命题的特点,此类问题通常有两问,并且与几何推理,图形边角计算相结合.在图2 中由于翻折,直线BF所在的直线为AE的垂直平分线, 这个时候如果在BF上找到一个点D, 四边形ADEF就是对角线互相垂直, 因此补上了一个条件AD//EF.第一问设计为菱形的判定.在图1 中,有两个图形ΔEFC,ΔABC直观上让人觉得相似,所以第二问就朝着这个方向设计,证相似求线段.已知∠C是公共角, 要相似只需∠ABC= ∠EFC, 因为AD//EF,∠DAC= ∠EFC,所以第二小题在主题干的基础是补上了条件∠ABC=∠FAD,到此为止整个题目的雏形基本呈现.

1.2 试题打磨

考虑到本题在试卷中的位置是第22 题(总题数25 题),定位应该是考查内容由基本技能向能力过渡,并且具有一定的区分度.在逻辑推理方面, 要求学生经过更多的观察、推理、分析来探求解题的方向.基于此,笔者将试题做了以下修改:

第一步: 将ΔABF沿BF折叠这个条件改为点E,F分别在ΔABC的边BC和AC上,点A、E关于BF对称.原先折叠的情境是图形变换问题中学生所熟悉的,修改为点与点对称,可以考查对称问题,也能够进一步考查学生对图形变换的本质就是点的变换的理解.原有条件折叠,学生直接可以得到ΔABF∽= ΔEBF,而如果改为点对称,需要推理才能得到图形的全等关系.

第二步: 观察本题的图形特征, 菱形的对角线平分一组对角, 而折叠使得BF也是对角线, 图3 中可以推出∠2+∠3=90°,∠1=∠2,所以∠1+∠3=90°,题目中其实隐藏着两个直角,∠BAC= ∠EFC= 90°.而原先的第二小问所给的数据,学生只需由相似的比例关系就可以求出CE,无需用到直角.为了在试题中体现考查直观素养这一命题意图,接下来笔者将所给的线段长度进行修改,由已知3 个量变为已知2 个量,要求学生能够运用几何直观发现隐藏直角,进而探寻解题方向.

图3

图4

第三步: 条件∠ABC= ∠FAD, 再由∠C= ∠C, 学生得到相似基本没有太大的困难.经过斟酌后将条件改为∠ABC= 2∠DAE.首先学生要理解2∠DAE的意思,然后还要结合菱形的对角线平分一组对角, 利用这个倍数关系,推出直角以及∠ABC=∠EFC这两个数量关系.相比于原条件,逻辑推理的难度明显加大.

1.3 试题终稿

如图4,点E,F分别在ΔABC的边BC和AC上,点A,E关于BF对称.点D在BF上,且AD//EF.

(1)求证: 四边形ADEF为菱形;

(2)如果∠ABC=2∠DAE,AD=3,FC=5,求AB.

2 试题分析

经过全区学生的实际检测, 我们得到数据第一小题菱形的证明均分3.40(满分5 分) , 第二小题求线段AB均分1.65(满分5 分),实测难度0.505,基本达到了之前的预期.第二小题从学生答题情况来看,体现了较好的区分度.在图2中,一般的学生,由∠ABC= 2∠DAE,得到∠1 = ∠2,但是不知道接下来要做什么.能力稍强的学生,能够看出了题目中的相似,得到了比例式,但是关键的一条线段EC不知道如何求.得分高的学生, 较好地运用了几何直观, 以及数据AD= 3,FC= 5 的联想,推断发现图中隐藏的90°,快速找到了解题的方向.

3 命题反思

3.1 命题应留足思维空间

0 分和满分偏多的试题，笔者觉得设计是不太理想的,一个是区分度不够明显,二是限制了学生的思维.一道好的试题,入口应该要宽,能够给予学生多个思考问题的角度,让他们可以从不同的角度来解决这道题.这也与我们在教学中培养学生发散思维, 发展学生核心素养的教学理念是一致的.本道试题的命制就充分体现了这点,我们在改卷的过程中发现,学生在利用勾股定理得到EC= 4 之后,求线段AB的解法有很多的,主要有以下三种:

法一: (从相似角度) ∵∠BAC= ∠FEC= 90°, 又∠F= ∠F,∴ΔCEF∽ΔCAB.∴AB=6.

法二: (从勾股的角度) ∵AF=AD= 3, ∴AC=AF+CF= 3 + 5 = 8.在RtΔBAC中, ∠BAC=90°, ∴AB2+AC2=BC2, ∴AB2+ 82= (BE+CE)2,AB2+82=(AB+4)2,∴AB=6.

法三: (相似和勾股结合) ∵DE//AC, ∴∠DEB= ∠C,又∵∠DBE= ∠EAC,∴ΔDBE∽ΔEAC,∴BE= 6,BC= 10, 在RtΔBAC中,∠BAC=90°,∴AB2+AC2=BC2.∴AB=6.

3.2 命题离不开试题研究

本道题的设计用于区教学质量检测中的一道试题,质检卷不同于单元试卷,具有一定导向性.在福建省最近4年的中考题中,图形变换的试题不仅考查了图形直观与合情推理,还考查图形演绎推理及与其他相关知识的结合,图形性质的理解与应用,综合性较强.

本道试题,以图形全等变换中的轴对称作为背景进行命制,与中考试题的导向是一致的,能够让师生更加明确中考的方向,也作为中考前的一个检测,较好地体现了命题的导向性.

3 命题来源于教学实践

几何直观主要是利用图形描述和分析问题,它虽然不是规范的解题步骤,却可以帮助我们探寻解题的方向.在教学中我们一直重视对学生几何直观的培养,例如图5,直线y=x+m与双曲线相交于A,B两点,BC//x轴,AC//y轴,则ΔABC面积的最小值为____.

图5

本道题如果要用严格的推理来进行求解是很复杂的,但是如果借助几何直观不难猜想当AB过原点时面积是最小的,再利用反比例函数的对称性,以及k的几何意义,面积很快就出来了.所以几何直观是学生解决复杂数学问题的一种方法和手段,也是学生分析数学问题、解决数学问题必须具备的一种能力.

本道试题设计就是来源于以上教学实践.试题中有几个地方都考查了学生的直观想象素养.图中ΔABF∽= ΔBEF, 四边形ADEF为菱形这两个是最直接可以从图中得到的信息.再更进一步, 可以发现图中有一个子母型相似ΔEFC∽ΔABC, 最后一个就是∠FEC= 90°,这个是本道题设计的难点和关键点.本道命题充分考查了学生的直观素养,只有学生具有一定的直观想象能力,才能够快速找到解题突破口.

命题是一项细致而复杂的劳动,一道好的试题就是一件好的艺术品.命题所选择考查的知识,技能与能力,要突出学科的核心素养.命题的出发点和归宿应该是促进学生的发展.在命题的同时,我们要掌握中考命题的基本理论和基本趋势,才能命出好的试题,让试题发挥应有的导向作用.