整体思想在解决初中数学一元二次方程中的应用

贾应龙

【摘要】在数学教学中，整体思想是学生学习数学知识的一种重要的思想方法.在初中阶段，借助整体思想，可以从数学问题的整体形式、整体结构、整体特征对数学问题进行处理，以此来获得解题方法.所以，在初中阶段的数学教学中，对于一元二次方程的教学，教师可以引导学生在掌握其基本概念与知识的基础上，使用整体思想来解决问题.因此，本文对整体思想在初中数学一元二次方程中的应用进行了分析，旨在帮助学生掌握更多的解题方法.

【关键词】整体思想;初中数学;一元二次方程;应用方法

在初中阶段，数学是学生学习的重要学科，在数学教学的过程中，一元二次方程不仅是教学的重难点，同时也是发展学生数学思维的重要途径.所以，在实际教学中，教师不仅要为学生讲解一元二次方程的基础知识，还要引导学生分析其中蕴含的思维活动，以此来帮助学生形成整体思想.在数学这门学科中，整体思想作为学生学习数学知识的有效思想方法，对于指导学生解决数学问题有着重要的作用.因此，在数学课上，教师就要引导学生在了解一元二次方程基本知识的基础上，使用整体思想解决数学问题.

一、整体思想概述

整体思想作为一种数学思想方法，其是以问题的整体性为出发点，侧重对问题的整体结构进行分析，以此来了解问题的整体结构特点，并使用“集成”的眼光，将一些式子、图形看作一个整体，从而掌握其中存在的关联性，然后对问题进行有目的的整体处理.整体思想的表现形式，主要体现在整体观察、整体代入、整体换元、整体构造、整体联想等方面，其在代数式的化简求值、解方程等方面都有着广泛的应用.

二、一元二次方程教学中存在的问题

（一）忽视学生主体性

在初中阶段，数学的教学过于突出知识与技能的传授，过于凸显教师的作用，忽视了学生的主体性.一元二次方程作为数学教学中的重点内容，很多教师过于强调基础知识，并通过大量的习题对学生进行强化训练，忽视了学生对数学思想方法的掌握，这就难以使学生了解整体思想的作用，难以利用整体思想来学习知识.

（二）忽视整体思想渗透

在初中的数学课上，对于一元二次方程的教学，教师过于重视公式、性质、定理的应用，忽视了学生对知识形成过程的探索，以及学生思维品质的培养.在实际的学习中，学生难以积极主动地参与到数学实践探索中，对于一元二次方程这些有意义的学习活动难以进行有效的学习，学生就失去了学习数学思想方法的机会，也难以形成整体思想.在这种学习情况之下，学生的实践与创新能力难以实现有效的发展.

（三）忽视学习方法指导

在新课改背景下进行一元二次方程知识教学的时候，很多教师虽然在不断进行教学方法创新改革.但是，他们在进行教学方法改革时，却并没有认识到学法指导的重要作用，导致教学效果较差，学生虽然掌握了知识，但是却出现了知其然不知其所以然的情况，自主解决问题能力以及学习能力都不尽如人意.不仅没有实现预期的教学目标，甚至还对学生数学成绩的提升以及综合素质的全面发展都产生了极大的消极影响.

（四）缺乏精讲精练指导

现在很多初中数学教师在开展一元二次方程教学的时候，虽然放弃了题海战术，想要展开精讲精练，但是却出现了少讲少练的情况，没有深入地分析讲解的重难点内容，更多的还是照本宣科地按照教材展开知识的讲解，并引导学生死板地进行模仿练习，所提供的练习题目也缺乏层次性与针对性，存在大量的重复题型，学生只会死板地套用定理与公式解题，并不清楚知识间存在的联系，导致了学生很难应用所学知识解决实际问题.

三、整体思想在解决一元二次方程中的应用方法

（一）整体观察，寻找解题思路

从整体思想的特点分析来看，它是一种以宏观的角度来观察、分析事物的整体结构的思想，侧重从整体上来揭露事物的本质.纵观数学发展史，很多科學家都具备善于观察的能力，他们能够在众多的事物中发现独特之处，比如纵有千万人见过苹果自然掉落，唯有牛顿发现了万有引力定律.可以说，在数学学习中，观察是解决数学问题的重要手段，通过对问题的整体观察，可以使学生发现问题的特点，从中发现某些带有规律性的内容，从而找出解题思路.

（二）整体代入，简化数学问题

初中阶段是一个承上启下的阶段，此阶段的数学教学十分关键，所以在此阶段，教师必须突破传统观念，抛弃理论知识灌输、布置大量作业、题海战术等思想，让学生从数学思想的角度来思考数学问题，引导学生在学习过程中体会整体思想.在数学的整体思想中，整体代入则是其重要的思想之一，它能够将复杂的问题简单化，降低数学知识的学习难度，帮助学生有效地掌握数学知识.

例如，对于“一元二次方程”的教学，教师在指导学生学习一元二次方程的基本概念时，为了帮助学生理解整体代入思想，可以通过一道例题将这个思想呈现出来.首先，在上课之初，教师先将例题以板书的形式写在黑板上：x=25，求x5+x4+x3+x2+2x-1的值.观察这个算式，若是直接将x的值代入多项式中，不仅运算步骤非常复杂，还非常容易出错.所以，教师可以为学生提供一些启示，让学生思考一下最近这几节课学习的知识，然后让学生依据所学知识自己进行演算、化简，以此来提升学生独立思考问题的能力.最后，从学生的计算过程来看，很多学生都是直接将x的值代入其中.此时教师可以指导学生探索多种的解题方式，比如对原式进行简化，并让学生观察其中的变化，通过分析学生很快就会得出答案.

从整节课的教学来看，学生逐渐地认识到有些数学问题若是用常规的方法来解决，则很难获得良好的效果.所以，此时必须转化解题思路，从宏观的角度对问题的整体进行分析，将数学问题简化，降低学习的难度.因此，在实际教学的过程中，教师需要引导学生观察问题的整体结构，对已知条件进行分析，从中探索有效的、简便的解题方法.

（三）整体换元，凸显解题便捷性

在数学整体思想中，整体换元是一种重要的思想.在具体数学问题的解决中，可以将某个式子看作一个整体，并使用一个变量去代替它，以此来实现问题的简化，此为换元法.从整体换元的实质来看，其就是一个转化的过程，关键在于构造元和设元，其理论依据是等量代换，目的是将研究对象变换，将原有的问题转移到新对象的知识背景中研究，从而将非标准化问题转化为标准化问题，将复杂化问题转化为简单化问题，使数学问题变得容易处理.整体换元思想可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，在一元二次方程的研究中有着广泛的应用.

例如，在“一元二次方程”的教学中，一些题目应用整体换元法解方程可以使学生体验解题的简便性，培养学生思考的完整性.例1：解方程：（x2-5x）2=36.该方程属于高次方程，解方程的途径主要是对其进行降次，将其转化为低次方程，而元的构造则是比较多样的，可以依据题目的具体情况进行分析，既可以是单项式，也可以是多项式.例2：解方程：x-3+2x-3=3.解这种根式方程，最优的途径是将其转化成整式方程，在这个过程也需要进行换元，对于元的构造建议使用整个被开方式.同时还需要注意二次根式的意义——非负性，因此换的元在取值方面有限制.例3：解方程：3x2+3x=2x2+x+1.解这种分式方程，常规的方法就是通过去分母，将其转化为整式方程.但是在去分母之后得到的是高次方程，解法有一定的难度.由于分母是二次的，所以可以将分母进行换元，将其化为分母是一次的分式方程，这样解题会更容易一些.

（四）整体构造，降低问题难度

在初中阶段的教学中，利用整体构造法解一元二次方程是数学解题技巧之一，利用这个方法，可以将解方程的过程化繁为简、化难为易，具有事半功倍的效果.因此，在数学课上，教师要引导学生掌握这种解题技巧，帮助学生掌握一元二次方程的知识和解法.首先，利用方程的定义构造一元二次方程.例如习题：已知两个不相等实数a，b，满足条件a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，求ba+ab的值.对于这个方程，若是按照常规的方法来思考，需要从已知的两个式子中求出a和b的值，但是a与b各有两个值，这就需要分四种情况进行讨论，这样解起来比较烦琐.所以，就可以考虑将a和b看作是方程x2-6x+4=0的两个实数根，然后利用一元二次方程根与系数的关系，计算出：a+b=6，ba+ab=b2+a2ab=7.其次，利用韦达定理的逆定理构造一元二次方程.当题设条件具备x1+x2=p，x1x2=q时，便可以使用韦达定理的逆定理构造一元二次方程x2-px+q=0来解题，即将x1，x2看作方程x2-px+q=0的两个实根.最后，利用换元法构造一元二次方程.在解含有多个变元的等式时，可以将等式整理成关于某个字母的一元二次方程.

（五）整体应用，解决数学问题

在初中阶段，数学教材中有很多较为复杂的算式，对于这些知识的教学，教师可以先引导学生使用整体思想对其进行观察、分析，然后使用整体思想进行解题.例如，对于“一元二次方程”这节课的进一步教学，教师可以利用习题帮助学生巩固知识，帮助学生灵活地掌握一元二次方程的知识.例（a2+b2）2-（a2+b2）-6=0，求a2+b2的值.讲解时可以让学生以小组为单位对问题进行讨论，学生会激烈地参与到讨论中，盡管课堂氛围非常活跃，但是学生并没有抓住解题要领.最后，在学生全面对这个问题进行分析后，教师可以指点学生，让学生将（a2+b2）看作一个整体，再次进行讨论，学生此时就会反应过来，本题的实质就是以（a2+b2）为未知数的一元二次方程的一般形式.从整个问题的分析过程来看，利用问题研究整体形式，并对式子进行处理，这样就可以使学生较容易理解题目的内涵，学生便可以快速地解决问题.因此，在数学课上，教师在引导学生学习知识时，要帮助学生学会抽丝剥茧，在复杂的问题中发现题眼，将复杂的问题简单化，这不仅可以提升学生解题的效率，还能够帮助学生理解整体思想在数学问题中的重要应用.

结束语

总而言之，在学生解决数学问题的过程中，整体思想作为关键的解题思想之一，不仅可以完善学生的认知结构，还可以将复杂的问题简单化，帮助学生实现数学思维的发展.因此，在数学课上，教师要指导学生灵活运用整体思想，帮助学生在掌握一元二次方程基本概念与基础知识的前提下，体会整体思想在解题过程中的应用，帮助学生掌握更多的解题技巧，以此来提升学生的数学解题能力.

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