函数观点下的数列问题研究

王芳

【摘要】数列问题是高考的重点也是难点.本文主要从函数视角研究运用函数求解数列通项公式、前n项求和、最值等问题.在解题过程中，学生体会数列是定义域为自然数集的特殊函数，与函数有共同之处，感悟数学知识之间的内在联系与区别.

【关键词】函数;数列;数学思想

数列是高考的重要考查内容.荷兰数学家、教育家弗赖登塔尔指出：无论从历史的、发生的还是从系统的角度看，数的序列都是数学的基石，没有数的序列就没有数的基石.可见数列在高中数学中占据重要的地位，起到承上启下的作用，它与函数、方程、不等式和解析几何等内容都有着密切的联系，是诸多知识的交会点.但在实际的教学中，学生在求解数列问题时体现出的数学思维及能力甚微，学生的学习仅限于模仿，主观能动性较弱，在求解数列问题时局限于教材涉及的方法，并没有发挥出数列与其他知识之间的联系作用.这样难以发掘学生的潜力，培养学生的思维.

数列并不是简单的运算和解题的循环.学生从简单的“数”的研究到复杂的“一列数”的研究，不仅要研究数列关系、规律、特征等，更应该关注数列与其他知识的融合，如在求解数列问题时对函数思想的渗透.

一、函数思想观点下数列问题的研究

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.在数列学习中，应注重数列中各量之间关系的恒等变形.为更好地理解数列的本质，教师要引导学生对日常实际问题进行分析，建立数列模型，探索并掌握数列的一些基本数量关系.

《高中数学课程标准（征求意见稿）》指出，在数列教学中，应该注重强调数列作为特殊函数在解决问题时的作用，突出数列是函数的本质.数列可以看作定义域为自然数集的一种特殊函数.因n取整数点，所以数列是一个准确的值.由此可见，数列具有离散的特点，属于离散型函数.我们日常生活中遇到的很多问题，如贷款、利率、折扣、人口的增长、放射性物质的衰变等都可以用数列来刻画.从函数的观点、模型的观点以及离散的角度认识数列，可以突出数列的本质.

定义：数列可以看成是以正整数N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an=f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f（x），如果f（i）（i=1，2，3，…）有意义，那么就可以得到一个数列：f（1），f（2），f（3），…，f（n），….

数列的通项公式和前n项求和公式可以看成以n，d为自变量的数列的函数解析式.其中等差数列通项公式an是关于n的一次函数，前n项求和公式Sn是关于n的常数项为0的二次函数，两函数中自变量关于公差系数具有“n升次，d减半”的规律;等比数列通项公式和前n项和可看作底数为q的n次指数函数.由此，在借助函数思想解决数列问题时，进一步渗透函数思想，可使学生深刻理解数列和函数之间的联系，学会利用函数的眼光处理数列问题.

通过函数的观点解决数列问题，不仅可以提升学生的知识应用能力，而且可以激发学生思考问题的潜能，进而提升学生的数学思维.高中阶段对学生的数学逻辑思维能力要求较高，在数列学习的基础上，要注重数列和其他模块知识的联系，引导学生学会各知识之间的融合，逐步提高学生的创新思维能力.

二、运用函数思想巧解数列问题

1.函数思想观点下的等差数列通项公式求解问题

此题考查对数列通项公式和前n项和公式的记忆与理解，比较上述两种求解方法发现，利用方法一求解时计算过程烦琐，容易由运算错误导致失误.而利用函数思想求解等差数列的通项公式an、前n项和公式Sn，只需求解公差d，再从函数的角度理解“n升次，d减半”，可直接写出所求结果，提高解题效率，同时保证答题准确率.

2.函数思想观点下的数列前n项和求解问题

本题通过等差数列的定义快速求解公差d，借用函数思想表示等差数列前n项和，进一步渗透函数思想在数列问题中的应用，加深数学各模块知识之间的连续性与系统性，同时提高学生解题思维的敏锐性.

本题主要考查求等比数列前n项和，两种解法相比较，方法一从应用错位相减法求前n项和入手，逐一求解，解题过程较长，同时需要注意多处细节问题，而从函数的角度考虑，Sn是关于底数q的n次指数函数，公式简洁明了，学生容易理解，方便记忆，运算简单.

3.函数思想下数列的单调性与最值问题

注意点（n，Sn）是在常数项为0的二次函数图像上（n属于正整数）.如果二次函数的对称轴横坐标是正整数，Sn在顶点处取得最值;如果二次函数的对称轴横坐标不是正整数，Sn應在最接近对称轴横坐标的正整数处取得最值.

在求解数列前n项和的最值问题时，可利用数列的函数定义转化为求解函数问题，这样就回归到学生最熟悉的一元二次函数问题当中，从而深入理解数列的本质问题，进一步明白函数与数列之间的联系，实现知识之间的整合.

三、数列教学的建议

函数与数列作为高中数学重要的两大模块知识，它们之间存在密切的联系.函数是高中数学的灵魂，而数列是特殊的函数，是高中数学的重要基础知识，是学生理解和认识离散函数的桥梁.在教学数列概念时，教师可以依据函数的概念揭示数列概念的本质，使学生亲身经历函数思想在数列概念形成过程中的渗透，既加深对数列的理解又巩固函数知识.在教学求解数列问题时，教师要引导学生学会用函数的眼光看待数列，学会将数列转化为常见的基本初等函数，再利用函数的图像与性质求解数列的通项公式、前n项和及最值问题等，使学生对数列知识的学习更清晰明了.在最后复习数列知识时，教师要组织学生自主评析函数和数列知识之间的相互构建过程，提升学生从函数视角对问题进行分析和解决的能力，引导学生学会对知识的整合，使知识更系统化和完整化，扩展学生的思维，激发学生的思维潜能，培养学生自主学习和自我评价的意识.

【参考文献】

[1] 王赛钰.核心素养下的高中数列教学设计研究[D].山东师范大学，2020：1-62.

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[3] 刘丽萍.函数观点下的数学教学研究[D].江西师范大学，2017：1-53.